機(jī)器人的動力學(xué)及控制1.拉格朗日方程2.開鏈機(jī)器人動力學(xué)方程1、拉格朗日方程1.1剛體的慣性

設(shè)VR3表示剛體的體積，ρ(r),r∈V是剛體的密度。如果物體是均勻的，那么ρ(r)=ρ為常量。剛體的質(zhì)量可以表示為：剛體的質(zhì)心是密度的加權(quán)平均：如圖所示剛體，在質(zhì)心建立物體坐標(biāo)系，g=(p,R)∈SE(3)為物體相對于慣性坐標(biāo)系的運(yùn)動軌跡，r∈R3為剛體上一點(diǎn)相對于物體坐標(biāo)系的坐標(biāo)，現(xiàn)求剛體的動能。1、拉格朗日方程1.1剛體的慣性點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系的速度為：物體的動能可用如下求得：展開計(jì)算可得：=其中w為在物體坐標(biāo)系中表示的剛體角速度，矩陣З∈R3x3為物體坐標(biāo)系中的物體慣性張量1、拉格朗日方程1.1剛體的慣性物體坐標(biāo)系中表示的物體慣性張量З如下：其中：物體總動能可寫為移動動能和轉(zhuǎn)動動呢之和，如下式所示：1、拉格朗日方程1.1剛體的慣性矩陣：稱為在物體坐標(biāo)系中表示的物體廣義慣性矩陣。該矩陣是對稱且正定的?？梢钥闯鰟幽苁莻€標(biāo)量，與剛體的位置和姿態(tài)無關(guān)，由此可以通過運(yùn)動旋量的坐標(biāo)變換來求得新坐標(biāo)系下的剛體廣義慣性矩陣。上式中T=(1/2)VTV=(1/2)(AdgV)T(AdgV)=(AdgT)-1(Adg)-1選取三個坐標(biāo)軸，使剛體的廣義慣性矩陣為對角陣，則這三個軸為剛體的慣性主軸。1、拉格朗日方程1.2拉格朗日方程對于廣義坐標(biāo)為q∈Rm、拉格朗日函數(shù)為L的機(jī)械系統(tǒng)，其運(yùn)動方程為：式中T和V分別表示系統(tǒng)的動能和勢能。定義拉格朗日函數(shù)示為：作用于第i個廣義坐標(biāo)的外力上式即為拉格朗日方程，將其寫成矢量形式為：對機(jī)器人，可將關(guān)節(jié)角作為其廣義坐標(biāo)，廣義力就是作用于關(guān)節(jié)軸線上的力矩。1、拉格朗日方程1.2剛體的牛頓—?dú)W拉方程對于位行為g∈SE(3)的剛體，利用運(yùn)動螺旋和力螺旋建立動力學(xué)方程。設(shè)g=(p,R)∈SE(3)表示剛體質(zhì)心坐標(biāo)系相對于慣性坐標(biāo)系的位形，f為在慣性坐標(biāo)系中表示的作用于質(zhì)心的力。由牛頓定律可得移動方程：同理，可推導(dǎo)剛體的轉(zhuǎn)動方程，相對于慣性坐標(biāo)系的角動量為為相對于慣性坐標(biāo)系的瞬時慣性張量，ws是空間角速度。故轉(zhuǎn)動方程為化簡得：該式稱為歐拉方程1、拉格朗日方程1.2剛體的牛頓—?dú)W拉方程上述兩式描述了剛體的動力學(xué)，力和力矩是相對于慣性坐標(biāo)系表示的。下面推導(dǎo)用運(yùn)動螺旋和力螺旋來表示剛體動力學(xué)，將物體速度等式兩邊左乘RT，得：（2）（1）和物體力代入(1)式1、拉格朗日方程1.2剛體的牛頓—?dú)W拉方程將物體坐標(biāo)系表示的牛頓定律與上式結(jié)合，可得質(zhì)心處作用有外力螺旋F、相對于物體坐標(biāo)系的物體運(yùn)動方程上式稱為在物體坐標(biāo)系中表示的牛頓-歐拉方程，由于相對于物體坐標(biāo)系的線速度和當(dāng)前姿態(tài)有關(guān)，故移動和轉(zhuǎn)動存在耦合聯(lián)系?；喌茫涸谖矬w坐標(biāo)系中為常量2、開鏈機(jī)器人動力學(xué)2.1開鏈機(jī)器人的拉格朗日函數(shù)計(jì)算n個關(guān)節(jié)的開鏈機(jī)器人的動能，可將其中每一連桿動能求和，定義一固連于第i桿質(zhì)心的坐標(biāo)系Li，則可得Li位形:第i桿質(zhì)心的物體速度為：式中為相對于第i連桿坐標(biāo)系的第j個瞬時關(guān)節(jié)運(yùn)動螺旋。2、開鏈機(jī)器人動力學(xué)2.1開鏈機(jī)器人的拉格朗日函數(shù)第i桿的動能為總動能為：矩陣M(θ)∈Rnxn為機(jī)器人慣性矩陣，可將其定義如下：第i桿勢能為：Hi(θ)為第i桿質(zhì)心高度。2、開鏈機(jī)器人動力學(xué)2.1開鏈機(jī)器人的拉格朗日函數(shù)總勢能為將其與動能加以組合，得拉格朗日函數(shù)2、開鏈機(jī)器人動力學(xué)2.2開鏈機(jī)器人的運(yùn)動方程拉格朗日函數(shù)將動能表示成和的形式，將上式代入拉格朗日方程：Ri表示第i關(guān)節(jié)的驅(qū)動力矩和其它非保守力。2、開鏈機(jī)器人動力學(xué)2.2開鏈機(jī)器人的運(yùn)動方程展開并整理得：其中從(1)式看出方程由4部分組成：與關(guān)節(jié)加速度有關(guān)的慣性力和，與關(guān)節(jié)速度平方成正比的離心力和哥氏力，有勢力和外力。其中(1)(2)2、開鏈機(jī)器人動力學(xué)2.2開鏈機(jī)器人的運(yùn)動方程外力可分為兩部分：設(shè)并定義為作用于第i個廣義坐標(biāo)系的任意其它力，包括有勢力和摩擦力產(chǎn)生的保守力，β為阻尼系數(shù)。稱矩陣C為機(jī)器人的哥氏矩陣，于是（1）式可改寫為式中τ為驅(qū)動力矩矢量，包括重力和作用于關(guān)節(jié)的其它力。作用于機(jī)器人上的其它力，可以通過雅克比矩陣的轉(zhuǎn)置將其折算到關(guān)節(jié)上。2、開鏈機(jī)器人動力學(xué)2.2開鏈機(jī)器人的運(yùn)動方程反映機(jī)器人慣性特性的矩陣M和C具有如下重要性質(zhì)。 1）M（θ）是對稱且正定的； 2）