第第頁(yè)高二數(shù)學(xué)人教A版選修一1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題（練習(xí)）（含解析）1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題

學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________

一、單選題

1.若平面的一個(gè)法向量為，，，，，則點(diǎn)到平面的距離為()

A.B.C.D.

2.已知直線的方向向量為，點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)到直線的距離為()

A.B.C.D.

3.已知平面的法向量為，點(diǎn)在平面內(nèi)，且點(diǎn)到平面的距離為，則()

A.B.C.或D.

4.已知，，，，，那么點(diǎn)到平面的距離為()

A.B.C.D.

5.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，是平面的中心，則點(diǎn)到平面的距離是()

A.B.C.D.

6.已知是各條棱長(zhǎng)均等于的正三棱柱，是側(cè)棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為()

A.B.C.D.

7.已知正方體的棱長(zhǎng)為，、分別為棱、的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，則點(diǎn)到平面的距離為()

A.

B.

C.

D.

8.定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值在長(zhǎng)方體中，，，，則異面直線與之間的距離是()

A.B.C.D.

9.如圖，在正方體中，，點(diǎn)在平面內(nèi)，，則點(diǎn)到距離的最小值為()

A.B.C.D.

10.在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，在平面內(nèi)存在點(diǎn)使得，則直線到平面的距離為()

A.B.C.D.

11.如圖，在三棱錐中，平面平面，與均為等腰直角三角形，且，，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，若線段上存在點(diǎn)，使得異面直線與成的角，則線段長(zhǎng)的取值范圍是()

A.B.C.D.

12.已知長(zhǎng)方體，，，為線段上一點(diǎn)，且，則與平面所成的角的正弦值為()

A.B.C.D.

二、多選題

13.多選題已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，在正方體內(nèi)部且滿足，則下列說法正確的是()

A.點(diǎn)到直線的距離是

B.點(diǎn)到平面的距離為

C.平面與平面間的距離為

D.點(diǎn)到直線的距離為

14.如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)不含端點(diǎn)，且則下列說法正確的是()

A.平面

B.該三棱柱的外接球的表面積為

C.異面直線與所成角的正切值為

D.二面角的余弦值為

三、填空題

15.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則點(diǎn)到平面的距離是．

16.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為．

17.在空間直角坐標(biāo)系中，四面體的頂點(diǎn)分別為，則點(diǎn)到平面的距離為．

18.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，其中若平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)到平面的距離為．

19.如圖，已知為外一點(diǎn)，平面，垂足為，若，，兩兩垂直，且，則點(diǎn)到平面的距離是．

20.是正四棱錐，是正方體，其中，，則到平面的距離為．

21.將邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折疊成三棱錐，折后，則二面角的余弦值為．

22.如圖，在矩形中，，，，分別是邊，的中點(diǎn)，將正方形沿折到位置，使得二面角大小為，則異面直線與所成角的余弦值為．

23.如圖，已知是棱長(zhǎng)為的正方體的棱的中點(diǎn)，是棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)到面的距離，直線與面所成的角的正弦值．

四、解答題

24.本小題分

在長(zhǎng)方體中，，，，，分別為，的中點(diǎn)，求異面直線與的距離．

25.本小題分

如圖，五面體中，四邊形為矩形，平面，，，為中點(diǎn)．

求證：平面；

若平面平面，求點(diǎn)到平面的距離．

26.本小題分

如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，求平面與平面的距離．

27.本小題分

如圖，長(zhǎng)方體中，點(diǎn)在棱上，兩條直線，與平面所成角均為，與交于點(diǎn)．

求證：；

當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離．

28.本小題分

如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，，，分別為，的中點(diǎn)，，．

證明：；

求直線與平面所成角的正弦值．

29.本小題分

如圖，在四棱錐中，面，，且，，，，，為的中點(diǎn)．

求證：平面．

在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在說明理由．

求平面與平面所成二面角的余弦值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了利用空間向量解立體幾何的基本公式，屬于基礎(chǔ)題．

直接由點(diǎn)面距離的向量公式就可求出．

【解答】

解：，平面的一個(gè)法向量為，

故點(diǎn)到平面的距離為，

故選：．

2.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查空間中的距離問題，利用空間向量求點(diǎn)、線、面之間的距離，屬于基礎(chǔ)題．

先求出在上的投影長(zhǎng)度，再由勾股定理求出點(diǎn)到直線的距離即可．

【解答】

解：由題在上的投影長(zhǎng)度為，

所以點(diǎn)到直線的距離為，

故選D．

3.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了法向量的應(yīng)用、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

利用，即可得出．

【解答】

解：由已知得，平面的法向量為，

故點(diǎn)到平面的距離

．

解得或．

故選C．

4.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了利用空間向量法求點(diǎn)到平面的距離，屬于基礎(chǔ)題．

利用已知點(diǎn)的坐標(biāo)求出平面的法向量，然后利用點(diǎn)到直線距離公式求解即可．

【解答】

解：因?yàn)?，，?/p>

所以，

設(shè)平面的法向量為，

則有，即，

令，則，，

所以，

所以點(diǎn)到平面的距離為

．

故選：．

5.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查了利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離，屬于基礎(chǔ)題．

建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，平面的法向量，的坐標(biāo)，到平面的距離為，代入求解即可．

【解答】

解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則有，，，

，，．

因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，

所以，

即，，

設(shè)平面的法向量為，

則有，即

取，則．

所以點(diǎn)到平面的距離．

故選C．

6.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的合理運(yùn)用．

以為原點(diǎn)，以垂直的直線為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面的法向量，由，知，由向量法能求出到平面的距離．

【解答】

解：以為原點(diǎn)，以垂直的直線為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

是各條棱長(zhǎng)均等于的正三棱柱，是側(cè)棱的中點(diǎn)，

，，，

，

，，，

設(shè)平面的法向量，

，

，

到平面的距離

．

故選A．

7.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是基礎(chǔ)題．

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)到平面的距離．

【解答】

解：正方體的棱長(zhǎng)為，、分別為棱、的中點(diǎn)，

為棱上的一點(diǎn)，且，

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，

，

，，

，

設(shè)平面的法向量，

則，

取，得，

點(diǎn)到平面的距離：．

故選：．

8.【答案】

【解析】

【分析】

建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再求出直線和的公垂線的方向向量，利用異面直線與之間的距離公式求解即可．屬于中檔題．

本題考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，涉及了異面直線之間的距離計(jì)算，解題的關(guān)鍵是建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為空間向量進(jìn)行研究．

【解答】

解：以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則，，，，

所以，

設(shè)和的公垂線的方向向量為，

則有，即，

所以，

又，

所以異面直線與之間的距離．

故選：．

9.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查空間中點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查空間向量的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是拔高題．

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求出的坐標(biāo)，借助于向量求解點(diǎn)到距離的最小值．

【解答】

解；建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則平面的方程為，

又點(diǎn)在平面內(nèi)，且，則的軌跡滿足：

．

設(shè)，則，

，

點(diǎn)到距離

，

，，

，設(shè)，則，

則，

當(dāng)時(shí)，．

此時(shí)，即．

故選：．

10.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查的是利用空間向量求線面距離，是較難題．

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得面的法向量為，點(diǎn)到面的距離，代入即可求得，由面得到面的距離即為到面的距離，本題可解．

【解答】

解：如圖所示：

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

由題意可得，，，，，，，，，，

設(shè)，則，

，，，

故G，，

設(shè)面的法向量為，

則

令，則，，

面的一個(gè)法向量為，

點(diǎn)到面的距離

，

，，

又面，面，

面，

到面的距離即為到面的距離，為．

故選B．

11.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查線段的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出線段長(zhǎng)的取值范圍．

【解答】

解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，

設(shè)，，

則，

則

，

異面直線與成的角，

，

，，

又，，

則，解得，

，

線段長(zhǎng)的取值范圍是

故選：．

12.【答案】

【解析】

【分析】

以為原點(diǎn)，，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出與平面所成的角的正弦值．

本題考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．

【解答】

解：以為原點(diǎn)，，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，

，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由，取，得，

與平面所成的角的正弦值為：

．

故選：．

13.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查利用空間向量求點(diǎn)線、點(diǎn)面、面面距離，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng)，線面距、面面距實(shí)質(zhì)上都是點(diǎn)面距，求直線到平面、平面到平面的距離的前提是線面、面面平行，屬于中檔題．

建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線的方向向量和平面的法向量結(jié)合空間向量數(shù)量積求得各個(gè)選項(xiàng)的距離，得出結(jié)論．

【解答】

解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，

，，，，

所以．

設(shè)，則，

．

故A到直線的距離，故A錯(cuò)．

易知，

平面的一個(gè)法向量，

則點(diǎn)到平面的距離，故B對(duì)．

．

設(shè)平面的法向量為，

則，所以

令，得，

所以．

所以點(diǎn)到平面的距離．

因?yàn)槠矫嫫矫妫?/p>

所以平面與平面間的距離等于點(diǎn)到平面的距離，

所以平面與平面間的距離為，故C對(duì)．

因?yàn)?，所以?/p>

又，則，

所以點(diǎn)到的距離，故D錯(cuò)．

故選BC．

14.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查線面平行的判定、球的表面積、異面直線所成角，利用空間向量求二面角，屬于較難題．

根據(jù)題意得到，利用平行的判定選項(xiàng)；確定三棱柱外接球的直徑，再計(jì)算球的的表面積即可判定選項(xiàng)；確定異面直線與所成角為，再計(jì)算正切值即可判定選項(xiàng)；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角的余弦值即可．

【解答】

解：在直三棱柱中，四邊形是矩形，

因?yàn)?，所以?/p>

因?yàn)椴辉谄矫鎯?nèi)，平面，

所以平面，項(xiàng)正確；

因?yàn)?，所以?/p>

因?yàn)?，所以?/p>

所以，

連接，，設(shè)其交點(diǎn)為，連接，，，，

由直棱柱的性質(zhì)知平行四邊形是矩形，

，

又平面，平面，

則平面平面，

又平面平面，，

則平面，

又平面，則，

則是直角三角形，又為的中點(diǎn)，則，

同理，在直角三角形中，，

綜上所述，，

則為直三棱柱外接球的球心，

則是三棱柱外接球的直徑，

所以三棱柱外接球的表面積為，所以項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)?，所以異面直線與所成角為．

在中，，，

所以，所以項(xiàng)錯(cuò)誤；

二面角即二面角，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖，則，

，，，

設(shè)平面的法向量，

，即

令可得；

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，即

令可得，

故二面角的余弦值為，所以項(xiàng)正確．

故選AD．

15.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用，點(diǎn)到平面的距離的求法，考查計(jì)算能力．屬于基礎(chǔ)題通過建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，求出，然后求解距離．

【解答】

解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

，

，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量，

令，則，

點(diǎn)到平面的距離．

故答案為．

16.【答案】

【解析】

【分析】

以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)到平面的距離．

本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．

【解答】

解：在長(zhǎng)方體中，，，

點(diǎn)為的中點(diǎn)，

以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

，，，

，

，，

，

設(shè)平面的法向量，

則

取，得，

點(diǎn)到平面的距離：

．

故答案為：．

17.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用，平面法向量的求法，屬于中檔題．

求出，，然后求出平面的一個(gè)法向量，通過法向量與的數(shù)量積即可求出頂點(diǎn)到平面的距離．

【解答】

解：因?yàn)樗拿骟w四個(gè)頂點(diǎn)分別為，

，，，

所以，，．

設(shè)平面的法向量為

所以，

不妨令，則，解得．

平面的法向量為．

所以頂點(diǎn)到平面的距離為．

故答案為．

18.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查空間點(diǎn)面距離的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．

由已知求得，可得平面的法向量，再求出，然后利用向量求距離公式求解．

【解答】

解：，，，

而為平面的一個(gè)法向量，

，即．

平面的一個(gè)法向量為，

又，，

點(diǎn)到平面的距離為．

故答案為：．

19.【答案】

【解析】

【分析】

本題查點(diǎn)到平面的距離的求法，向量法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于一般題．

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)到平面的距離．

【解答】

解：由題意，四面體中，，，兩兩垂直，且，

以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

所以，，，，

，，，

設(shè)平面的法向量，

則

取，得，

點(diǎn)到平面的距離為

．

故答案為：．

20.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查點(diǎn)到平面的距離，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．

以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，的坐標(biāo)，利用距離公式，即可得到結(jié)論．

【解答】

解：以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

根據(jù)題意得正四棱錐的高為，所以

則，．

設(shè)平面的法向量是，

所以由

可得

取，得，

因?yàn)椋?/p>

所以到平面的距離．

故答案為；

21.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查了利用空間直角坐標(biāo)系求二面角，屬于中檔題．

先證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系即可求解．

【解答】

解：取中點(diǎn)，在中，，，

，

，

又是正方形的對(duì)角線，

，

又，平面，平面，

平面，

則，，兩兩互相垂直，

如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，

，，

是平面的一個(gè)法向量，

，，

設(shè)平面的法向量，

則，，

即

所以，且，

令，則，，

解得，

從而，

易知二面角為銳二面角，

二面角的余弦值為．

故答案為．

22.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

以為原點(diǎn)，在平面中，過作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線與所成角的余弦值．

【解答】

解：在矩形中，，，，分別是邊，的中點(diǎn)，

將正方形沿折到位置，使得二面角大小為，

以為原點(diǎn)，在平面中，過作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

，，，，

，，

設(shè)異面直線與所成角為，

則，

異面直線與所成角的余弦值為．

故答案為．

23.【答案】

【解析】

【分析】

本題考查由空間向量法求點(diǎn)到面的距離，以及由空間向量法求直線與平面成角的正弦值，屬于拔高題．

分別以，，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，由向量坐標(biāo)求得平面的法向量為，由點(diǎn)到面的距離，直線與面所成的角的正弦值，代入求值．

【解答】

解：連接，根據(jù)正方體的性質(zhì)，不妨以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

由圖可知，，，，，，

，，，，

設(shè)平面的法向量為，

，

取，

，

平面的法向量為，

則

易知與所成角或其補(bǔ)角的余角是直線與面所成的角，

，且，

．

故答案為．

24.【答案】解：以為原點(diǎn)，，，所在的直線為坐標(biāo)軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

，．

設(shè)，的公垂線的方向向量為，

則即

令，則，，

即，，

又，

在上的射影長(zhǎng)為

則異面直線與的距離是．

【解析】本題考查異面直線間的距離，屬于中檔題．

首先建立空間直角坐標(biāo)系，求出與的公垂線的方向向量，求出在上的射影長(zhǎng)即可．

25.【答案】證明：取中點(diǎn)，連接，．

因?yàn)榍?，且?/p>

所以且，

則四邊形為平行四邊形，所以，

因?yàn)槠矫?，平面?/p>

所以平面．

以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為，，軸構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，

，，，

可得，，，

設(shè)平面的法向量

，不妨取，

則平面的法向量，

則到平面的距離．

【解析】本題考查直線與平面平行的判斷定理的應(yīng)用，空間點(diǎn)到平面的距離的求法的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．

取中點(diǎn)，連接，證明四邊形為平行四邊形，推出，即可證明平面．

以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，為，，軸構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量的數(shù)量積求解到平面的距離即可．

26.【答案】解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，

，

，

，，

又，，

平面平面，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，則可取，

，

平面與平面的距離為

．

【解析】本題考查利用空間向量研究立體幾何問題，考查兩平面間的距離的向量求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，可得，再利用面面平行的判定定理可得平面平面，求出平面的一個(gè)法向量，再由結(jié)合距離的向量表達(dá)即可得解．

27.【答案】證明：平面，

、分別為、在平面內(nèi)的射影．

則，分別為直線、與平面所成的角，

故，

，

四邊形為正方形．

又平面，平面，

，而，故AC平面．

而平面．

解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．

，，，

，．

，，，

設(shè)平面的法向量為，

則，可得，可得．

點(diǎn)到平面的距離．

【解析】本題考查了空間線面、面面位置關(guān)系、空間角與空間距離、法向量的應(yīng)用、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬