思想：微分方程的S域求解5.4系統(tǒng)的S域分析圖1用拉氏變換法分析LTI常系數(shù)微分方程時(shí)，

其特點(diǎn)是：(1)通過(guò)拉氏變換可將時(shí)域中的微分方程變換為復(fù)頻域中的代數(shù)方程，使求解化簡(jiǎn)。(2)系統(tǒng)的起始狀態(tài)(條件)可以自動(dòng)地包含到象函數(shù)中，從而可一舉求得方程的完全解。(3)用拉氏變換法分析電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)時(shí)，甚至不必列寫出系統(tǒng)的微分方程，而直接利用電路的s域模型列寫電路方程，就可以獲得響應(yīng)的象函數(shù)，再反變換即可得原函數(shù)。解對(duì)方程取拉氏變換，得整理得例5-13

設(shè)有方程5.4.1

微分方程的拉普拉斯變換解法取反變換，得完全響應(yīng)

y(t)=L

1[Y(s)]=4.5e

t4e2t+0.5e3t(t0)解得故有例5-14

設(shè)有二階LTI系統(tǒng)方程系統(tǒng)初始狀態(tài)，輸入，試求零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。解對(duì)方程取拉氏變換，得整理得代入初始狀態(tài)和F(s)=1/s，得對(duì)上式兩邊分別取反變換，得全響應(yīng)為由例5-14可知，在s域中求零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)可以用代數(shù)的方法簡(jiǎn)單求解，若只求全響應(yīng)，可不必分出Yzi(t)和Yzs(t)，通過(guò)Y(s)一舉反變換求得y(t)。例5-15

對(duì)于圖2所示電路，原已處于穩(wěn)態(tài)，開關(guān)于t=0時(shí)由1端轉(zhuǎn)向2端。已知R=10?，L=1H，C=0.004F，求換路后的電流i(t)。解因換路前電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，故可得

i(0_)=0uc(0_)=2V換路后(t>0)，其KVL方程為令i(t)I(s)，u(t)U(s)，則方程的拉氏變換為圖2L解出I(s)為代入已知數(shù)據(jù)，可得上式的反變換為由此可以看出，用拉氏變換求解電路，電路的起始狀態(tài)自動(dòng)地包含在s域的代數(shù)方程中，從而一次確定電路的全響應(yīng)，比時(shí)域法簡(jiǎn)便。如將電流響應(yīng)的象函數(shù)表達(dá)式分開兩項(xiàng)列寫，即零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)用拉氏變換法分析電路的步驟列s域方程（可以從兩方面入手）列時(shí)域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換；直接按電路的s域模型建立代數(shù)方程。求解s域方程。，得到時(shí)域解答。電路的S域模型電阻元件

5.4.2

電路的s域模型對(duì)于具體的電路系統(tǒng)，即使不列寫電路的微分方程也可以求解。方法是預(yù)先導(dǎo)出電路的s域模型，再列寫s域代數(shù)方程，即可求解。下面先介紹基本元件的s域模型。時(shí)域復(fù)頻域電容元件

時(shí)域復(fù)頻域電容s域阻抗或運(yùn)算阻抗電感元件

時(shí)域復(fù)頻域電感的運(yùn)算阻抗電路定律的s域表示應(yīng)用上述定律可以得到電路的運(yùn)算阻抗的一般形式。對(duì)基爾霍夫定律的時(shí)域表示進(jìn)行拉氏變換，得到基爾霍夫定律的s域表示形式：

RCL串聯(lián)電路

RCL串聯(lián)電路對(duì)應(yīng)的s域模型s域阻抗電路從而式中，Z(s)稱為RLC串聯(lián)電路的運(yùn)算阻抗。在形式上和正弦穩(wěn)態(tài)阻抗相似，只不過(guò)用s代替jω而已。由右圖可列出KVL方程即

運(yùn)算阻抗的倒數(shù)稱為運(yùn)算導(dǎo)納，用Y(s)表示，即由上可知，在電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，當(dāng)KCL、KVL和元件的VCR的時(shí)域模型用s域模型代替后，其定律和阻抗形式完全與正弦穩(wěn)態(tài)時(shí)的形式一致。因此，用拉氏變換法分析電路時(shí)，只要將每個(gè)元件用s域模型代替，再將信號(hào)源用其象函數(shù)表示，就可以作出整個(gè)電路的s域模型。然后應(yīng)用數(shù)學(xué)的線性電路的各種分析方法和定理(如節(jié)點(diǎn)法、網(wǎng)孔法、疊加定理、戴維南定理等)，求解s域電路模型，得到待求響應(yīng)的象函數(shù)，最后通過(guò)反變換獲得響應(yīng)的時(shí)域解。正弦穩(wěn)態(tài)與復(fù)頻域分析的對(duì)比：S域模型

圖6例5-17

圖6(a)為某汽車點(diǎn)火系統(tǒng)的電路模型，12V電源為汽車蓄電池，L為點(diǎn)火線圈。當(dāng)開關(guān)在t=0斷開時(shí)，將在電感兩端產(chǎn)生高壓，由高壓打火點(diǎn)燃汽油而發(fā)動(dòng)。設(shè)R=2，L=1H，C=0.25F，試求t0時(shí)的電壓uL(t)及其最大值。解首先做電路的s域模型，如圖6(c)所示。其中起始狀態(tài)由網(wǎng)孔方程可得反變換得故有當(dāng)時(shí)，電感電壓達(dá)最大值為小結(jié)1.

拉普拉斯變換是一種線性積分變換，是求解線性常系數(shù)微分方程的有力工具，應(yīng)用非常普遍。函數(shù)f(t)的(單邊)拉氏變換為2.

拉氏變換的主要性質(zhì)如下：線性性質(zhì)延時(shí)性質(zhì)頻移性質(zhì)微分性質(zhì)積分性質(zhì)卷積定理3.求拉氏反變換時(shí)，經(jīng)常使用部分分式展開法和查表法。若為有理真分式，且D(s)=0只有單根，則有其中系數(shù)從而若F(s)中D(s)=0只含m階重根s1，則則系數(shù)若F(s)不是真分式，可把F(s)先做長(zhǎng)除后寫成一個(gè)s的多項(xiàng)式和一個(gè)余式之和，此余式必為真分式；若F(s)的分母既有單根又有重根，只要把上述兩種展開方式結(jié)合使用即可。4.系統(tǒng)的復(fù)頻域分析對(duì)于用微分方程描述的系統(tǒng)，可通過(guò)拉氏變換轉(zhuǎn)化為s域的代數(shù)方程，解方程并經(jīng)反變換得到時(shí)域解。對(duì)于給定的線性電網(wǎng)絡(luò)，可以首先轉(zhuǎn)化為s

域電路模型，然后利用線性電