11

2142

1

1122

3

1

123

6

979A

k階子式在m

n矩陣A中

任取k行與k列(k

m

k

n)

位于這些行列交叉處的k2個元素

不改變它們在A中所處的位置次序而得的k階行列式

稱為矩陣A的k階子式

例如

11

3

1D

是A的一個二階子式11

2142

1

1122

3

1

123

6

979A

下頁112142111說明

矩陣的秩設(shè)在矩陣A中有一個不等于0的r階子式D

且所有r

1階子式(如果存在的話)全等于0

那么D稱為矩陣A的最高階非零子式

數(shù)r稱為矩陣A的秩

記作R(A)

并規(guī)定零矩陣的秩等于0

矩陣A的秩R(A)就是A中不等于0的子式的最高階數(shù)

(1)若矩陣A中有某個s階子式不為0

則R(A)

s

若A中所有t階子式全為0

則R(A)

t

(2)若A為m

n矩陣

則0

R(A)

min{m

n}

(3)R(AT)

R(A)

幾個簡單結(jié)論下頁說明矩陣的秩矩陣A的秩R(A)就是A中不矩陣的秩設(shè)在矩陣A中有一個不等于0的r階子式D

且所有r

1階子式(如果存在的話)全等于0

那么D稱為矩陣A的最高階非零子式

數(shù)r稱為矩陣A的秩

記作R(A)

并規(guī)定零矩陣的秩等于0

(1)若矩陣A中有某個s階子式不為0

則R(A)

s

若A中所有t階子式全為0

則R(A)

t

(2)若A為m

n矩陣

則0

R(A)

min{m

n}

(3)R(AT)

R(A)

幾個簡單結(jié)論

(4)對于n階矩陣A

當(dāng)|A|

0時

R(A)

n

當(dāng)|A|

0時

R(A)

n

可逆矩陣又稱為滿秩矩陣

不可逆矩陣(奇異矩陣)又稱為降秩矩陣

下頁矩陣的秩(1)若矩陣A中有某個s階子式不為0提示

例1

求矩陣A和B的秩

其中在A中

容易看出一個2階子式A的3階子式只有一個|A|

經(jīng)計算可知|A|

0

因此R(A)

2

解

以三個非零行的首非零元為對角元的3階子式是一個上三角行列式

它顯然不等于0

因此R(B)

3

B是一個有3個非零行的行階梯形矩陣

其所有4階子式全為零

對于行階梯形矩陣

它的秩就等于非零行的行數(shù)

下頁提示例1求矩陣A和B的秩其中定理1

若A~B

則R(A)

R(B)

根據(jù)這一定理

為求矩陣的秩

只要把矩陣用初等行變換變成行階梯形矩陣

行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)即是該矩陣的秩

下頁定理1根據(jù)這一定理為求矩陣的秩只因為

解

例2求矩陣A的秩

并求A的一個最高階非零子式

其中

所以R(A)

3

為求A的最高階非零子式

考慮由A的1、2、4列構(gòu)成的矩陣因為A0的子式所以這個子式是A的最高階非零子式

>>>>>>下頁因為解例2求矩陣A注

以B為增廣矩陣的線性方程組Ax

b是無解的

這是因為行階梯形矩陣的第3行表示矛盾方程0

1

例3

求矩陣A及B

(A

b)的秩

其中對B作初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣

設(shè)B的行階梯形矩陣為B0

(A0

b0)

則A0就是A的行階梯形矩陣

故從B0

(A0

b0)中可同時看出R(A)及R(B)

解

因為所以R(A)

2

R(B)

3

>>>下頁注以B為增廣矩陣的線性方程組Axb是無

例4

設(shè)

已知R(A)

2

求

與

的值

解

因R(A)

2

故下頁例4設(shè)

(6)R(A

B)

R(A)

R(B)

(5)max{R(A)

R(B)}

R(A

B)

R(A)

R(B)

特別地

當(dāng)B

b為列向量時

有R(A)

R(A

b)

R(A)

1

(4)若P、Q可逆

則R(PAQ)

R(A)

>>>這是因為(A

B

B)~(A

B)

于是下頁R(A

B

B)

R(A

B)R(A

B)

R(A)

R(B)

矩陣秩的性質(zhì)

(1)0

R(Am

n)

min{m

n}

(2)R(AT)

R(A)

(3)若A~B

則R(A)

R(B)

(6)R(AB)R(A)R(B)因為A的最高階非零子式總是(A

B)的非零子式

所以R(A)

R(A

B)

同理有R(B)

R(A

B)

兩式合起來

即為max{R(A)

R(B)}

R(A

B)

設(shè)R(A)

r

R(B)

s

把A和B分別作列變換化為列階梯形

則A0和B0中分別含有r個和s個非零列

因為A~A0

B~B0

所以(A

B)~(A0

B0)

由于(A0

B0)中只含有r

s個非零列

所以R(A0

B0)

r

s

而R(A

B)

R(A0

B0)

故R(A

B)

r

s

即R(A

B)

R(A)

R(B)

證明性質(zhì)max{R(A)

R(B)}

R(A

B)

R(A)

R(B)

返回因為A的最高階非零子式總是(AB)的非零矩陣秩的性質(zhì)

(8)若Am

n

Bn

l

O

則R(A)

R(B)

n

(7)R(AB)

min{R(A)

R(B)}

(6)R(A

B)

R(A)

R(B)

(5)max{R(A)

R(B)}

R(A

B)

R(A)

R(B)

特別地

當(dāng)B

b為列向量時

有R(A)

R(A

b)

R(A)

1

(4)若P、Q可逆

則R(PAQ)

R(A)

>>>下頁

(1)0

R(Am

n)

min{m

n}

(2)R(AT)

R(A)

(3)若A~B

則R(A)

R(B)

矩陣秩的性質(zhì)(8)若AmnBnlO返回性質(zhì)R(AB)

min{R(A)

R(B)}的證明

設(shè)R(A)

r

R(B)

s

又設(shè)A的行階梯形為A0

B的列階梯形為B0

則存在可逆矩陣P和Q使A

PA0

B

B0Q

因為AB

PA0B0Q

所以R(AB)

R(A0B0)

因為A0有r個非零行

B0有s個非零列

所以A0B0至多有r個非零行和s個非零列

因此R(A0B0)

min{r

s}

min{R(A)

R(B)}

即R(AB)

min{R(A)

R(B)}

返回性質(zhì)R(AB)min{R(A)R(B)}的證明提示

而R(E

A)

R(A

E)

所以R(A

E)

R(A

E)

n

例5

設(shè)A為n階矩陣

證明R(A

E)

R(A

E)

n

證明因為(A

E)

(E

A)

2E

由性質(zhì)(6)

有R(A

E)

R(E

A)

R(2E)

n

R(A

B)

R(A)

R(B)

結(jié)束提示而R(EA)R(AE)所以例設(shè)A為n階矩陣(n

2)

A*為A的伴隨陣

證明

證明當(dāng)R(A)n2時A中每個元素的代數(shù)余子式都為0故A*O從而R(A*)0當(dāng)R(A)

n時

|A|

0

故有|AA*|

||A|E|

|A|

0

|A*|

0

所以R(A*)

n

當(dāng)R(A)

n

1時

|A|0

故