新高考新題型——數(shù)學(xué)平面向量多選題專項(xiàng)練習(xí)附答案一、平面向量多選題1．Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB，BC=1，，以下正確的是（）A．∠APB=120° B．∠BPC=120°C．2BP=PC D．AP=2PC【答案】ABCD【分析】根據(jù)條件作幾何圖形，由向量的關(guān)系可得P，G，Q三點(diǎn)共線且PQ=1，故△PMQ和△PNQ均為等邊三角形，∠APB=∠BPC=∠APC=120°，進(jìn)而可確定P為Rt△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，利用相似可確定BP、AP、PC之間的數(shù)量關(guān)系.【詳解】在直線PA，PB，PC上分別取點(diǎn)M，N，G，使得||=||=||=1，以PM，PN為鄰邊作平行四邊形PMQN，則，∵，即，即，∴P，G，Q三點(diǎn)共線且PQ=1，故△PMQ和△PNQ均為等邊三角形，∴∠APB=∠BPC=∠APC=120°，故A、B正確；∵AB，BC=1，∠ABC=90°，∴AC=2，∠ACB=60°，在△ABC外部分別以BC?AC為邊作等邊△BCE和等邊△ACD，直線CP繞C旋轉(zhuǎn)60°交PD于P’，∴，即，故，，即，故，∴為等邊三角形，，則B，P，D三點(diǎn)共線，同理有A，P，E三點(diǎn)共線，∴△BPC∽△BCD，即，即PC=2BP，故C正確，同理：△APC∽△ACB，即2，即AP=2PC，故D正確.故選：ABCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知條件及向量的數(shù)量關(guān)系確定P為Rt△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，結(jié)合相似三角形及費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤.2．已知向量，，設(shè)函數(shù)，則下列關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)的描述正確的是（）A．的最大值為 B．的周期為C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．在上是增函數(shù)【答案】ABD【分析】運(yùn)用數(shù)量積公式及三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)，根據(jù)性質(zhì)判斷.【詳解】解：，當(dāng)，時(shí)，的最大值為，選項(xiàng)A描述準(zhǔn)確；的周期,選項(xiàng)B描述準(zhǔn)確；當(dāng)時(shí)，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)C描述不準(zhǔn)確；當(dāng)時(shí)，，所以在上是增函數(shù)，選項(xiàng)D描述準(zhǔn)確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.3．已知邊長(zhǎng)為4的正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)為，以為圓心，6為半徑作圓；若點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段，的垂直平分線分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，再利用向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】作出圖形如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段，的垂直平分線分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系；觀察可知，，，，，設(shè)，則，故，，，故，故，.故選：BC4．設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，P，Q分別是曲線和上的動(dòng)點(diǎn)，記，則下列命題不正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】ABD【分析】作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用圖象結(jié)合平面向量共線知識(shí)和平面向量數(shù)量積的幾何意義分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意，在直線上取點(diǎn)，且滿足，過(guò)分別作直線的垂線，交曲線于，，交曲線于，在曲線上取點(diǎn)，使，如圖所示：，令，則，，令，則，若，則，若，則即可，此時(shí)可以與重合，與重合，滿足題意，但是不成立，且，所以A、B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，若，此時(shí)與重合，且與重合，或與重合，且與重合，所以滿足，所以C正確；對(duì)于D，當(dāng)與重合時(shí)，滿足，但此時(shí)在直線上的投影不在處，因而不滿足，即，所以D不正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用圖象結(jié)合平面向量共線知識(shí)和平面向量數(shù)量積的幾何意義求解是解題關(guān)鍵.5．已知直線與直線相交于點(diǎn)，線段是圓的一條動(dòng)弦，為弦的中點(diǎn)，，下列說(shuō)法正確的是（）A．弦的中點(diǎn)軌跡是圓B．直線的交點(diǎn)在定圓上C．線段長(zhǎng)的最大值為D．的最小值【答案】ABC【分析】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)，利用已知條件先求出圓心到弦的距離，利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得到結(jié)論；對(duì)于選項(xiàng)B：聯(lián)立直線的方程組求解點(diǎn)的坐標(biāo)，代入選項(xiàng)驗(yàn)證即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C：利用選項(xiàng)AB結(jié)論，得到圓心坐標(biāo)和半徑，利用求解即可；對(duì)于選項(xiàng)D：利用平面向量的加法法則以及數(shù)量積運(yùn)算得到，進(jìn)而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求問(wèn)題，即可判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)，，為弦的中點(diǎn)，，而，半徑為，則圓心到弦的距離為，又圓心，，即弦的中點(diǎn)軌跡是圓.故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由，得，代入整理得，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由選項(xiàng)A知：點(diǎn)的軌跡方程為：，由選項(xiàng)B知：點(diǎn)的軌跡方程為：，，所以線段，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：，故，由選項(xiàng)C知：，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了求圓的軌跡問(wèn)題以及兩個(gè)圓上的點(diǎn)的距離問(wèn)題.把兩個(gè)圓上的點(diǎn)的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圓的圓心與半徑之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.6．在平行四邊形中，，，，交于F且，則下列說(shuō)法正確的有（）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算，以及向量的夾角公式，逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：易證，所以，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，即，所以，所以，解得：，，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：選項(xiàng)B的關(guān)鍵點(diǎn)是能得出，即可得，選項(xiàng)D的關(guān)鍵點(diǎn)是由于和的模長(zhǎng)和夾角已知，故將和用和表示，即可求出數(shù)量積.7．已知為的重心，為的中點(diǎn)，則下列等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則依次討論即可的答案.【詳解】解：如圖，根據(jù)題意得為三等分點(diǎn)靠近點(diǎn)的點(diǎn).對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則易得，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，由于為三等分點(diǎn)靠近點(diǎn)的點(diǎn)，，所以，故正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】本題考查向量加法與減法的運(yùn)算法則，是基礎(chǔ)題.8．下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的為A．已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是B．向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底C．若，則在方向上的正射影的數(shù)量為D．三個(gè)不共線的向量，，，滿足，則是的內(nèi)心【答案】AC【分析】對(duì)于A，由向量的交角為銳角的等價(jià)條件為數(shù)量積大于0，且兩向量不共線，計(jì)算即可；對(duì)于B，由，可知，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底；對(duì)于C，利用向量投影的定義即可判斷；對(duì)于D，由，點(diǎn)在角的平分線上，同理，點(diǎn)在角的平分線上，點(diǎn)在角的平分線上，進(jìn)而得出點(diǎn)是的內(nèi)心.【詳解】對(duì)于A，已知，，且與的夾角為銳角，可得，且與不共線，，即有，且，解得且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是且，故A不正確；對(duì)于B，向量，，，，向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，故B正確；對(duì)于C，若，則在上的投影為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，表示與中角的外角平分線共線的向量，由，可知垂直于角的外角平分線，所以，點(diǎn)在角的平分線上，同理，點(diǎn)在角的平分線上，點(diǎn)在角的平分線上，故點(diǎn)是的內(nèi)心，D正確.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的運(yùn)算和有關(guān)概念，具體包括向量數(shù)量積的夾角公式、向量共線的坐標(biāo)表示和向量投影的定義等知識(shí)，屬于中檔題.9．若平面向量?jī)蓛蓨A角相等，為單位向量，，則（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AD【分析】由平面向量?jī)蓛蓨A角相等可知，夾角為或.分兩種情況對(duì)三個(gè)向量的和的模長(zhǎng)進(jìn)行討論，算出結(jié)果.【詳解】平面向量?jī)蓛蓨A角相等，兩兩向量所成的角是或.當(dāng)夾角為時(shí)，同向共線，則；當(dāng)夾角為時(shí)，為單位向量，，且與反向共線，又，.故選：AD.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量共線的性質(zhì)，平面向量的模的求法，考查了分類討論的思想，屬于中檔題.10．已知向量，，，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)t可以為（）A．-2 B． C．1 D．-1【答案】ABD【分析】若點(diǎn)A，B，C