習(xí)題課曲線積分2023/10/10第1頁(yè)本習(xí)題課重點(diǎn)1.計(jì)算；

(二類積分計(jì)算極為主要)2.Green公式；3.與途徑無(wú)關(guān)2023/10/10第2頁(yè)一、曲線積分計(jì)算法1.基本辦法曲線積分第一類(對(duì)弧長(zhǎng))第二類(對(duì)坐標(biāo))(1)統(tǒng)一積分變量轉(zhuǎn)化定積分用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2)確定積分上下限第一類:下小上大第二類:下始上終機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/10/10第3頁(yè)(1)利用對(duì)稱性及重心公式簡(jiǎn)化計(jì)算;(2)利用積分與途徑無(wú)關(guān)等價(jià)條件;(3)利用格林公式(注意加輔助線技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用兩類曲線積分聯(lián)系公式.2.基本技巧機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/10/10第4頁(yè)公式與性質(zhì)復(fù)習(xí)1.第一類曲線積分：2023/10/10第5頁(yè)2.第二類曲線積分：2023/10/10第6頁(yè)3.Green公式：4.兩類曲線積分關(guān)系：α、β求法：2023/10/10第7頁(yè)5.Green公式：6.利用對(duì)稱性2023/10/10第8頁(yè)練習(xí)一——一型曲線積分習(xí)題1——對(duì)嗎？即：重積分不能直接帶入！2023/10/10第9頁(yè)習(xí)題2-aaa-a——簡(jiǎn)單！——復(fù)雜！2023/10/10第10頁(yè)習(xí)題32023/10/10第11頁(yè)習(xí)題42023/10/10第12頁(yè)習(xí)題4這里用到了

“輪換對(duì)稱

性”，即：

將被積函數(shù)

與積分曲線

中自變量

分別依次輪

換而曲線和

被積函數(shù)保

持不變。2023/10/10第13頁(yè)例5.計(jì)算其中

為曲線解:

利用輪換對(duì)稱性,有利用重心公式知(

重心在原點(diǎn))機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2023/10/10第14頁(yè)練習(xí)二——

二型曲線積分習(xí)題1原積分是否與途徑無(wú)關(guān)？否！由于閉曲線為負(fù)向！(否！有關(guān))A(-R,0)xyLB(R,0)問(wèn)題1:(1)用參數(shù)法?(2)用Green公式?(3)與途徑無(wú)關(guān)?問(wèn)題2:問(wèn)題3:用Green公式?

(否！曲線不封閉)問(wèn)題4:L12023/10/10第15頁(yè)練習(xí)二——

二型曲線積分習(xí)題1A(-R,0)xyLB(R,0)L12023/10/10第16頁(yè)2023/10/10第17頁(yè)習(xí)題2oL2023/10/10第18頁(yè)習(xí)題2看似能夠，但事實(shí)上是錯(cuò)。由于有點(diǎn)在L外面。oLl1l22023/10/10第19頁(yè)習(xí)題2oLl2023/10/10第20頁(yè)習(xí)題3L11xyo(1,0)2023/10/10第21頁(yè)習(xí)題322-2-2L2l2023/10/10第22頁(yè)習(xí)題3L2oyx(1,0)l2023/10/10第23頁(yè)習(xí)題32023/10/10第24頁(yè)練習(xí)4xy2023/10/10第25頁(yè)練習(xí)四——空間曲線二型積分2zyx2023/10/10第26頁(yè)練習(xí)五2023/10/10第27頁(yè)練習(xí)五—綜合題2023/10/10第28頁(yè)練習(xí)五—綜合題圖10-15計(jì)算，其中L為圓上從點(diǎn)(R,0)依逆時(shí)針?lè)较虻近c(diǎn)(0,R)一段?。▓D10-15）。解:解法一，，用格林公式，2023/10/10第29頁(yè)

原積分圖10-152023/10/10第30頁(yè)解法二原積分

圖10-152023/10/10第31頁(yè)計(jì)算曲線積分：其中L為自點(diǎn)沿至弧段；LB(2,3)yx0A(-1,0)C(-1,-1)解: 2023/10/10第32頁(yè)解此題時(shí)選途徑：1

）折線，行嗎？（2

）折線，對(duì)嗎？LB(2,3)yx0A(-1,0)F(-1,3)E(2,-1)C(-1,-1)2023/10/10第33頁(yè)確定a值，使曲線積分與途徑無(wú)關(guān)，并求A,B分別為(0,0),(1,2)時(shí)曲線積分值。I與途徑無(wú)關(guān)條件為，由此知把代入，并計(jì)算。

解

2023/10/10第34頁(yè)練習(xí)五—綜合題22023/10/10第35頁(yè)2023/10/10第36頁(yè)曲線積分應(yīng)用一.一型曲線積分1.曲線弧段弧長(zhǎng)；2.曲線弧段質(zhì)量；3.曲線弧段重心坐標(biāo)；4.曲線弧段對(duì)各坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；2023/10/10第37頁(yè)二.二型曲線積分.變