20140107拉普拉斯變換-拉普拉斯變換表20140107拉普拉斯變換-拉普拉斯變換表1拉普拉斯變換系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型以微分方程的形式表達(dá)輸出與輸入的關(guān)系。經(jīng)典控制理論的系統(tǒng)分析方法：時(shí)域法、頻域法。2.數(shù)學(xué)模型與傳遞函數(shù)時(shí)域分析法求解數(shù)學(xué)模型微分方程，獲得系統(tǒng)輸出隨時(shí)間變化的規(guī)律。

借助于系統(tǒng)頻率特性分析系統(tǒng)的性能，拉普拉斯變換是其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。頻域分析法頻域分析法是經(jīng)典控制理論的核心，被廣泛采用，該方法間接地運(yùn)用系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性分析閉環(huán)響應(yīng)。拉普拉斯變換2.數(shù)學(xué)模型與傳遞函數(shù)時(shí)域分析法求解數(shù)學(xué)模型微2復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)

復(fù)數(shù)的概念

復(fù)數(shù)s=

+j

（有一個(gè)實(shí)部

和一個(gè)虛部

，

和

均為實(shí)數(shù)）兩個(gè)復(fù)數(shù)相等：當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等。一個(gè)復(fù)數(shù)為零：當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部和虛部同時(shí)為零。

2.2拉普拉斯變換稱(chēng)為虛數(shù)單位復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)2.2拉普拉斯變換稱(chēng)為虛數(shù)單位3

復(fù)數(shù)的表示法

對(duì)于復(fù)數(shù)s=

+j

復(fù)平面：以

為橫坐標(biāo)(實(shí)軸)、

為縱坐標(biāo)(虛軸)所構(gòu)成的平面稱(chēng)為復(fù)平面或[s]平面。復(fù)數(shù)s=

+j

可在復(fù)平面[s]中用點(diǎn)(

,

)表示：一個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)于復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)。2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)

o復(fù)平面[s]

1

2j

1

2s1=1+j

1s2=2+j

2復(fù)數(shù)的表示法2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)o復(fù)4

①?gòu)?fù)數(shù)的向量表示法

復(fù)數(shù)s=

+j

可以用從原點(diǎn)指向點(diǎn)(

,

)的向量表示。向量的長(zhǎng)度稱(chēng)為復(fù)數(shù)的模：

2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)

o

1

2j

s1s2r1=|s1|r2=|s2|向量與

軸的夾角

稱(chēng)為復(fù)數(shù)s的復(fù)角：①?gòu)?fù)數(shù)的向量表示法2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函5

②復(fù)數(shù)的三角函數(shù)表示法與指數(shù)表示法

根據(jù)復(fù)平面的圖示可得：

=rcos

，

=rsin

復(fù)數(shù)的三角函數(shù)表示法：s=r(cos

+jsin

)2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)

o

1

2j

s1s2r1=|s1|r2=|s2|歐拉公式：復(fù)數(shù)的指數(shù)表示法：②復(fù)數(shù)的三角函數(shù)表示法與指數(shù)表示法2.2.6③

復(fù)變函數(shù)、極點(diǎn)與零點(diǎn)的概念

以復(fù)數(shù)s=

+j

為自變量構(gòu)成的函數(shù)G(s)稱(chēng)為復(fù)變函數(shù)：

G(s)

=u+jv式中：u、v分別為復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部。2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)當(dāng)s=-zi時(shí)，G(s)=0，則si=-zi稱(chēng)為G(s)的零點(diǎn)；分子為零分母為零通常，在線性控制系統(tǒng)中，復(fù)變函數(shù)G(s)是復(fù)數(shù)s的單值函數(shù)。即：對(duì)應(yīng)于s的一個(gè)給定值，G(s)就有一個(gè)唯一確定的值與之相對(duì)應(yīng)。當(dāng)復(fù)變函數(shù)表示成(b)當(dāng)s=-pj時(shí)，G(s)→∞，則sj=-pj稱(chēng)為G(s)的極點(diǎn)。③復(fù)變函數(shù)、極點(diǎn)與零點(diǎn)的概念2.2.1復(fù)7例：

當(dāng)s=

+j

時(shí)，求復(fù)變函數(shù)G(s)

=s2+1的實(shí)部u和虛部v。2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的實(shí)部復(fù)變函數(shù)的虛部解：G(s)＝s2+1＝(

+j

)2+1＝

2+j(2

)-

2+1＝(

2

-

2+1)+j(2

)

例：2.2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的實(shí)部復(fù)變函數(shù)的虛部解8拉普拉斯變換的定義拉氏變換是控制工程中的一個(gè)基本數(shù)學(xué)方法，其優(yōu)點(diǎn)是能將時(shí)間函數(shù)的導(dǎo)數(shù)經(jīng)拉氏變換后，變成復(fù)變量s的乘積，將時(shí)間表示的微分方程，變成以s表示的代數(shù)方程。2.2拉普拉斯變換復(fù)變量原函數(shù)象函數(shù)拉氏變換符號(hào)拉普拉斯變換：在一定條件下，把實(shí)數(shù)域中的實(shí)變函數(shù)f(t)變換到復(fù)數(shù)域內(nèi)與之等價(jià)的復(fù)變函數(shù)F(t)

。

設(shè)有時(shí)間函數(shù)f(t)，當(dāng)t<0時(shí)，f(t)＝0；在t≥0時(shí)定義函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換為：拉普拉斯變換的定義2.2拉普拉斯變換復(fù)變量原函數(shù)象函數(shù)拉氏9

拉氏變換是否存在取決于定義的積分是否收斂。拉氏變換存在的條件：

①當(dāng)t≥0時(shí)，f(t)分段連續(xù)，只有有限個(gè)間斷點(diǎn)；

②當(dāng)t→∞時(shí)，f(t)的增長(zhǎng)速度不超過(guò)某一指數(shù)函數(shù)，即2.2.2拉普拉斯變換的定義在復(fù)平面上，對(duì)于Res

>a的所有復(fù)數(shù)s(Res表示s的實(shí)部)都使積分式絕對(duì)收斂，故Res

>a是拉普拉斯變換的定義域，a稱(chēng)為收斂坐標(biāo)。式中：M、a為實(shí)常數(shù)。拉氏變換是否存在取決于定義的積分是否收斂。拉氏10典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換

(1)單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)定義：2.2拉普拉斯變換其拉普拉斯變換為：典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換2.2拉普拉斯變換其拉普拉斯變換11(2)單位脈沖函數(shù)

單位脈沖函數(shù)定義：2.2.3典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換且：其拉普拉斯變換為：(2)單位脈沖函數(shù)2.2.3典型時(shí)間函數(shù)12(3)單位速度函數(shù)（單位斜坡函數(shù)）

單位速度函數(shù)定義：2.2.3典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換其拉普拉斯變換為：(3)單位速度函數(shù)（單位斜坡函數(shù)）2.2.13(4)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)表達(dá)式：2.2.3典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換式中：a是常數(shù)。其拉普拉斯變換為：(4)指數(shù)函數(shù)2.2.3典型時(shí)間函數(shù)的拉普14(5)正弦信號(hào)函數(shù)正弦信號(hào)函數(shù)定義：2.2.3典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換由歐拉公式，正弦函數(shù)表達(dá)為：兩式相減其拉普拉斯變換為：(5)正弦信號(hào)函數(shù)2.2.3典型時(shí)間函數(shù)的15(6)余弦信號(hào)函數(shù)余弦信號(hào)函數(shù)定義：2.2.3典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換由歐拉公式，余弦函數(shù)表達(dá)為：兩式相加其拉普拉斯變換為：(6)余弦信號(hào)函數(shù)2.2.3典型時(shí)間函數(shù)的16拉普拉斯變換的基本性質(zhì)

(1)線性定理若

、

是任意兩個(gè)復(fù)常數(shù)，且：2.2拉普拉斯變換證明：則：拉普拉斯變換的基本性質(zhì)2.2拉普拉斯變換證明：則：17(2)平移定理若：2.2.4拉普拉斯變換的基本性質(zhì)證明：則：(2)平移定理2.2.4拉普拉斯變換的基本18(3)微分定理若：2.2.4拉普拉斯變換的基本性質(zhì)證明：則：f(0)是t=0時(shí)的f(t)值同理，對(duì)于二階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換：(3)微分定理2.2.4拉普拉斯變換的基本19(3)微分定理推廣到n階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換：2.2.4拉普拉斯變換的基本性質(zhì)如果：函數(shù)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值均為零，即則：(3)微分定理2.2.4拉普拉斯變換的基本20(4)積分定理若：2.2.4拉普拉斯變換的基本性質(zhì)則：證明：函數(shù)f(t)積分的初始值(4)積分定理2.2.4拉普拉斯變換的基本21(4)積分定理同理，對(duì)于n重積分的拉普拉斯變換：2.2.4拉普拉斯變換的基本性質(zhì)若：函數(shù)f(t)各重積分的初始值均為零，則有注：利用積分定理，可以求時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換；利用微分定理和積分定理，可將微分-積分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程。(4)積分定理2.2.4拉普拉斯變換的基本22(5)終值定理若：2.2.4拉普拉斯變換的基本性質(zhì)則：證明：根據(jù)拉普拉斯變換的微分定理，有由于，上式可寫(xiě)成寫(xiě)出左式積分(5)終值定理2.2.4拉普拉斯變換的基本23(6)初值定理若：2.2.4拉普拉斯變換的基本性質(zhì)則：證明：根據(jù)拉普拉斯變換的微分定理，有由于，上式可寫(xiě)成或者(6)初值定理2.2.4拉普拉斯變換的基本24拉普拉斯反變換

(1)拉普拉斯反變換的定義將象函數(shù)F(s)變換成與之相對(duì)應(yīng)的原函數(shù)f(t)的過(guò)程，稱(chēng)之為拉普拉斯反變換。其公式：2.2拉普拉斯變換拉氏反變換的求算有多種方法，如果是簡(jiǎn)單的象函數(shù)，可直接查拉氏變換表；對(duì)于復(fù)雜的，可利用部分分式展開(kāi)法。簡(jiǎn)寫(xiě)為：拉普拉斯反變換2.2拉普拉斯變換拉氏反變換25如果把f(t)的拉氏變換F(s)分成各個(gè)部分之和，即2.2.5拉普拉斯反變換假若F1(s)、F2(s)，…，F(xiàn)n(s)的拉氏反變換很容易由拉氏變換表查得，那么當(dāng)F(s)不能很簡(jiǎn)單地分解成各個(gè)部分之和時(shí)，可采用部分分式展開(kāi)將F(s)分解成各個(gè)部分之和，然后對(duì)每一部分查拉氏變換表，得到其對(duì)應(yīng)的拉氏反變換函數(shù)，其和就是要得的F(s)的拉氏反變換f(t)函數(shù)。如果把f(t)的拉氏變換F(s)分成26

(2)部分分式展開(kāi)法在系統(tǒng)分析問(wèn)題中，F(xiàn)(s)常具有如下形式：2.2.5拉普拉斯反變換式中A(s)和B(s)是s的多項(xiàng)式，B(s)的階次較A(s)階次要高。對(duì)于這種稱(chēng)為有理真分式的象函數(shù)F(s)，分母B(s)應(yīng)首先進(jìn)行因子分解，才能用部分分式展開(kāi)法，得到F(s)的拉氏反變換函數(shù)。(2)部分分式展開(kāi)法2.2.5拉普拉斯反27拉普拉斯反變換由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：(1)利用公式(2)對(duì)F(S)進(jìn)行部分分式展開(kāi)象函數(shù)的一般形式：拉普拉斯反變換由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：(1)利用公式(2)對(duì)28利用部分分式F(S)分解為：利用部分分式F(S)分解為：29拉普拉斯變換-拉普拉斯變換表ppt課件30拉普拉斯變換-拉普拉斯變換表ppt課件31例13-6解：令D(s)=0，則s1=0，s2=－2，s3=－5例13-6解：令D(s)=0，則s1=0，s2=－232拉普拉斯變換-拉普拉斯變換表ppt課件33K1、k2也是一對(duì)共軛復(fù)根K1、k2也是一對(duì)共軛復(fù)根34拉普拉斯變換-拉普拉斯變換表ppt課件35拉普拉斯變換-拉普拉斯變換表ppt課件36拉普拉斯變換-拉普拉斯變換表ppt課件37拉普拉斯變換-拉普拉斯變換表ppt課件38小結(jié)：1.)n=m時(shí)將F(S)化成真分式1.由F(S)求f(t)的步驟2.)求真分式分母的根，確定分解單元3.)求各部分分式的系數(shù)4.)對(duì)每個(gè)部分分式和多項(xiàng)式逐項(xiàng)求拉氏反變換。2.拉氏變換法分析電路正變換反變換小結(jié)：1.)n=m時(shí)將F(S)化成真分式1.由F(S)39拉普拉斯變換-拉普拉斯變換表ppt課件40相量形式KCL、KVL元件復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納相量形式電路模型運(yùn)算電路類(lèi)似地元件運(yùn)算阻抗、運(yùn)算導(dǎo)納運(yùn)算形式KCL、KVL運(yùn)算形式電路模型相量形式KCL、KVL元件復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納相量形式運(yùn)算電412.電路元件的運(yùn)算形式R：u=Ri1.運(yùn)算形式的電路定律+u-iR+U(S)-I(S)R2.電路元件的運(yùn)算形式R：u=Ri1.運(yùn)算形式的電路定律+42L:SLi(0-)/S+

U(S)-I(S)I(S)Li(0-)+

U(S)-SLi+u-LL:SLi(0-)/S+U(S)-I(S)I(S)L43+u-iC:IC(S)1/SCuc(0-)/S+UC(S)-＋－+UC(S)-

Cuc(0-)1/SCIC(S)+u-iC:IC(S)1/SCuc(0-)/S+44ML1L212+u1-+u2-L1i1(0-）Mi2(0-）Mi1(0-）L2i2(0-）+U2(S)-+U1(S)-I1(S)I2(S)SL1SL2+－SM＋－－+－+ML1L212+u1-+u2-L1i1(0-）Mi2(0-）45(s)U+1(s)-m

RI(S)+U2-U1(S)+u1-+u2-

u1Ri＋－(s)U+1(s)-mRI(S)+U2-U1(S)+u1-46運(yùn)算阻抗運(yùn)算形式歐姆定理+u-iRLC+U(S)-I(S)RSL1/SC運(yùn)算阻抗運(yùn)算形式+u-iRLC+U(S)-I(S)RSL1/47運(yùn)算阻抗+u-iRLC+U(S)-I(S)RSL1/SC－＋＋－uc(0-)/sLi(0-)運(yùn)算阻抗+u-iRLC+U(S)-I(S)RSL1/SC－483.運(yùn)算電路運(yùn)算電路如L、C有初值時(shí)，初值應(yīng)考慮為附加電源RRLLCi1i2Ee(t)時(shí)域電路物理量用象函數(shù)表示元件用運(yùn)算形式表示RRLSL1/SCI1(S)E/SI2(S)＋－3.運(yùn)算電路運(yùn)算電路如L、C有初值時(shí)，初值應(yīng)考慮為附加49例5Ω1F20Ω10Ω10Ω0.5H50V+-uc+

-iL時(shí)域電路t=0時(shí)打開(kāi)開(kāi)關(guān)t>0運(yùn)算電路200.5S-++-1/S25/S2.55IL(S)UC(S)例5Ω1F20Ω10Ω10Ω0.5H50V+-uc+-50拉普拉斯變換法分析電路步驟：1.由換路前電路計(jì)算uc(0-),iL(0-)2.畫(huà)運(yùn)算電路圖3.應(yīng)用電路分析方法求象函數(shù)4.反變換求原函數(shù)例1：200V30Ω0.1H10Ω-uc+1000μFiLt=0時(shí)閉合k,求iL，uL。V拉普拉斯變換法分析電路步驟：1.由換51(2)畫(huà)運(yùn)算電路200/S300.1s0.5101000/S100/SIL(S)I2(S)例1：200V30Ω0.1H10Ω-uc+1000μFiL(2)畫(huà)運(yùn)算電路200/S300.1s0.5101000/S52200/S300.1s0.5101000/S100/SIL(S)I2(S)I1(S)I2(S)200/S300.1s0.5101000/S100/SIL(53(4)反變換求原函數(shù)(4)反變換求原函數(shù)54拉普拉斯變換-拉普拉斯變換表ppt課件55求UL(S)UL(S)200/S300.1s0.5101000/S100/SIL(S)I2(S)?求UL(S)UL(S)200/S300.1s0.51010056RC+uc

is(t)例13-10求沖激響應(yīng)R1/SC+Uc(S)

IS1RC+is(t)例13-10求沖激響應(yīng)R1/SC+IS157tuc(V)0tic例13-11圖示電路已處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)將開(kāi)關(guān)S閉合，已知us1=2e-2tV,us2=5V,R1=R2=5

,L1=1H,求t≥0時(shí)的uL(t).SR1R2

＋iL+＋

US1L

uLUS2－－－

tuc(V)0tic例13-11圖示電路已處于穩(wěn)態(tài)，t=58

R1R2

＋+＋

UL(s)－－－

sL－

Li(0-)+①R159ML1L2R1R2＋us－Si1i2例13-12圖示電路，已知R1=R2=1

，L1=L2=0.1H，M=0.5H，us=1V，試求：t=0時(shí)開(kāi)關(guān)閉合后的電流i1(t)和i2(t)。sL1sL2＋－R1R2sMML1L2R1R2＋Si1i2例13-12圖示電路，已知60t=0時(shí)打開(kāi)開(kāi)關(guān)k,求電流i.例.13-13+-UskR1L1L2R2i1i20.3H0.1H10V2Ω3Ωt=0時(shí)打開(kāi)開(kāi)關(guān)k,例.13-13+UskR1L6110/S20.3S1.530.1SI(S)ti523.75010/S20.3S1.530.1SI(S)ti523.75062UL1(S)10/S20.3S1.530.1SI(S)UL1(S)10/S20.3S1.530.1SI(S)63uL1-6.56t-0.375(t)0.375(t)uL2t-2.19ti523.750uL1-6.56t-0.375(t)0.375(t)uL64小結(jié)：運(yùn)算法分析動(dòng)態(tài)電路的步驟1.由換路前電路計(jì)算uc(0-),iL(0-)。2.畫(huà)運(yùn)算電路圖3.應(yīng)用電路分析方法求象函數(shù)。4.反變換求原函數(shù)。磁鏈?zhǔn)睾悖盒〗Y(jié)：運(yùn)算法分析動(dòng)態(tài)電路的步驟1.由換路前電路計(jì)算uc(0-65拉普拉斯變換簡(jiǎn)表序號(hào)原函數(shù)f(t)(t>0)象函數(shù)F(s)=L[f(t)]11(單位階躍函數(shù))1s2

(t)(單位脈沖函數(shù))13K(常數(shù))Ks4t

(單位斜坡函數(shù))1s2拉普拉斯變換簡(jiǎn)表序號(hào)原函數(shù)f(t)(t>0)象函數(shù)66拉普拉斯變換簡(jiǎn)表(續(xù)1)2.2.3典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換序號(hào)原函數(shù)f(t)(t>0)象函數(shù)F(s)=L[f(t)]5tn(n=1,2,…)n!sn+16e

-at1s+a7tn

e

-at(n=1,2,…)n!(s+a)n+181

T1Ts+1tTe拉普拉斯變換簡(jiǎn)表(續(xù)1)2.2.3典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉67拉普拉斯變換簡(jiǎn)表(續(xù)2)2.2.3典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換序號(hào)原函數(shù)f(t)(t>0)象函數(shù)F(s)=L[f(t)]9sin

t

s2+

210cos

tss2+

211e

-atsin

t

(s+a)2+

212e

-atcos

ts+a(s+a)2+

2拉普拉斯變換簡(jiǎn)表(續(xù)2)2.2.3典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉68拉普拉斯變換簡(jiǎn)表(續(xù)3)2.2.3典型時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換序號(hào)原函數(shù)f(t)(t>0)象函數(shù)F(s)=L[f(t)]13