第一章隨機事件與概率1.5全概公式與

貝葉斯公式第1頁全概率公式和貝葉斯公式主要用于計算比較復雜事件概率，它們實質(zhì)上是加法公式和乘法公式綜合利用.綜合利用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)>0第2頁1.5節(jié)需要弄清楚下述問題：1、全概公式及其適用條件？2、貝葉斯公式及其適用條件？第3頁4例1

有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個紅球4個白球，2號箱裝有2紅3白球，3號箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，求取得紅球概率.解：記

Ai={球取自i號箱},

i=1,2,3;

B={取得紅球}B發(fā)生總是伴伴隨A1，A2，A3之一同步發(fā)生，123一、全概率公式第4頁5即B=A1B+A2B+A3B，

且A1B、A2B、A3B兩兩互斥P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)利用加法公式得將此例中所用辦法推廣到一般情形，就得到在概率計算中常用全概率公式.對求和中每一項利用乘法公式得代入數(shù)據(jù)計算得：P(B)=8/15第5頁6樣本空間劃分

基本思想把復雜事件分解為互不相容較簡單事件之和，通過度別計算這些較簡單事件概率，再利用概率可加性，得到復雜事件概率。第6頁定理1.1(全概率公式)假如事件組成一種完備事件組，并且則對于任何一種事件，有(1.21)（1）全概率公式中事件組是完備事件組；（2）該公式一般用于：所求事件概率也許由某些原因引發(fā),而這些原因又組成完備事件組；（3）在應用該公式時，必須先找出引發(fā)該事件完備事件組。注意：第7頁8乘法定理證明關(guān)鍵：找完備事件組，利用概率可加性及乘法公式第8頁定理（全概公式）：設隨機試驗E，是其樣本空間，且，假如事件組成一種完備事件組，且則有：注意：一定要找到樣本空間一種完備事件組.B條件概率第9頁10【例2】市場上某種商品由三個廠家同步供獲,其供應量為:甲廠家是乙廠家2倍,乙.丙兩個廠家相等,且各廠產(chǎn)品次品率為2%,2%,4%,(1)求市場上該種商品次品率.解：設Ai表達取到第i個工廠產(chǎn)品，i=1,2,3,B表達取到次品,由題意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04=0.025由全概率公式得:第10頁11【例3】播種用一等小麥種子中混有2%二等種子，1.5%三等種子，1%四等種子。用一、二、三、四等種子長出穗含50顆以上麥粒概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，求這批種子所結(jié)穗含50顆以上麥粒概率？解：設從這批種子中任選一顆是一、二、三、四等種子事件是A1、A2、A3、A4，則它們組成樣本空間一種劃分。設B=“從這批種子中任選一顆，所結(jié)穗含50顆以上麥?！?，則：第11頁例4：科學研究表白，遺傳對智力是有影響，根據(jù)醫(yī)學統(tǒng)計，生男孩和生女孩也許性各為50%，而智力遺傳原因都來自于X染色體。請問：孩子智力遺傳原因中，來自母親也許性有多大？XYXXXXXY第12頁解：設分別代表男孩，女孩；B代表智力遺傳

來自母親，則：根據(jù)：第13頁實際中，尚有下面一類問題，是“已知成果求原因”1231紅4白某人從任一箱中任意摸出一球，發(fā)覺是紅球，求該球是取自1號箱概率？或者問：該球取自哪號箱也許性最大?這一類問題在實際中更為常見，它所求是條件概率，是已知某成果發(fā)生條件下，求各原因發(fā)生也許性大小.處理此類問題辦法——貝葉斯公式第14頁15二、貝葉斯公式有三個箱子，分別編號為1,2,3，1號箱裝有1個紅球4個白球，2號箱裝有2紅球3白球，3號箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱，從中任意摸出一球，發(fā)覺是紅球,求該球是取自1號箱概率

.1231紅4白?第15頁16記Ai={球取自i號箱},i=1,2,3;

B={取得紅球}求P(A1|B)利用全概率公式計算P(B)將這里得到公式一般化，就得到貝葉斯公式1231紅4白?第16頁定理（貝葉斯公式）：設隨機試驗E，是其樣本空間，且，假如事件組成一種完備事件組，且則有：注意：一定要找到樣本空間一種完備事件組.

貝葉斯，英國（1701-1761）第17頁注：該公式于1763年（這個指是刊登文章年限）

由貝葉斯(Bayes)給出.它是在觀測到事件B已

發(fā)生條件下，尋找造成B發(fā)生每個原因概率.例5：某村麥種放在甲乙病三個倉庫保管，其保管

數(shù)量分別占總數(shù)量40%、35%、25%，所

保管麥種發(fā)芽率分別為0.95、0.92、0.90，

現(xiàn)將三個倉庫麥種所有混合，求⑴其發(fā)芽率；⑵在發(fā)芽情況下，該麥種是乙廠庫概率.第18頁解：設分別代表甲、乙、丙倉庫保管麥種，B代表麥種發(fā)芽，則：（1）根據(jù)：（2）由第19頁【例6】市場上某種商品由三個廠家同步供獲,其供應量為:甲廠家是乙廠家2倍,乙,丙兩個廠家相等,且各廠產(chǎn)品次品率為2%,2%,4%,(1)求市場上該種商品次品率.(2)若從市場上商品中隨機抽取一件,發(fā)覺是次品,求它是甲廠生產(chǎn)概率?解：(2)設Ai表達取到第i個工廠產(chǎn)品，i=1,2,3,B表達取到次品,由題意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04由Bayes公式得:第20頁例7：某車間對以往數(shù)據(jù)分析成果表白，當機器調(diào)

整得良好時，產(chǎn)品合格率為98%，而當

機器發(fā)生故障時，合格率為55%.每天早上

機器開動時，機器調(diào)整良好概率為95%.

試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格品時，機器調(diào)整得良好概率？第21頁解：設A代表機器調(diào)整良好，B代表合格，則：先求：再由第22頁注：⑴先驗概率：全概率公式中，事件看作是造成事件B發(fā)生“原因”，是在事件B是否發(fā)生前出現(xiàn)概率，一般稱為先驗概率⑵是在事件B發(fā)生條件下，某個原因發(fā)生概率，稱為后驗概率；Bayes公式又稱為后驗概率公式或逆概公式，用它進行判斷辦法稱為貝葉斯決策先驗概率：是在沒有深入信息（不懂得B是否發(fā)生）情況下，人們對諸事件發(fā)生也許性大小結(jié)識后驗概率：當有了新信息（懂得B發(fā)生）人們對諸事件發(fā)生也許性大小有了新結(jié)識第23頁如：某地發(fā)生了一種案件，懷疑對象有甲、乙、丙三人甲乙丙在不理解案情細節(jié)（事件B）之前，偵破人員根據(jù)過去前科，對他們作案也許性有一種估計，設為：但在懂得案情細節(jié)（事件B）后，這個估計就有了變化，例如本來以為作案也許性較小甲目前嫌疑最大三個值中最大第24頁貝葉斯

公式貝葉斯網(wǎng)絡

貝葉斯決策理論貝葉斯

統(tǒng)計應用領(lǐng)域：數(shù)學領(lǐng)域工程領(lǐng)