第七章 不等式第1講

不等關(guān)系及不等式的性質(zhì)了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式(組)的實(shí)際背景.掌握不等式的性質(zhì)及應(yīng)用.要點(diǎn)梳理考點(diǎn)自測(cè)>1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法??-??

>

0?

??

??=<(1)作差法???-??

=

0?

??

??(a,b∈R);??-??

<

0?

??

??(2)作商法???????

>

1?

a>????(a,b∈R,b>0).??????

=

1?

a=??

<

1?

a<要點(diǎn)梳理考點(diǎn)自測(cè)2.不等式的基本性質(zhì)b<aa>ca+c>b+cac>bcac<bc性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意對(duì)稱性a>b?

?傳遞性a>b,b>c?

?可加性a>b?

?可乘性a>

b??

c

>

0c

的符號(hào)a>

b??

c

<

0要點(diǎn)梳理考點(diǎn)自測(cè)a+c>b+dac>bdan>bnn√??

>

n√??性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意同向可加性a

>

????

c

>

???同向同正可乘性a

>

??

>

0??

c

>

??

>

0?可乘方性a>b>0?

(n∈N,n>1)同正可開方性a>b>0?

(n∈N,n>1)要點(diǎn)梳理考點(diǎn)自測(cè)3.不等式性質(zhì)的拓展(1)倒數(shù)性質(zhì):①a>b,ab>0?1

<

1;??

??②a<0<b?1

<

1;??

??③a>b>0,0<c<d???

>

??;??

????

??

??④0<a<x<b

或a<x<b<0?1

<1

<1.(2)若a>b>0,m>0,則①??

<

??+??

,

??

>

??-??(a-m>0);??

??+??

??

??-??②??

>

??+??

,

??

<

??-??(b-m>0).??

??+??

??

??-??要點(diǎn)梳理考點(diǎn)自測(cè)1245361.若a>b>0,c<d<0,則一定有()A.??

>

??

B.??

<

????

c

??

cC.??

>

??c

??D.??

<

??c

??解析:∵c<d<0,∴-c>-d>0,-1>-1>0.又a>b>0,∴-??>-??>0,∴??

<??.??

c

??

c

??

c答案:B要點(diǎn)梳理考點(diǎn)自測(cè)124532.若

x+y>0,a<0,ay>0,則

x-y

的值(

)A.大于0C.小于0B.等于0D.不確定解析:由a<0,ay>0

知y<0,又x+y>0,所以x>0.故x-y>0.答案:A6要點(diǎn)梳理考點(diǎn)自測(cè)124533.已知

a,b

是實(shí)數(shù),則“a>0

且

b>0”是“a+b>0且

ab>0”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析:由a>0

且b>0

可知a+b>0,ab>0;反之,由ab>0,則a,b

同號(hào),由a+b>0

知a>0,b>0.故為充分必要條件.答案:C6要點(diǎn)梳理考點(diǎn)自測(cè)124534.(2014

遼寧錦州模擬)設(shè)

a>0

且

a≠1,P=loga(a3-1),Q=loga(a2-1),則

P

與

Q

的大小關(guān)系為

.解析:由a3-1>0,a2-1>0,且a>0,可知a>1.又(a3-1)-(a2-1)=a2(a-1)>0,故a3-1>a2-1.所以loga(a3-1)>loga(a2-1),即P>Q.答案:P>Q6要點(diǎn)梳理考點(diǎn)自測(cè)124535.已知-π<α<β<π,則

α-β

的取值范圍是

.2

2π

π解析:∵-

<α<β<

,2

2π

π

π

π∴-

<α<

,-

<-β<

.2

2

2

2∴-π<α-β<π.又∵α<β,∴α-β<0.∴-π<α-β<0.答案:(-π,0)6要點(diǎn)梳理考點(diǎn)自測(cè)1245326.若0<a<b,且a+b=1,則將a,b,1,2ab,a2+b2

從小到大排列為

.解析:∵0<a<b,a+b=1,∴b>1,a<1.不妨令a=1,b=3,2

2

4

4則

2ab=3,a2+b2=

1

+

9

=

10

=

5.8

16

16

16

8故a<2ab<1<a2+b2<b.2答案:a<2ab<1<a2+b2<b26考向1考向2考向3考向

1

不等式的性質(zhì)【例

1】(1)設(shè)

a,b,c∈R,且

a>b,則(

)??

??A.ac>bc

B.1

<

1C.a2>b2

D.a3>b3(2)設(shè)

a,b∈R,則“(a-b)·a2<0”是“a<b”的(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件微型技巧總結(jié)考向1考向2考向3微型技巧總結(jié)考向1考向2考向3微型技巧總結(jié)考向1考向2考向3解析:(1)∵-1<b<0,∴b<b2<1.又∵a<0,∴ab>ab2>a.(2)∵a2>2|a|,∴|a|>2,即a>2

或a<-2.∵a>2,∴a2>2|a|.∴“a>2”是“a2>2|a|”的充分不必要條件.答案:(1)D

(2)A微型技巧總結(jié)考向1考向2考向3微型技巧總結(jié)考向1考向2考向3(2)∵a>0,b>0,∴aabb>0,abba>0.????????

??又????????=aa-b·bb-a=??????-??

.??若a>b>0,則??>1,a-b>0,??∴??????-??

>1,∴aabb>abba;????若0<a<b,則0<<1,a-b<0,∴??????-??

>1.∴aabb>abba.??綜上知aabb>abba.微型技巧總結(jié)考向1考向2考向3微型技巧總結(jié)考向1考向2考向3微型技巧總結(jié)考向1考向2考向3微型技巧總結(jié)考向1考向2考向3方法二:由???(-1)

=

??-??,??(1)

=

??

+

??,得?2??

=

1

[f(-1)

+

f(1)],2??

=

1

[f(1)-f(-1)],∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,∴5≤3f(-1)+f(1)≤10.故5≤f(-2)≤10.微型技巧總結(jié)考向1考向2考向3微型技巧總結(jié)考向1考向2考向3微型技巧總結(jié)考向1考向2考向3微型技巧總結(jié)??

??【典例】若1

<1<0,則下列不等式:①

1??+??<

1

;②|a|+b>0;③a-1>b-1;④ln

a2>ln

b2中,正確的不等式是????

??

??(

)A.①④C.①③B.②③D.②④【常規(guī)解法】由1

<1<0,可知b<a<0.①中,a+b<0,ab>0,所以??

??1

1

1

1??+??<0,

>0,故有

<

,故①正確,排除

B,D;③中,因?yàn)?/p>

b<a<0,即

0>a>b,????

??+??

????又因?yàn)?

<1<0,所以a-1>b-1,故③正確,排除A,選C.??

??

??

??【答案】C考向1考向2考向3微型技巧總結(jié)【解法分析】1.此類題目通常是邊選邊排除.2.在選的過程中應(yīng)用不等式性質(zhì)變形判斷是通法,但運(yùn)算量大,極易出錯(cuò).【巧妙解法】因?yàn)?

<

1<0,故可取

a=-1,b=-2,顯然

1

=-1

,

1

=

1,故①??

??

??+??

3

????

2??

??-1

-22

??

??對(duì),排除B,D;對(duì)于③中,a-1=-1-

1

=0,而b-1=-2-

1

=-3,故a-1>b-1成立,排除A,選C.【妙解分析】1.仍然采用邊選邊排除的思想.2.在選與排除的過程中采用特值法驗(yàn)證,簡(jiǎn)化了過程,提高了準(zhǔn)確率.【小試牛刀】若

a>b>0,則下列不等式中一定成立的是(

)A.a+1>b+1??

??B.??

>

??+1C.a-1>b-1??

????

??+1D.2??+??

>

????+2??

??考向1考向2考向3解析:常規(guī)解法:對(duì)

B,??

?

??+1

=??(??+1)-??(??+1)

=

??-????

??+1

??(??+1)

??(??+1)<0,故B

不成立.2

2對(duì)

D,2??+??

?

??

=

??(2??+??)-??(??+2??)

=

2????+??

-??2-2ab

=

??

-??2??+2??

??

??(??+2??)

??(??+2??)

??(??+2??)<0,故D

不成立.另外,函數(shù)f(x)=x-1