新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點(diǎn)知識(shí)歸類與題型專題講解訓(xùn)練專題11.5離散型隨機(jī)變量的分布列【考綱要求】1.通過具體案例，了解離散型隨機(jī)變量的概念，理解隨機(jī)變量的分布列．2.通過具體案例，了解超幾何分布及其均值，并能解決簡單的實(shí)際問題.【知識(shí)清單】知識(shí)點(diǎn)1.離散型隨機(jī)變量及其分布列1．離散型隨機(jī)變量的分布列(1)隨機(jī)變量如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量，隨機(jī)變量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)離散型隨機(jī)變量對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．隨機(jī)變量的線性關(guān)系：若是隨機(jī)變量，，其中是常數(shù)，則也是隨機(jī)變量.2.分布列的兩個(gè)性質(zhì)①，；②.3．分布列性質(zhì)的兩個(gè)作用(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值．(2)隨機(jī)變量ξ所取的值分別對(duì)應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率．知識(shí)點(diǎn)2.常見離散型隨機(jī)變量的分布列(1)兩點(diǎn)分布：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，即其分布列為01其中，則稱離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布．其中稱為成功概率．(2)超幾何分布：在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件{}發(fā)生的概率為，，其中，且，稱分布列為超幾何分布列.01…m…(3)設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取得值為，，…，，…，取每一個(gè)值()的概率為，則稱表…………為隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱X的分布列．有時(shí)為了表達(dá)簡單，也用等式，表示的分布列．【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)【典例1】（2020·常州市新橋高級(jí)中學(xué)高二期中）下表是離散型隨機(jī)變量X的分布列，則常數(shù)的值是（）X3459PA． B． C． D．【典例2】（2020·陜西高二期末（理））離散型隨機(jī)變量的分布列為下表，則常數(shù)的值為（）01A． B． C．或 D．以上都不對(duì)【典例3】（2020·防城港市防城中學(xué)高二期中（理））袋中裝有一些大小相同的球，其中標(biāo)號(hào)為號(hào)的球個(gè)，標(biāo)號(hào)為號(hào)的球個(gè)，標(biāo)號(hào)為號(hào)的球個(gè)，，標(biāo)號(hào)為號(hào)的球個(gè)．現(xiàn)從袋中任取一球，所得號(hào)數(shù)為隨機(jī)變量，若，則______．【規(guī)律方法】離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值；(2)利用“離散型隨機(jī)變量在一范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求某些特定事件的概率；(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確．【變式探究】1.（2019·吉林高二期末（理））隨機(jī)變量的分布列如下表，其中，，成等差數(shù)列，且，246則（）A． B． C． D．2.（2020·廣東高二期末）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=)=ak(k=1，2，3，4)，a為常數(shù)，則（）A．a(chǎn)= B．P(X>)= C．P(X<4a)= D．E(X)=3.（2019·吉林高二期中（理））設(shè)隨機(jī)變量的分布列,則_______【特別提醒】1．對(duì)于分布列易忽視其性質(zhì)及，其作用可用于檢驗(yàn)所求離散型隨機(jī)變量的分布列是否正確．2．確定離散型隨機(jī)變量的取值時(shí)，易忽視各個(gè)可能取值表示的事件是彼此互斥的．3.利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)要注意檢驗(yàn)，以保證每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù)．考點(diǎn)二：超幾何分布【典例4】（2020·北京高二期末）某小組有名男生、名女生，從中任選名同學(xué)參加活動(dòng)，若表示選出女生的人數(shù)，則（）A． B． C． D．【典例5】（2019·陜西高三（理））盒中裝有一打（12個(gè)）乒乓球，其中9個(gè)新的，3個(gè)舊的，從盒中取3個(gè)來用，使用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，求的分布列.【規(guī)律方法】1．隨機(jī)變量是否服從超幾何分布的判斷若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則滿足如下條件：(1)該試驗(yàn)是不放回地抽取n次；(2)隨機(jī)變量X表示抽取到的次品件數(shù)(或類似事件)，反之亦然．2.超幾何分布的兩個(gè)特點(diǎn)(1)超幾何分布是不放回抽樣問題．(2)隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)．3．超幾何分布的應(yīng)用條件及實(shí)質(zhì)(1)條件：①考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類個(gè)體個(gè)數(shù)ξ的概率分布．(2)實(shí)質(zhì)：古典概型問題．4．求超幾何分布的分布列的步驟第一步，驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N，M，n的值；第二步，根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率；第三步，用表格的形式列出分布列．【變式探究】1.（2019·淮北師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二月考（理））箱中裝有4個(gè)白球和個(gè)黑球.規(guī)定取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分，現(xiàn)從箱中任取3個(gè)球，假設(shè)每個(gè)球被取出的可能性都相等.記隨機(jī)變量為取出的3個(gè)球所得分?jǐn)?shù)之和.（1）若，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的分布列.2.（2019·周口市中英文學(xué)校高二期末（理））從某小組的5名女生和4名男生中任選3人去參加一項(xiàng)公益活動(dòng)．(1)求所選3人中恰有一名男生的概率；(2)求所選3人中男生人數(shù)ξ的分布列．考點(diǎn)三：離散型隨機(jī)變量分布列的求法【典例6】（2018年理數(shù)天津卷選）已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.（I）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列；（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.【典例7】（2017北京，理17選）為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者.（Ⅰ）從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率；（Ⅱ）從圖中A，B，C，D四人中隨機(jī)選出兩人，記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列.【總結(jié)提升】1.求分布列的三種方法(1)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到離散型隨機(jī)變量的分布列；(1)可設(shè)出隨機(jī)變量Y，并確定隨機(jī)變量的所有可能取值作為第一行數(shù)據(jù)；(2)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)利用事件發(fā)生的頻率近似地表示該事件的概率作為第二行數(shù)據(jù)．由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到分布列可幫助我們更好理解分布列的作用和意義．(2)由古典概型求出離散型隨機(jī)變量的分布列；求離散型隨機(jī)變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然后利用排列、組合與概率知識(shí)求出X取各個(gè)值的概率．而超幾何分布就是此類問題中的一種．(3)由互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率及n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有k次發(fā)生的概率求離散型隨機(jī)變量的分布列．2.求離散型隨機(jī)變量分布列的步驟(1)找出隨機(jī)變量X的所有可能取值xi(i＝1,2,3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；(3)列成表格并用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確．【變式探究】1.（2017課標(biāo)3，理18選）某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；2.（2018·陜西高二期末（理））某企業(yè)有、兩個(gè)崗位招聘大學(xué)畢業(yè)生，其中第一天收到這兩個(gè)崗位投簡歷的大學(xué)生人數(shù)如下表：崗位崗位總計(jì)女生12820男生245680總計(jì)3664100（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷是有的把握認(rèn)為招聘的、兩個(gè)崗位與性別有關(guān)？（2）從投簡歷的女生中隨機(jī)抽取兩人，記其中投崗位的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.0500.0250.0103.8415.0246.635【總結(jié)提升】1.解答離散型隨機(jī)變量的分布列及相關(guān)問題的一般思路(1)明確隨機(jī)變量可能取哪些值．(2)結(jié)合事件特點(diǎn)選取恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法計(jì)算這些可能取值的概率值．(3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解．注意解題中要善