導熱問題研究的目的熱流量溫度分布強化/減弱導熱的措施導熱問題研究的基本方法理論分析法數(shù)值計算法實驗方法有限差分法分子動力學模擬法邊界元法有限元法有限差分法的基本思想：用有限小的差分、差商近似代替無限小的微分、微商，用代數(shù)形式的差分方程近似代替微分方程，并通過求解差分方程求取有限時刻物體有限節(jié)點上的溫度值?！?-1導熱問題數(shù)值求解的基本思想導熱問題研究的目的熱流量溫度分布強化/減弱導熱的措施導熱問題

數(shù)值計算方法的基本思想將時間、空間坐標系中連續(xù)的物理量場，用有限離散點上數(shù)值的集合來代替，并通過求解離散點物理量組成的代數(shù)方程來求解，所得的解稱為數(shù)值解。126345數(shù)值計算方法的優(yōu)點：多維變物性復雜幾何形狀復雜邊界§4-1導熱問題數(shù)值求解的基本思想數(shù)值計算方法的基本思想將時間、空間坐標系中連續(xù)的物理量場，二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性的導熱問題Step-1:控制方程及邊界條件§4-1導熱問題數(shù)值求解的基本思想二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性的導熱問題Step-1:二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性的導熱問題Step-2:計算域離散化xynm(m,n)MN基本概念：網(wǎng)格線節(jié)點（內(nèi)節(jié)點、邊界節(jié)點）控制容積界面線步長均勻/非均勻網(wǎng)格§4-1導熱問題數(shù)值求解的基本思想二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性的導熱問題Step-2:二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性的導熱問題Step-3:建立節(jié)點離散（代數(shù)）方程基本方法：Taylor（泰勒）級數(shù)展開法控制容積平衡法(熱平衡法)內(nèi)節(jié)點邊界節(jié)點平直邊界節(jié)點邊界內(nèi)節(jié)點邊界外節(jié)點§4-1導熱問題數(shù)值求解的基本思想二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性的導熱問題Step-3:Step-4:設置溫度場的迭代初值代數(shù)方程組的求解方法有直接解法與迭代解法，傳熱問題的有限差分法中主要采用迭代法，對被求溫度場預先設定一個解，這個解稱為初場，并在求解過程中不斷改進。Step-5:節(jié)點離散（代數(shù)）方程的求解除m=1的左邊界上各節(jié)點的溫度已知外，其余(M-1)N個節(jié)點均需建立離散方程，共有(M-1)N個方程，則構(gòu)成一個封閉的代數(shù)方程組。Step-6:解的分析如何判斷數(shù)值解的準確性？三個檢驗標準：實驗驗證、精確分析解驗證、特定問題的基準解驗證數(shù)值計算中偏差ε

總是存在的，增加節(jié)點數(shù)目可以減小誤差。計算網(wǎng)格獨立性。通過求解代數(shù)方程，獲得物體中的溫度分布，根據(jù)溫度場應進一步計算通過的熱流量，熱應力及熱變形等?！?-1導熱問題數(shù)值求解的基本思想Step-4:設置溫度場的迭代初值Step-6:解的分內(nèi)節(jié)點離散方程的推導（泰勒級數(shù)展開法）1.對相鄰節(jié)點寫出溫度t對內(nèi)節(jié)點(m,n)的泰勒級數(shù)展開式x:(m,n)的相鄰節(jié)點為(m+1,n),(m-1,n)y:(m,n)的相鄰節(jié)點為(m,n+1),(m,n-1)X方向§4-2內(nèi)節(jié)點離散方程的建立方法內(nèi)節(jié)點離散方程的推導（泰勒級數(shù)展開法）1.對相鄰節(jié)點寫出溫內(nèi)節(jié)點離散方程的推導（泰勒級數(shù)展開法）2.整理得到二階導數(shù)的中心差分截斷誤差：級數(shù)余項中的Δx的最低階數(shù)為2即中心差分格式具有二階精度。3.由控制方程得到內(nèi)節(jié)點(m,n)的離散代數(shù)方程中心差分§4-2內(nèi)節(jié)點離散方程的建立方法內(nèi)節(jié)點離散方程的推導（泰勒級數(shù)展開法）2.整理得到二階導數(shù)內(nèi)節(jié)點離散方程的推導（熱平衡法）基本思想：對每個有限大小的控制容積應用能量守恒，從而獲得溫度場的代數(shù)方程組，它從基本物理現(xiàn)象和基本定律出發(fā)，不必事先建立控制方程，依據(jù)能量守恒和Fourier導熱定律即可。從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝控制體內(nèi)能的增量穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源時：從所有方向流入控制體的總熱量＝0§4-2內(nèi)節(jié)點離散方程的建立方法內(nèi)節(jié)點離散方程的推導（熱平衡法）基本思想：對每個有限大小的控內(nèi)節(jié)點離散方程的推導（熱平衡法）(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)

x

xyy

(m,n+1)對控制體每個界面線（圖中虛線）應用傅立葉導熱定律?！?-2內(nèi)節(jié)點離散方程的建立方法內(nèi)節(jié)點離散方程的推導（熱平衡法）(m,n)oyx(m-1,§4-2內(nèi)節(jié)點離散方程的建立方法§4-2內(nèi)節(jié)點離散方程的建立方法建立節(jié)點離散方程的泰勒級數(shù)法與熱平衡法的比較：泰勒級數(shù)法屬于純數(shù)學方法，而熱平衡法基于能量守恒原理，物理概念明確，且推導過程簡捷；泰勒級數(shù)法對于建立邊界節(jié)點的離散方程較困難；當導熱物體物性或內(nèi)熱源不均勻時，泰勒級數(shù)法不適用，而熱平衡法能夠方便處理?！?-2內(nèi)節(jié)點離散方程的建立方法建立節(jié)點離散方程的泰勒級數(shù)法與熱平衡法的比較：§4-2內(nèi)節(jié)節(jié)點離散方程的建立基本方法：Taylor（泰勒）級數(shù)展開法控制容積平衡法(熱平衡法)內(nèi)節(jié)點邊界節(jié)點平直邊界節(jié)點邊界內(nèi)節(jié)點邊界外節(jié)點為什么要建立邊界節(jié)點的離散方程？一類邊界條件：方程組封閉，可直接求解二類、三類邊界條件：邊界溫度未知，方程組不封閉將第二類邊界條件及第三類邊界條件合并起來考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達式。用Φ表示內(nèi)熱源?！?-3邊界節(jié)點離散方程的建立

及代數(shù)方程的求解節(jié)點離散方程的建立基本方法：內(nèi)節(jié)點邊界節(jié)點平直邊界節(jié)點邊界內(nèi)邊界節(jié)點離散方程的推導（熱平衡法）：二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、常物性的導熱問題從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0平直邊界節(jié)點§4-3邊界節(jié)點離散方程的建立

及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點離散方程的推導（熱平衡法）：二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、常物性邊界節(jié)點離散方程的推導（熱平衡法）：二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、常物性的導熱問題從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0邊界外角點§4-3邊界節(jié)點離散方程的建立

及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點離散方程的推導（熱平衡法）：二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、常物性邊界節(jié)點離散方程的推導（熱平衡法）：二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、常物性的導熱問題從所有方向流入控制體的總熱量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝0邊界內(nèi)角點§4-3邊界節(jié)點離散方程的建立

及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點離散方程的推導（熱平衡法）：二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)、常物性邊界節(jié)點離散方程的兩個具體問題：邊界熱流密度的具體處理方法絕熱邊界第二類邊界第三類邊界不規(guī)則邊界的處理方法多段折線模擬不規(guī)則邊界，網(wǎng)格越密越接近實際坐標變換：保角變換§4-3邊界節(jié)點離散方程的建立

及代數(shù)方程的求解邊界節(jié)點離散方程的兩個具體問題：邊界熱流密度的具體處理方法絕n個未知節(jié)點溫度，n個代數(shù)方程式：節(jié)點離散（代數(shù)）方程的求解直接解法迭代解法直接解法：矩陣求逆、高斯消元法等缺點：所需內(nèi)存較大、方程數(shù)目多時不便、不適用于非線性問題（若物性為溫度的函數(shù)，節(jié)點溫度差分方程中的導熱系數(shù)不再是常數(shù)，而是溫度的函數(shù)。這些系數(shù)在計算過程中要相應地不斷更新）§4-3邊界節(jié)點離散方程的建立

及代數(shù)方程的求解n個未知節(jié)點溫度，n個代數(shù)方程式：節(jié)點離散（代數(shù)）方程的求解迭代解法：Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、松弛法等先對要計算的場作出假設（給定初始值）、在迭代計算過程中不斷予以改進、直到計算結(jié)果與假定值的結(jié)果相差小于允許值。稱迭代計算已經(jīng)收斂。節(jié)點離散（代數(shù)）方程的求解Gauss-Seidel迭代法：每次迭代時總是使用節(jié)點溫度的最新值§4-3邊界節(jié)點離散方程的建立

及代數(shù)方程的求解迭代解法：Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法在計算后面的節(jié)點溫度時應采用最新值：根據(jù)第k次迭代的數(shù)值：節(jié)點離散（代數(shù)）方程的求解Gauss-Seidel迭代法§4-3邊界節(jié)點離散方程的建立

及代數(shù)方程的求解在計算后面的節(jié)點溫度時應采用最新值：根據(jù)第k次迭代的數(shù)值節(jié)點離散（代數(shù)）方程的求解Gauss-Seidel迭代法判斷迭代是否收斂的準則：ororε

為允許的偏差，一般取10-3～10-6為k次迭代得到的計算域溫度最大值計算域溫度存在近于0的值時采用§4-3邊界節(jié)點離散方程的建立

及代數(shù)方程的求解節(jié)點離散（代數(shù)）方程的求解Gauss-Seidel節(jié)點離散（代數(shù)）方程的求解Gauss-Seidel迭代法如何判斷數(shù)值解的準確性？如何判斷數(shù)值解的準確性？三個檢驗標準：實驗驗證、精確分析解驗證、特定問題的基準解驗證數(shù)值計算中偏差ε

總是存在的，增加節(jié)點數(shù)目可以減小誤差。計算網(wǎng)格獨立性。判斷迭代能否收斂的準則：如何避免迭代發(fā)散？必須滿足對角占優(yōu)原則：每個迭代變量的系數(shù)總大于/等于該式中其它變量系數(shù)絕對值的代數(shù)和(參考教材例題4-1)Step-6:解的分析§4-3邊界節(jié)點離散方程的建立

及代數(shù)方程的求解節(jié)點離散（代數(shù)）方程的求解Gauss-Seidel例題滿足對角占優(yōu)的條件：8>2+1；5>1+2；4>2+1，所以迭代能收斂例題滿足對角占優(yōu)的條件：8>2+1；5>1+2；4>2+1，取初始迭代值為0，計算中間值如下表所示取初始迭代值為0，計算中間值如下表所示第四章-熱傳導問題的數(shù)值解法課件第四章-熱傳導問題的數(shù)值解法課件例：針肋如右圖所示，碳鋼

=43.2W/(m.K)，求溫度分布及換熱量。

精確解：例：針肋如右圖所示，碳鋼=43.2W/(m.K)，求溫度分用數(shù)值方法求解：微分方程節(jié)點2：節(jié)點3節(jié)點4

網(wǎng)格劃分如右圖：用數(shù)值方法求解：微分方程節(jié)點2：節(jié)點3節(jié)點4網(wǎng)格劃分如右三種情況的計算結(jié)果如下溫度分布熱量計算：誤差精確解

=15.06W

四節(jié)點

=11.94W21%

三節(jié)點

=10.52W30%

如取5節(jié)點,則

的誤差為19%三種情況的計算結(jié)果如下溫度分布熱量計算：非穩(wěn)態(tài)項穩(wěn)態(tài)項（擴散項）源項由于非穩(wěn)態(tài)項的存在，除了對空間坐標離散外，還需要對時間坐標進行離散。穩(wěn)態(tài)擴散項的離散格式：中心差分格式非穩(wěn)態(tài)項的離散格式：向前差分格式、向后差分格式、中心差分格式§4-4非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)項穩(wěn)態(tài)項（擴散項）源項由于非穩(wěn)態(tài)項的存在，除了對空間坐tfhtfhxt

0平板加熱問題第三類邊界條件一維非穩(wěn)態(tài)導熱微分方程及定解條件：邊界條件初始條件§4-4非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數(shù)值解法tftfxt0平板加熱問題一維非穩(wěn)態(tài)導熱微分方程及定解條向前差分格式向后差分格式中心差分格式非穩(wěn)態(tài)項的離散格式的構(gòu)造：泰勒級數(shù)展開法Δx為空間步長Δτ

為時間步長偏微分方程離散化代數(shù)方程非穩(wěn)態(tài)項向前差分擴散項中心差分點（n,i）§4-4非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數(shù)值解法向前差分格式向后差分格式中心差分格式非穩(wěn)態(tài)項的離散格式的構(gòu)造非穩(wěn)態(tài)項的離散格式的構(gòu)造：熱平衡法從所有方向流入控制體的總熱量＝控制體內(nèi)能的增量內(nèi)節(jié)點n§4-4非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)項的離散格式的構(gòu)造：熱平衡法從所有方向流入控制體的總熱非穩(wěn)態(tài)項的離散格式的構(gòu)造：熱平衡法左邊對稱絕熱邊界§4-4非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)項的離散格式的構(gòu)造：熱平衡法左邊對稱絕熱邊界§4-4非穩(wěn)態(tài)項的離散格式的構(gòu)造：熱平衡法右邊第三類邊界§4-4非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數(shù)值解法非穩(wěn)態(tài)項的離散格式的構(gòu)造：熱平衡法右邊第三類邊界§4-4非顯示格式存在穩(wěn)定性問題：如果節(jié)點tn(i)

前面的系數(shù)小于零，則數(shù)值解出現(xiàn)不穩(wěn)定的震蕩結(jié)果。顯示格式2顯示格式：格式右邊全部為第i時間層的溫度值，只要i時間層溫度已知，即可計算得到i+1時間層的溫度。非穩(wěn)態(tài)導熱節(jié)點離散方程的兩種格式：即：空間步長?x和時間步長?τ的選取有限制顯示格式的穩(wěn)定性條件：§4-4非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數(shù)值解法顯示格式存在穩(wěn)定性問題：如果節(jié)點tn(i)前面的系數(shù)小于隱式格式非穩(wěn)態(tài)導熱節(jié)點離散方程的兩種格式：隱式格式：空間離散采用（i+1）時層的值。隱式格式