初中幾何輔助線大全(最全版)三角形中作輔助線是解決幾何問題中常用的方法之一。本文舉例介紹了一些常見的輔助線構(gòu)造方法。第一種方法是延長已知邊構(gòu)造三角形。例如，在圖7-1中，已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，要證明AD＝BC。我們可以先證明分別含有AD，BC的三角形全等，然后得出結(jié)論。具體的證明過程是通過作輔助線DE，讓△DBE與△CAE全等，從而得出AD＝BC的結(jié)論。第二種方法是連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如，在圖9-1中，要證明BD＝2CE，我們可以通過連接CE與BA，然后證明△BEF與△BEC全等，從而得出CE=FE=1/2CF，進而得出BD＝2CE的結(jié)論。第三種方法是利用和角平分線垂直的線段，通常把這條線段延長。例如，在圖9-1中，我們可以通過連接CE與BA，然后證明△ABD與△ACF全等，從而得出BD＝CF的結(jié)論。這個方法也可以用于證明兩個角相等的情況。第四種方法是取線段中點構(gòu)造全等三角形。例如，在圖11-1中，要證明∠ABC＝∠DCB，我們可以通過作輔助線AE和CF，然后證明△ABE與△DCF全等，從而得出∠ABC＝∠DCB的結(jié)論。這個方法也可以用于證明線段相等的情況。總之，作輔助線是解決幾何問題中常用的方法之一，可以幫助我們構(gòu)造新的條件和圖形，從而得出結(jié)論。在實際應用中，我們需要根據(jù)具體問題選擇合適的方法，并靈活運用。在三角形ABC中，通過連接中點N和M，以及輔助線DG和CG，我們可以得到△ABN≌△DCN和△NBM≌△NCM，從而得到NB＝NC和∠ABN＝∠DCN以及∠NBC＝∠NCB。因此，我們可以得出∠ABC＝∠DCB，證畢。在例1中，我們通過作輔助線DG//AC，交BF于點G，得到了DG：FC＝1：4，從而得到AF：FC＝1：6。在例2中，我們通過作輔助線CG//DE，得到了EF：GC＝1：2和DE＝2GC，從而得到EF：FD＝1：2。這些例子中，我們都將輔助線作在已知條件中出現(xiàn)的兩條線段的交點處，且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。在例3中，我們同樣通過作輔助線BG//AD，交CE延長線于點G，得到了DF：BG＝3：4，從而得到AF：BG＝2：3以及EF：FD＝3：4。這個例子同樣符合之前所說的作法，即將輔助線作在已知條件中出現(xiàn)的兩條線段的交點處，且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。題目中的等式時，可以利用角平分線構(gòu)造全等三角形。同時，題目中還要證明線段的差等于另一條線段，可以采用截取法或延長法來證明。具體證明過程略。輔助線的選擇要根據(jù)題目中的已知條件和所求結(jié)論來決定。對于有角平分線的問題，可以考慮構(gòu)造對稱圖形或作垂線。在證明線段的和差倍分問題時，可以采用延長法或截取法來證明?？傊?，選擇合適的輔助線可以簡化問題，加快解題速度。=AB=AC，又因為∠BFA=∠BDA=∠BAC/2，所以△BFA與△BDA全等，從而得到BD=BF。同理，可得CE=CF。連接BM，由BM是△ABC中的中線，可得BM=1/2(AB+AC)=AE。又因為∠BFA=∠BDA=∠BAC/2，所以△BFA與△BDA全等，從而得到BF=BD。同理，可得CE=CF。連接BM，由BM是△ABC中的中線，可得BM=1/2(AB+AC)=AE。又因為∠BAM=∠BEM=∠BAC/2，所以△BAM與△BEM全等，從而得到AM=ME。來證明等式或不等式。例如，已知三角形中一邊的中點和另一邊上的一點，可以連接這兩點，構(gòu)成中位線，然后利用中位線的性質(zhì)來證明等式或不等式。例1．如圖，已知四邊形ABCD中，AC=BD，E是AC的中點，F(xiàn)是BD上的一點，且EF⊥BD。求證：AE=CD。解：連接EF，因為E是AC的中點，所以AE=EC。又因為AC=BD，所以BD=2EC。又因為EF⊥BD，所以EF是BD的中線，所以EF=DC。因此，AE=EC=DC=CD，即AE=CD。（二）、由中點想到的另一種輔助線是平行線。例如，已知三角形中一邊的中點和另一邊上的一點，可以連接這兩點，然后作平行于這條邊的直線，將三角形分成兩個小三角形，然后利用小三角形的性質(zhì)來證明等式或不等式。例2．如圖，已知△ABC中，D是BC的中點，E在AB上，F(xiàn)在AC上，且EF∥BC。求證：AF=2DE。解：連接DF，因為D是BC的中點，所以DE=EC。又因為EF∥BC，所以△DEF∥△ABC，所以△DEF與△ABC相似。因此，DE/AB=DF/AC，即DE/2AB=DF/2AC，又因為AF=AC-FC=AC-EF，所以AF=AC-BC/2=2AB-BC/2=3DE/2，即AF=2DE。在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，BA、CD的延長線分別交EF的延長線G、H。需要證明：∠BGE=∠CHE。證明過程如下：先連接BD，并取BD的中點為M，連結(jié)ME、MF。由于ME是ΔBCD的中位線，所以MECD，因此∠MEF=∠CHE。同理，MF是ΔABD的中位線，所以MFAB，因此∠MFE=∠BGE。由于AB=CD，所以ME=MF，因此∠MEF=∠MFE，從而得出∠BGE=∠CHE。在三角形ABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，需要求出BC的長。解題方法如下：先將AD延長到E，使得DE=AD，則AE=2AD=2×2=4。然后在ΔACD和ΔEBD中，由于AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，所以ΔACD≌ΔEBD，從而AC=BE，即BE=AC=3。在ΔABE中，因為AE2+BE2=42+32=25=AB2，所以∠E=90°，從而BD=√(AB2-BE2)=√(25-9)=4。因此，BC=2BD=2×4=8。在三角形ABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線，需要證明ΔABC是等腰三角形。證明過程如下：先將AD延長到E，使得DE=AD。仿照例3的證明方法，可以得出ΔBED≌ΔCAD，因此EB=AC，∠E=∠2。又因為∠1=∠2，所以∠1=∠E。因此，AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。在梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，需要證明AC=BD。證明過程如下：取AB的中點E，連結(jié)DE、CE，則DE、CE分別為RtΔABD，RtΔABC斜邊AB上的中線，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE。由于AB//DC，所以∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，因此∠1=∠2。在ΔADE和ΔBCE中，由于DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，因此ΔADE≌ΔBCE，從而AD=BC。因此，梯形ABCD是等腰梯形，所以AC=BD。在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，CE垂直于BD，交BD的延長線于點E，需要證明BD=2CE。證明過程如下：先將BA延長到CE交點F，然后在ΔBEF和ΔBEC中，由于∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，所以ΔBEF≌ΔBEC，從而EF=EC，因此CF=2CE。因為∠BAC=90°，所以∠DBA=∠ABC/2=45°，因此∠CDE=45°。又因為CE垂直于BD，所以∠CEB=90°，因此∠CED=45°。因此，ΔCED是等腰直角三角形，所以BD=2CE。1.根據(jù)題目條件，可知∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°。因此，可以得到ΔABD≌ΔACF，進而推出BD=CF，即BD=2CE。需要注意的是，BE是等腰ΔBCF的底邊CF的中線。2.在圖中，已知AB=CD，E為BC的中點，且∠BAC=∠BCA。根據(jù)三角形ΔABD和ΔACF的相似關(guān)系，可以推出AD=2AE。3.在圖中，已知AB=AC，AD=AE，M為BE中點，且∠BAC=∠DAE=90°。根據(jù)三角形ΔABM和ΔAEM的相似關(guān)系，可以得到AM⊥DC。4.已知AD為△ABC的中線，AE=EF。根據(jù)三角形ΔABD和ΔAEC的相似關(guān)系，可以得到BF=AC。5.在圖中，以△ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，且∠BAD=∠CAE=90°，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點。根據(jù)題目要求，需要探究AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系。（1）當△ABC為直角三角形時，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可以得到AM∥DE，且AM=DE/2。（2）將等腰Rt△ABD繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ(0<θ<90)后，AM與DE的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系不會發(fā)生改變。因為旋轉(zhuǎn)不會改變兩個三角形的相似關(guān)系，所以AM與DE的位置關(guān)系仍為平行，且數(shù)量關(guān)系仍為AM=DE/2。截長補短：1.在△ABC中，已知AB=2AC，AD平分∠BAC，且AD=BD。根據(jù)三角形的性質(zhì)，可以得到CD⊥AC。2.在圖中，已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB、∠DBA，CD過點E。根據(jù)三角形的性質(zhì)，可以得到AB=AC+BD。3.在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠C=40°，P、Q分別在BC、CA上，并且AP、BQ分別是∠BAC、∠ABC的角平分線。根據(jù)三角形的性質(zhì)，可以得到BQ+AQ=AB+BP。4.在四邊形ABCD中，已知BC＞BA，AD＝CD，且BD平分∠ABC，要證明∠A＋∠C＝180°。5.1.在△ABC中，已知∠B＝60°，角平分線AD和CE相交于O點，要證明OE＝OD。2.在△ABC中，已知CD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。（1）要說明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝a，AC＝b，求AE和BE的長度。3.（1）利用圖①中的OP平分∠MON，畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形。在△ABC中，已知∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F。判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；（2）在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，判斷FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由。4.在正方形ABCD中，已知BE+DF＝EF，求∠EAF的度數(shù)。5.（1）在等腰直角△ABC中，D為斜邊AB的中點，DM⊥DN，DM和DN分別交BC和CA于點E和F。要證明，當∠MDN繞點D旋轉(zhuǎn)時，有DE＝DF；（2）如果AB＝2，求四邊形DECF的面積。6.在等邊△ABC中，BC＝3，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°。以D為頂點做一個60°角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，求△AMN的周長。7.已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD和DC（或它們的延長線）于E和F。當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE＝CF時（如圖1），易證AE＋CF＝EF。在圖2和圖3中，當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE和CF時，上述結(jié)論不成立。此時線段AE、CF、EF滿足EF=AE+CF。我的猜想是，在任意位置，線段AE、CF、EF都滿足EF=AE+CF。已知PA=，PB=4，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點落在直線AB。(1)當∠APB=45°時，AB=5，PD=1。(2)當∠APB變化，且其它條件不變時，PD的最大值為2，當∠APB=60°時取得最大值。在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為ABC外一點，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC。探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及△AMN的周長Q與等邊△ABC的周長L的關(guān)系。(I)當點M、N在邊AB、AC上，且DM=DN時，BM=NC=MN，Q=2x，L=3x。(II)當點M、N在邊AB、AC上，且DM≠DN時，猜想(I)問的兩個結(jié)論不成立。我的猜想是，此時BM、NC、MN不相等，且Q<L。(III)當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=x，則Q=3x，L=2x。梯形中的輔助線：1、平移一腰：例1.在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17。求CD的長。解：過點D作DE∥BC交AB于點E。因為AB∥CD，所以四邊形BCDE是平行四邊形，所以DE＝BC＝17，CD＝BE。在Rt△DAE中，由勾股定理，得AE＝DE－AD，即AE＝17－15＝2，所以BE＝AB－AE＝16－2＝14，即CD＝BE＝14。例2.梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4。求另一腰BC的取值范圍。解：過點B作BM//AD交CD于點M。在△BCM中，BM=AD=4，CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，所以BC的取值范圍是1<BC<9。2、平移兩腰：沒有給出相關(guān)內(nèi)容，無法進行改寫。文章中存在的格式錯誤已經(jīng)被刪除，明顯有問題的段落也被刪除。以下是改寫后的文章：例3：在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分別是AD、BC的中點，連接EF，求EF的長。解：過點E分別作AB、CD的平行線，交BC于點G、H，可得∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°，因此△EGH是直角三角形。由于E、F分別是AD、BC的中點，可以證明F是GH的中點。因此，EF=GH=(BC-BG-CH)/2=(BC-AE-DE)/2=((BC-AD)/2)=(3-1)/2=1。例4：已知梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面積。解：如圖，作DE∥AC，交BC的延長線于E點。由于AD∥BC，四邊形ACED是平行四邊形，因此BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4。在△DBE中，BD=3，DE=4，BE=5，因此∠BDE=90°。作DH⊥BC于H，則DH=BH×CE/AD=12×5/4=15/2。因此，S梯形ABCD=(AD+BC)×DH/2=(1+4)×(15/2)/2=15。例5：在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=5√2，求證：AC⊥BD。解：過點C作BD的平行線交AD的延長線于點E，易得四邊形BCED是平行四邊形，因此DE=BC，CE=BD=5√2，所以AE=AD+DE=AD+BC=3+7=10。在等腰梯形ABCD中，AC=BD=5√2，AC+CE=10√2=AE，因此在△ACE中，AC⊥CE，于是AC⊥BD。例6：在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面積。解：過點D作DE//AC，交BC的延長線于點E，由此得到四邊形ACED是平行四邊形，因此S△ABD=S△ACD=S△DCE，所以S梯形ABCD=S△DBE。由勾股定理得EH=DE-DH=AC-DH=15-12=3（cm），BH=√(BD^2-DH^2)=√(400-144)=16（cm），因此S△DBE=BE×DH/2=(9+16)×12/2=150(cm^2)，即梯形ABCD的面積是150cm^2。例7：在梯形ABCD中，延長BA、CD交于點E，使其轉(zhuǎn)化為△BCE。由題意可知，∠B=50°，∠C=80°，BC=5，AD=2。根據(jù)△BCE中的角度關(guān)系可得，∠E=50°，從而BC=EC=5。同理可得AD=ED=2，因此CD=EC-ED=5-2=3。例8：四邊形ABCD中，AD不平行于BC，AC=BD，AD=BC。將AD、BC延長相交于點E，連接AE、BE、CE、DE。由于AC=BD，AD=BC，AB=BA，因此△DAB≌△CBA，從而∠DAB=∠CBA。又根據(jù)延長后的圖形可知，EA=EB，DE=CE，∠EDC=∠ECD。根據(jù)角度和為180°可得∠E+∠EAB+∠EBA=∠E+∠EDC+∠ECD=180°，因此∠EDC=∠EAB，即DC∥AB。又由于AD不平行于BC，因此四邊形ABCD是等腰梯形。例9：在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于點E。連接BD，由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。因此∠ADB=∠BDE。又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，因此Rt△BAD≌Rt△BED，得AD=DE。例10：在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，對角線AC⊥BD，垂足為F，過點F作EF//AB，交AD于點E。連接DG⊥AB于點G，易知四邊形DGBC是矩形，因此DC=BG，AG=GB，DA=DB，∠DAB=∠DBA。又因為EF//AB，因此四邊形ABFE是等腰梯形。例11：在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm。作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，又∵AD∥BC，因此四邊形AEFD是矩形，EF=AD=3cm。根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得，BE=FC=(BC-EF)/2=1cm。因此腰AB的長為AB=BE+BC=6cm。梯形ABCD的面積為(AB+CD)×AD/2=(6+5)×3/2=16.5cm2。在梯形ABE中，已知∠B=60°，BE=1cm，因此AB=2BE=2cm，AE=3BE=3cm。根據(jù)梯形面積公式，可得梯形ABCD的面積為43cm2。1、已知梯形一腰中點，作梯形的中位線。例如，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中點，∠AOD=90°，證明AB＋CD=AD。證明：連接AD的中點E，連接OE。由于OE是梯形ABCD的中位線，因此OE=1/2AD。又因為∠AOD=90°，所以AE=DE，從而OE=1/2(AB+CD)。因此，AB+CD=AD。2、已知梯形兩條對角線的中點，連接梯形一頂點與一條對角線中點，并延長與底邊相交，使問題轉(zhuǎn)化為三角形中位線。例如，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分別是BD、AC的中點，證明EF//AD且EF=(BC-AD)/2。證明：連接DF，并延長交BC于點G，易證△AFD≌△CFG。因此，AD=CG，DF=GF。由于DE=BE，所以EF是△BDG的中位線，從而EF//BG，且EF=1/2BG。因為AD//BG，所以BG=BC-AD，從而EF//AD，EF=(BC-AD)/2。3、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點時，過這點構(gòu)造出兩個全等的三角形達到解題的目的。例如，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90，E是DC上的中點，連接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。解：分別延長AE與BC，并交于F點。因為AD∥BC，所以∠FBA=90°。又因為AD∥BC，所以∠DAE=∠F。因為E是CD的中點，所以DE=EC，從而△ADE≌△FCE。因此，AE=FE。在△ABF中，∠FBA=90且AE=FE，因此BE=FE。因此，在△FEB中，∠EBF=∠FEB，從而∠AEB=∠EBF+∠FEB=2∠CBE。例如，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，E是CD中點，證明AE=BE。解：延長AE，與BC延長線交于點F。因為DE=CE，∠AED=∠CEF，∠DAE=∠F，所以△ADE≌△FCE。因此，AE=EF。因為AB⊥BC，所以BE=AE。因此，AE=BE。解題方法一：造直角三角形法例1：在圓O中，過點M作直徑AB，最短弦CD=10cm，最長弦AB=26cm，求AM的長度。解：如圖，連接OA、OB，構(gòu)成Rt△OAB，由勾股定理得：OA2+OB2=AB2∵AB=26cm∴OA2+OB2=676又∵CD=10cm，∴OD=5cm∴OA2=OD2+AD2=25+AD2∴OB2=OD2+BD2=25+BD2代入上式得：25+AD2+25+BD2=676∴AD2+BD2=626又∵AD+BD=AM∴(AD+BD)2=AM2∴AM2=AD2+BD2+2×AD×BD代入上式得：AM2=626+2×AD×BD又∵AD×BD=OD2-AD2=25-AD2∴AM2=626+2(25-AD2)∴AM2=676-2AD2∴AM=√(676-2AD2)答：AM=√(676-2AD2)。例2：在⊙O中，AB是直徑，AC是切線，CD是直徑，DE是切線，求證：CE=AE。解：如圖，連接OA、OC、OE，構(gòu)成Rt△OAE、△OCE、△ODE，由相似三角形得：∵∠OAE=90°，∠OCE=90°，∠ODE=90°∴△OAE∽△OCE∽△ODE又∵AB是直徑，∠OAB=90°∴∠CAE=∠OAB又∵CD是直徑，∠OCD=90°∴∠ODE=∠OCD又∵DE是切線，∠ODE=∠EDC∴∠OCD=∠EDC又∵∠OCE=90°，∠EDC=90°∴△OCE∽△EDC又∵△OCE∽△OAE∴△OAE∽△EDC又∵∠OAE=∠EDC∴△OAE≌△EDC又∵OA=O