A組2015—2019年浙江中考題組考點一二次函數(shù)解析式1.(2018杭州,9,3分)四位同學在研究函數(shù)y=x2+bx+c(b,c是常數(shù)),甲發(fā)現(xiàn)當x=1時,函數(shù)有最小值;乙發(fā)現(xiàn)-1是方

程x2+bx+c=0的一個根;丙發(fā)現(xiàn)函數(shù)的最小值為3;丁發(fā)現(xiàn)當x=2時,y=4.已知這四位同學中只有一位發(fā)現(xiàn)的結

論是錯誤的,則該同學是

()A.甲

B.乙

C.丙

D.丁A組2015—2019年浙江中考題組考點一二次函數(shù)解析式1答案

B假設甲和丙發(fā)現(xiàn)的結論正確,則

解得

∴該函數(shù)的解析式為y=x2-2x+4.若-1是方程x2+bx+c=0的一個根,則x=-1是函數(shù)y=x2+bx+c的一個零點,當x=-1時,y=x2-2x+4=7≠0,∴乙發(fā)現(xiàn)的結論不正確.當x=2時,y=x2-2x+4=4,∴丁發(fā)現(xiàn)的結論正確.∵四位同學中只有一位發(fā)現(xiàn)的結論是錯誤的,∴假設成立.故選B.思路分析假設兩位同學發(fā)現(xiàn)的結論正確,用這兩位同學發(fā)現(xiàn)的結論去驗證另外兩位同學發(fā)現(xiàn)的結論,只

要找出一個正確,一個錯誤,即可得出正確選項(本題選擇甲和丙發(fā)現(xiàn)的結論正確,先求出b、c的值,然后利用

二次函數(shù)圖象上點的坐標特征驗證乙和丁發(fā)現(xiàn)的結論).解題關鍵本題考查了二次函數(shù)的性質以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征,利用二次函數(shù)的性質求出b、c

的值是解題的關鍵.答案

B假設甲和丙發(fā)現(xiàn)的結論正確,則?解得?思路分析22.(2017紹興,8,4分)矩形ABCD的兩條對稱軸為坐標軸,點A的坐標為(2,1).一張透明紙上畫有一個點和一條

拋物線,平移透明紙,使紙上的點與點A重合,此時拋物線的函數(shù)表達式為y=x2,再次平移透明紙,使紙上的點

與點C重合,則此時拋物線的函數(shù)表達式變?yōu)?/p>

()A.y=x2+8x+14

B.y=x2-8x+14C.y=x2+4x+3

D.y=x2-4x+3答案

A如圖,A(2,1),則可得C(-2,-1).

一點從A(2,1)平移到C(-2,-1),需要向左平移4個單位,向下平移2個單位,則所求表達式為y=(x+4)2-2=x2+8x+14,故選A.2.(2017紹興,8,4分)矩形ABCD的兩條對稱軸為坐標33.(2019寧波,22,10分)如圖,已知二次函數(shù)y=x2+ax+3的圖象經(jīng)過點P(-2,3).(1)求a的值和圖象的頂點坐標;(2)點Q(m,n)在該二次函數(shù)圖象上.①當m=2時,求n的值;②若點Q到y(tǒng)軸的距離小于2,請根據(jù)圖象直接寫出n的取值范圍.

解析

(1)把P(-2,3)代入y=x2+ax+3,得3=(-2)2-2a+3,解得a=2.∴y=x2+2x+3=(x+1)2+2,∴頂點坐標為(-1,2).(2)①把x=2代入y=x2+2x+3,求得y=11,∴當m=2時,n=11.②2≤n<11.3.(2019寧波,22,10分)如圖,已知二次函數(shù)y=x244.(2019杭州,22,12分)設二次函數(shù)y=(x-x1)(x-x2)(x1,x2是實數(shù)).(1)甲求得當x=0時,y=0;當x=1時,y=0;乙求得當x=

時,y=-

.若甲求得的結果都正確,你認為乙求得的結果正確嗎?說明理由;(2)寫出二次函數(shù)圖象的對稱軸,并求該函數(shù)的最小值(用含x1,x2的代數(shù)式表示);(3)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(0,m)和(1,n)兩點(m,n是實數(shù)),當0<x1<x2<1時,求證:0<mn<

.4.(2019杭州,22,12分)設二次函數(shù)y=(x-x1)5解析(1)乙求得的結果不正確,理由如下:根據(jù)題意,知圖象經(jīng)過點(0,0),(1,0).所以y=x(x-1).當x=

時,y=

×

=-

≠-

,所以乙求得的結果不正確.(2)函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=

.當x=

時,函數(shù)有最小值M,M=

=-

.(3)證明:因為y=(x-x1)(x-x2),所以m=x1x2,n=(1-x1)(1-x2),所以mn=x1x2(1-x1)(1-x2)=(x1-

)(x2-

)解析(1)乙求得的結果不正確,理由如下:6=

·

.因為0<x1<x2<1,所以結合y=x(1-x)的圖象可知0<-

+

≤

,0<-

+

≤

,所以0<mn≤

,因為x1≠x2,所以0<mn<

.=?·?.75.(2018湖州,19,6分)已知拋物線y=ax2+bx-3(a≠0)經(jīng)過點(-1,0),(3,0),求a,b的值.解析把點(-1,0),(3,0)的坐標代入y=ax2+bx-3,得

解得

即a的值為1,b的值為-2.6.(2015紹興,21,10分)如果拋物線y=ax2+bx+c過定點M(1,1),則稱此拋物線為定點拋物線.(1)張老師在投影屏幕上出示了一個題目:請你寫出一條定點拋物線的一個解析式.小敏寫出了一個答案:y=

2x2+3x-4.請你寫出一個不同于小敏的答案;(2)張老師又在投影屏幕上出示了一個思考題:已知定點拋物線y=-x2+2bx+c+1,求該拋物線頂點縱坐標的值

最小時的解析式.請你解答.解析(1)不唯一,如y=x2-2x+2.(2)∵定點拋物線的頂點坐標為(b,c+b2+1),且-1+2b+c+1=1,∴c=1-2b,∴頂點縱坐標c+b2+1=2-2b+b2=(b-1)2+1,∴當b=1時,c+b2+1最小,即拋物線頂點縱坐標的值最小,此時c=-1,∴拋物線的解析式為y=-x2+2x.方法點撥解決新定義題目,一定要先審清題意.5.(2018湖州,19,6分)已知拋物線y=ax2+bx-87.(2016金華,23,10分)在平面直角坐標系中,點O為原點,平行于x軸的直線與拋物線L:y=ax2相交于A,B兩點

(點B在第一象限),點D在AB的延長線上.(1)已知a=1,點B的縱坐標為2.①如圖1,向右平移拋物線L使該拋物線過點B,與AB的延長線交于點C,求AC的長;②如圖2,若BD=

AB,過點B,D的拋物線L2的頂點M在x軸上,求該拋物線的函數(shù)表達式;(2)如圖3,若BD=AB,過三點O,B,D的拋物線L3的頂點為P,對應函數(shù)的二次項系數(shù)為a3,過點P作PE∥x軸交拋

物線L于E,F兩點,求

的值,并直接寫出

的值.7.(2016金華,23,10分)在平面直角坐標系中,點O為9解析(1)①對于二次函數(shù)y=x2,當y=2時,2=x2,解得x1=

,x2=-

,∴AB=2

.∵平移得到的拋物線L1經(jīng)過點B,∴BC=AB=2

,∴AC=4

.②如圖,記拋物線L2的對稱軸與AD相交于點N,

根據(jù)拋物線的軸對稱性,得BN=

DB=

,∴OM=

.設拋物線L2的函數(shù)表達式為y=a2

.由①及已知得,點B的坐標為(

,2),解析(1)①對于二次函數(shù)y=x2,10∴2=a2

,解得a2=4.∴拋物線L2的函數(shù)表達式為y=4

,即y=4x2-12

x+18.(2)如圖,記拋物線L3與x軸交于點G,其對稱軸與x軸交于點Q,過點B作BK⊥x軸于點K.

設OK=t,則BD=AB=2t,點B的坐標為(t,at2),根據(jù)拋物線的軸對稱性,得OQ=2t,OG=2OQ=4t.則拋物線L3的函數(shù)表達式為y=a3x(x-4t),∵該拋物線過點B(t,at2),∴at2=a3t(t-4t),又∵t≠0,∴

=-

.

=

.∴2=a2?,解得a2=4.又∵t≠0,∴?=-?.11考點二二次函數(shù)的圖象與性質1.(2019溫州,9,4分)已知二次函數(shù)y=x2-4x+2,關于該函數(shù)在-1≤x≤3的取值范圍內,下列說法正確的是

(

)A.有最大值-1,有最小值-2

B.有最大值0,有最小值-1C.有最大值7,有最小值-1

D.有最大值7,有最小值-2答案

D

y=x2-4x+2=(x-2)2-2(-1≤x≤3).由圖象可知當x=2時,y取得最小值-2,當x=-1時,y取得最大值7.故選D.

考點二二次函數(shù)的圖象與性質1.(2019溫州,9,4分)已122.(2019杭州,10,3分)在平面直角坐標系中,已知a≠b,設函數(shù)y=(x+a)(x+b)的圖象與x軸有M個交點,函數(shù)y=(ax+1)·(bx+1)的圖象與x軸有N個交點,則

()A.M=N-1或M=N+1

B.M=N-1或M=N+2C.M=N或M=N+1

D.M=N或M=N-1答案

C對于函數(shù)y=(x+a)(x+b),當y=0時,函數(shù)圖象與x軸的交點為(-a,0),(-b,0),故M=2.對于函數(shù)y=(ax+1)(bx+1),當y=0時,有以下3種情況:①ab≠0時,圖象與x軸的交點為

,

,此時N=2,M=N;②a=0時,圖象與x軸的交點為

,此時N=1,M=N+1;③b=0時,圖象與x軸的交點為

,此時N=1,M=N+1.綜上所述,M=N或M=N+1.故選C.思路分析由y=(x+a)(x+b)=0得到函數(shù)圖象與x軸有兩個交點,則M=2.當y=(ax+1)(bx+1)=0時,對a,b的取值進

行分類討論,從而確定M,N的值,即可得M與N的關系.2.(2019杭州,10,3分)在平面直角坐標系中,已知a≠133.(2019湖州,10,3分)已知a,b是非零實數(shù),|a|>|b|,在同一平面直角坐標系中,二次函數(shù)y1=ax2+bx與一次函數(shù)y2=

ax+b的大致圖象不可能是

()

3.(2019湖州,10,3分)已知a,b是非零實數(shù),|a|14答案

D由

解得

或

故二次函數(shù)y=ax2+bx與一次函數(shù)y=ax+b(a≠0)在同一平面直角坐標系中的交點為

或點(1,a+b).在A中,由一次函數(shù)圖象可知a>0,b>0.由二次函數(shù)圖象可知,a>0,-

<0,a+b>0,b>0,故A不符合題意.在B中,由一次函數(shù)圖象可知,a>0,b<0,由二次函數(shù)圖象知,a>0,b<0.由|a|>|b|,知a+b>0.故選項B不符合題意.在C中,由一次函數(shù)圖象可知,a<0,b<0,由二次函數(shù)圖象知,a<0,b<0,a+b<0,故C不符合題意.在D中,由一次函數(shù)圖象可知a<0,b>0,二次函數(shù)圖象可知,a<0,b>0.又|a|>|b|,則a+b<0,故選項D符合題意.答案

D由?解得?或?故二次函數(shù)y=ax2+bx與一154.(2019紹興,7,4分)在平面直角坐標系中,拋物線y=(x+5)(x-3)經(jīng)變換后得到拋物線y=(x+3)(x-5),則這個變換

可以是

()A.向左平移2個單位

B.向右平移2個單位C.向左平移8個單位

D.向右平移8個單位答案

B

y=(x+5)(x-3)=(x+1)2-16,頂點坐標是(-1,-16).y=(x+3)(x-5)=(x-1)2-16,頂點坐標是(1,-16).所以將拋物線y=(x+5)(x-3)向右平移2個單位長度得到拋物線y=(x+3)(x-5),故選B.4.(2019紹興,7,4分)在平面直角坐標系中,拋物線y=165.(2019嘉興,10,3分)小飛研究二次函數(shù)y=-(x-m)2-m+1(m為常數(shù))的性質時,有如下結論:①這個函數(shù)圖象的頂點始終在直線y=-x+1上;②存在一個m的值,使得函數(shù)圖象與x軸有兩個交點,且這兩個交點與函數(shù)圖象的頂點構成等腰直角三角形;③點A(x1,y1)與點B(x2,y2)在函數(shù)圖象上,若x1<x2,x1+x2>2m,則y1<y2;④當-1<x<2時,y隨x的增大而增大,則m的取值范圍為m≥2.其中錯誤結論的序號是

()A.①

B.②

C.③

D.④5.(2019嘉興,10,3分)小飛研究二次函數(shù)y=-(x-17答案

C

二次函數(shù)y=-(x-m)2-m+1(m為常數(shù))圖象的頂點坐標為(m,-m+1),當x=m時,y=-m+1,∴這個函數(shù)圖象的頂點始終在直線y=-x+1上,故結論①正確.假設存在一個m的值,使得函數(shù)圖象與x軸有兩個交點,且這兩個交點與函數(shù)圖象的頂點構成等腰直角三角

形,令y=0,得-(x-m)2-m+1=0,其中m<1,解得x1=m-

,x2=m+

,令|-m+1|=|m-(m-

)|,∴m=0,∴存在m=0,使得函數(shù)圖象與x軸有兩個交點,且這兩個交點與函數(shù)圖象的頂點構成等腰直角三角形,故結論②正確.∵x1+x2>2m,答案

C

二次函數(shù)y=-(x-m)2-m+1(m18∴

>m.∵二次函數(shù)y=-(x-m)2-m+1(m為常數(shù))的圖象的對稱軸為直線x=m,且x1<x2,∴點A離對稱軸的距離小于點B離對稱軸的距離,∵-1<0,∴y1>y2,故結論③錯誤.當-1<x<2時,y隨x的增大而增大,且-1<0,∴m的取值范圍為m≥2,故結論④正確.故選C.∴?>m.196.(2019衢州,6,3分)二次函數(shù)y=(x-1)2+3圖象的頂點坐標是

()A.(1,3)

B.(1,-3)

C.(-1,3)

D.(-1,-3)答案

A

∵y=(x-1)2+3,∴頂點坐標為(1,3),故選A.7.(2017寧波,10,4分)拋物線y=x2-2x+m2+2(m是常數(shù))的頂點在

()A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限答案

A∵y=x2-2x+m2+2,∴y=(x-1)2+m2+1.∴拋物線的頂點坐標為(1,m2+1).又1>0,m2+1>0,∴頂點在第一象限.故選A.思路分析根據(jù)配方法得出頂點坐標,從而判斷出頂點所在的象限.6.(2019衢州,6,3分)二次函數(shù)y=(x-1)2+3圖208.(2017金華,6,4分)對于二次函數(shù)y=-(x-1)2+2的圖象與性質,下列說法正確的是

()A.對稱軸是直線x=1,最小值是2B.對稱軸是直線x=1,最大值是2C.對稱軸是直線x=-1,最小值是2D.對稱軸是直線x=-1,最大值是2答案

B∵y=-(x-1)2+2,∴拋物線開口向下,頂點坐標為(1,2),對稱軸為直線x=1,∴當x=1時,y有最大值2,故選B.8.(2017金華,6,4分)對于二次函數(shù)y=-(x-1)2219.(2018湖州,10,3分)在平面直角坐標系xOy中,已知點M,N的坐標分別為(-1,2),(2,1),若拋物線y=ax2-x+2(a≠0)

與線段MN有兩個不同的交點,則a的取值范圍是

()A.a≤-1或

≤a<

B.

≤a<

C.a≤

或a>

D.a≤-1或a≥

答案

A由已知得線段MN的方程為y=-

x+

①,-1≤x≤2,1≤y≤2,把①代入拋物線方程得3ax2-2x+1=0,由題意得方程3ax2-2a+1=0在-1≤x≤2上有兩個不等實根,設y=3ax2-2x+1,當a>0時,

解得

≤a<

;當a<0時,

解得a≤-1.綜上所述,a≤-1或

≤a<

,故選A.9.(2018湖州,10,3分)在平面直角坐標系xOy中,已2210.(2017麗水,8,3分)將函數(shù)y=x2的圖象用下列方法平移后,所得的圖象不經(jīng)過點A(1,4)的方法是

()A.向左平移1個單位B.向右平移3個單位C.向上平移3個單位D.向下平移1個單位答案

D

A.平移后,得y=(x+1)2,圖象經(jīng)過A點,故A不符合題意;B.平移后,得y=(x-3)2,圖象經(jīng)過A點,故B不符合題意;C.平移后,得y=x2+3,圖象經(jīng)過A點,故C不符合題意;D.平移后,得y=x2-1,圖象不經(jīng)過A點,故D符合題意.故選D.關鍵提示本題主要考查了函數(shù)圖象的平移,解題的關鍵是熟練掌握平移的規(guī)律:左加右減,上加下減.10.(2017麗水,8,3分)將函數(shù)y=x2的圖象用下列方2311.(2016紹興,9,4分)拋物線y=x2+bx+c(其中b,c是常數(shù))過點A(2,6),且拋物線的對稱軸與線段y=0(1≤x≤3)有

交點,則c的值不可能是

()A.4

B.6

C.8

D.10答案

A∵拋物線過點A(2,6),∴4+2b+c=6,b=

.∵拋物線的對稱軸與線段y=0(1≤x≤3)有交點,∴1≤-

≤3,-6≤b≤-2,即-6≤

≤-2,解得6≤c≤14,則c的值不可能是4,故選A.11.(2016紹興,9,4分)拋物線y=x2+bx+c(其2412.(2016溫州,10,4分)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=2.P是AB邊上一動點,PD⊥AC于點D,點E在P

的右側,且PE=1,連接CE.P從點A出發(fā),沿AB方向運動,當E到達點B時,P停止運動.在整個運動過程中,圖中陰

影部分面積S1+S2的大小變化情況是

()

A.一直減小

B.一直不變C.先減小后增大

D.先增大后減小12.(2016溫州,10,4分)如圖,在△ABC中,∠AC25答案

C作CF⊥AB于F.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2,AC=4,

∴AB=2

,CF=

.易知△APD∽△ABC.設PD=x,則AD=2x,AP=

x,BE=2

-1-

x,∴S1=x2,S2=

(2

-1-

x)×

=4-

-2x,∴S1+S2=x2-2x+4-

=(x-1)2+3-

.根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質可知,當x<1時,S1+S2隨x增大而減小;當x>1時,S1+S2隨x增大而增大.故選C.關鍵提示這是一道關于面積變化的題目,需設立變量表示出面積,進而利用相關函數(shù)性質解題.答案

C作CF⊥AB于F.在Rt△ABC中,∠ACB2613.(2018湖州,15,4分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y=ax2+bx(a>0)的頂點為C,與x軸的正半軸交

于點A,它的對稱軸與拋物線y=ax2(a>0)交于點B.若四邊形ABOC是正方形,則b的值是

.

答案-213.(2018湖州,15,4分)如圖,在平面直角坐標系xO27解析∵四邊形ABOC是正方形,∴AO與BC相互垂直平分且相等.∵拋物線y=ax2+bx的對稱軸為直線x=-

,∴點B的坐標為

.把B的坐標代入y=ax2中,得-

=a·

,即b2+2b=0,∵b≠0,∴b=-2.故b=-2.解析∵四邊形ABOC是正方形,2814.(2019臺州,23,12分)已知函數(shù)y=x2+bx+c(b,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(-2,4).(1)求b,c滿足的關系式;(2)設該函數(shù)圖象的頂點坐標是(m,n),當b的值變化時,求n關于m的函數(shù)解析式;(3)若該函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限,當-5≤x≤1時,函數(shù)的最大值與最小值之差為16,求b的值.14.(2019臺州,23,12分)已知函數(shù)y=x2+bx+29解析

(1)將點(-2,4)代入y=x2+bx+c,得-2b+c=0,∴c=2b.(2)m=-

,n=

,∴n=

,∴n=2b-m2=-4m-m2.(3)y=x2+bx+2b=

-

+2b,其圖象的對稱軸為x=-

,當b≤0時,c≤0,函數(shù)圖象不經(jīng)過第三象限,則c=0.此時y=x2,當-5≤x≤1時,函數(shù)的最小值是0,最大值是25,∴最大值與最小值之差為25,不符合題意,舍去.當b>0時,c>0,函數(shù)圖象不經(jīng)過第三象限,則b2-8b≤0,∴0≤b≤8,∴-4≤x=-

≤0,解析

(1)將點(-2,4)代入y=x2+bx+c,30當-5≤x≤1時,函數(shù)有最小值-

+2b,當-4≤-

<-2時,函數(shù)有最大值1+3b,當-2<-

≤0時,函數(shù)有最大值25-3b.當最大值為1+3b時,1+3b+

-2b=16,∴b=6或b=-10,∵4≤b≤8,∴b=6;當最大值為25-3b時,25-3b+

-2b=16,∴b=2或b=18,∵0≤b≤4,∴b=2.綜上所述,b=2或b=6.當-5≤x≤1時,函數(shù)有最小值-?+2b,3115.(2018溫州,21,10分)如圖,拋物線y=ax2+bx(a≠0)交x軸正半軸于點A,直線y=2x經(jīng)過拋物線的頂點M.已知該

拋物線的對稱軸為直線x=2,交x軸于點B.(1)求a,b的值;(2)P是第一象限內拋物線上的一點,且在對稱軸的右側,連接OP,BP.設點P的橫坐標為m,△OBP的面積為S,

記K=

,求K關于m的函數(shù)表達式及K的范圍.

15.(2018溫州,21,10分)如圖,拋物線y=ax2+32解析(1)將x=2代入y=2x,得y=4,∴M(2,4),由題意得

∴

(2)如圖,過點P作PH⊥x軸于點H,

∵點P的橫坐標為m,拋物線的解析式為y=-x2+4x,∴PH=-m2+4m.∵B(2,0),∴OB=2,解析(1)將x=2代入y=2x,得y=4,33∵S=

OB·PH=

×2×(-m2+4m)=-m2+4m,∴K=

=-m+4,∴K隨著m的增大而減小.易得A(4,0),又M(2,4),∴2<m<4.∴0<K<2.思路分析(1)根據(jù)已知求得點M(2,4),由點M為拋物線的頂點列出關于a、b的方程組,求解即可;(2)作PH⊥x軸于H,根據(jù)三角形的面積公式求得S=-m2+4m,根據(jù)K=

可得K關于m的函數(shù)解析式,再結合點P的位置得出m的范圍,利用一次函數(shù)的性質可得結果.方法總結本題主要考查拋物線的性質,解題的關鍵是用待定系數(shù)法求拋物線解析式及一次函數(shù)的性質的

應用.∵S=?OB·PH=?×2×(-m2+4m)=-m2+4m,34考點三二次函數(shù)綜合1.(2015金華,8,3分)圖2是圖1中拱形大橋的示意圖,橋拱與橋面的交點為O,B,以點O為原點,水平直線OB為x

軸,建立平面直角坐標系,橋拱可以近似看成拋物線y=-

(x-80)2+16,橋拱與橋墩AC的交點C恰好在水面,有AC⊥x軸.若OA=10米,則橋面離水面的高度AC為

()A.16

米

B.

米

C.16

米

D.

米答案

B把x=-10代入y=-

(x-80)2+16得,y=-

,故選B.考點三二次函數(shù)綜合1.(2015金華,8,3分)圖2是圖1352.(2016臺州,16,5分)豎直上拋的小球離地高度是它運動時間的二次函數(shù).小軍相隔1秒依次豎直向上拋出兩

個小球.假設兩個小球離手時離地高度相同,在各自拋出后1.1秒時到達相同的最大離地高度.第一個小球拋

出后t秒時在空中與第二個小球的離地高度相同,則t=

.答案1.6解析各自拋出后1.1秒時到達相同的最大離地高度,設這個最大高度為h,又設小球拋出后時間為x秒,高度

為y,則y=a(x-1.1)2+h.由題意,得a(t-1.1)2+h=a(t-1-1.1)2+h,解得t=1.6.故第一個小球拋出后1.6秒時在空中與第

二個小球的離地高度相同.故填1.6.方法指導先構建二次函數(shù),再利用方程思想解決問題.2.(2016臺州,16,5分)豎直上拋的小球離地高度是它運363.(2016衢州,15,4分)某農(nóng)場擬建三間長方形種牛飼養(yǎng)室,飼養(yǎng)室的一面靠墻(墻長50m),中間用兩道墻隔開

(如圖).已知計劃中的建筑材料可建墻的總長度為48m,則這三間長方形種牛飼養(yǎng)室的總占地面積的最大值

為

m2.

答案1443.(2016衢州,15,4分)某農(nóng)場擬建三間長方形種牛飼養(yǎng)37解析如圖,設總占地面積為Sm2,CD的長度為xm,由題意知AB=CD=EF=GH=xm,∴BH=(48-4x)m,易知0<x

<12,∴S=AB·BH=x(48-4x)=-4(x-6)2+144,∴當x=6時,S取得最大值,最大值為144.

方法點撥解決此類題時,需根據(jù)題意建立函數(shù)關系,進而利用相應函數(shù)性質求解.解析如圖,設總占地面積為Sm2,CD的長度為xm,由題384.(2017溫州,16,5分)小明家的洗手盆上裝有一種抬啟式水龍頭(如圖1).完全開啟后,水流路線呈拋物線,把手

端點A、出水口B和落水點C恰好在同一直線上,點A到出水管BD的距離為12cm,洗手盆及水龍頭的相關數(shù)

據(jù)如圖2所示,現(xiàn)用高10.2cm的圓柱形水杯去接水,若水流所在拋物線經(jīng)過點D和杯子上底面中心E,則點E

到洗手盆內側的距離EH為

cm.

答案24-8

4.(2017溫州,16,5分)小明家的洗手盆上裝有一種抬啟39解析如圖所示,建立直角坐標系,過A作AG⊥OC于G,交BD于Q,過M作MP⊥AG于P,

由題可得,AQ=12,PQ=MD=6,故AP=6,AG=36,在Rt△APM中,MP=

=8,故DQ=OG=MP=8,∴BQ=12-8=4,由BQ∥CG可得,△ABQ∽△ACG,∴

=

,即

=

,∴CG=12,OC=12+8=20,∴C(20,0),解析如圖所示,建立直角坐標系,過A作AG⊥OC于G,交BD40∵水流所在拋物線經(jīng)過點D(0,24),∴可設拋物線為y=ax2+bx+24,把C(20,0),B(12,24)代入拋物線解析式,可得

解得

∴拋物線的解析式為y=-

x2+

x+24,又∵點E的縱坐標為10.2,∴令y=10.2,則10.2=-

x2+

x+24,解得x1=6+8

,x2=6-8

(舍去),∴點E的橫坐標為6+8

,又∵ON=30,∵水流所在拋物線經(jīng)過點D(0,24),41∴EH=30-(6+8

)=24-8

.即點E到洗手盆內側的距離EH為(24-8

)cm.思路分析先建立合適的平面直角坐標系,再作輔助線構造相似三角形,由此可求得C點坐標,進而結合D、

B坐標確定拋物線的表達式,從而得到點E的坐標,求得EH.∴EH=30-(6+8?)=24-8?.思路分析先建立合適425.(2019溫州,21,10分)如圖,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)y=-

x2+2x+6的圖象交x軸于點A,B(點A在點B的左側).(1)求點A,B的坐標,并根據(jù)該函數(shù)圖象寫出y≥0時x的取值范圍;(2)把點B向上平移m個單位得點B1.若點B1向左平移n個單位,將與該二次函數(shù)圖象上的點B2重合;若點B1向左

平移(n+6)個單位,將與該二次函數(shù)圖象上的點B3重合.已知m>0,n>0,求m,n的值.

5.(2019溫州,21,10分)如圖,在平面直角坐標系中,43解析(1)令y=0,則-

x2+2x+6=0,∴x1=-2,x2=6,∴A(-2,0),B(6,0).由函數(shù)圖象得,當y≥0時,-2≤x≤6.(2)由題意得B1(6,m),∴B2(6-n,m),B3(-n,m),函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=

=2.∵點B2,B3在二次函數(shù)圖象上且縱坐標相同,∴

=2,∴n=1,∴m=-

×(-1)2+2×(-1)+6=

,∴m,n的值分別為

,1.解析(1)令y=0,則-?x2+2x+6=0,446.(2019嘉興,24,12分)某農(nóng)作物的生長率p與溫度t(℃)有如下關系:如圖1,當10≤t≤25時可近似用函數(shù)p=

t-

刻畫;當25≤t≤37時可近似用函數(shù)p=-

(t-h)2+0.4刻畫.(1)求h的值;(2)按照經(jīng)驗,該作物提前上市的天數(shù)m(天)與生長率p滿足函數(shù)關系,部分數(shù)據(jù)如下:生長率p0.20.250.30.35提前上市的天數(shù)m(天)0510156.(2019嘉興,24,12分)某農(nóng)作物的生長率p與溫度t45①請運用已學的知識,求m關于p的函數(shù)表達式;②請用含t的代數(shù)式表示m;(3)天氣寒冷,大棚加溫可改變農(nóng)作物生長速度.在(2)的條件下,原計劃大棚恒溫20℃時,每天的成本為200元,

該作物30天后上市時,根據(jù)市場調查:每提前一天上市售出(一次售完),銷售額可增加600元.因此給大棚繼續(xù)

加溫,加溫后每天成本w(元)與大棚溫度t(℃)之間的關系如圖2.問提前上市多少天時增加的利潤最大?并求

這個最大利潤(農(nóng)作物上市售出后大棚暫停使用).

①請運用已學的知識,求m關于p的函數(shù)表達式;46解析

(1)把(25,0.3)代入p=-

(t-h)2+0.4,得h=29或h=21.∵h>25,∴h=29.(2)①由表格可知m是p的一次函數(shù),∴m=100p-20.②當10≤t≤25時,p=

t-

,把p代入m=100p-20得m=100

-20=2t-40,當25≤t≤37時,p=-

(t-29)2+0.4,把p代入m=100p-20得m=100

-20=-

(t-29)2+20.(3)①當20≤t≤25時,由(20,200),(25,300)得w=20t-200.∴增加利潤為600m+[200×30-w(30-m)]=40t2-600t-4000.∴當t=25時,增加利潤的最大值為6000元.②當25≤t≤37時,w=300.解析

(1)把(25,0.3)代入p=-?(t-h)247增加利潤為600m+[200×30-w(30-m)]=900×

×(t-29)2+15000=-

(t-29)2+15000.∴當t=29時,增加利潤的最大值為15000元.綜上所述,當t=29時,提前上市20天,增加的利潤最大,為15000元.增加利潤為600m+[200×30-w(30-m)]=900487.(2019金華,23,10分)如圖,在平面直角坐標系中,正方形OABC的邊長為4,邊OA,OC分別在x軸,y軸的正半軸

上,把正方形OABC的內部及邊上橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為好點.點P為拋物線y=-(x-m)2+m+2的頂點.(1)當m=0時,求該拋物線下方(包括邊界)的好點個數(shù);(2)當m=3時,求該拋物線上的好點坐標;(3)若點P在正方形OABC內部,該拋物線下方(包括邊界)恰好存在8個好點,求m的取值范圍.

7.(2019金華,23,10分)如圖,在平面直角坐標系中,49解析

(1)當m=0時,二次函數(shù)的表達式為y=-x2+2,函數(shù)圖象如圖所示.

∵當x=0時,y=2,當x=1時,y=1,∴拋物線經(jīng)過點(0,2)和(1,1),觀察圖象可知:好點有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),共5個.(2)當m=3時,二次函數(shù)解析式為y=-(x-3)2+5,其圖象如圖所示.解析

(1)當m=0時,二次函數(shù)的表達式為y=-x2+50

∵當x=1時,y=1,當x=2時,y=4,當x=4時,y=4,∴拋物線經(jīng)過(1,1),(2,4),(4,4),結合圖象可知,拋物線上的好點坐標分別為(1,1),(2,4),(4,4).(3)如圖,∵拋物線的頂點P的坐標為(m,m+2),

51

∴拋物線的頂點P在直線y=x+2上,∵點P在正方形內部,∴0<m<2,如圖,E(2,1),F(2,2),觀察圖象可知,當點P在正方形OABC內部,該拋物線下方(包括邊界)恰好存在8個好點時,

拋物線與線段EF有交點(點F除外),當拋物線經(jīng)過點E時,-(2-m)2+m+2=1,

52解得m=

或

(舍去),當拋物線經(jīng)過點F時,-(2-m)2+m+2=2,解得m=1或4(舍去),∴當

≤m<1時,頂點P在正方形OABC內部,該拋物線下方(包括邊界)恰好存在8個好點.解得m=?或?(舍去),538.(2017溫州,22,10分)如圖,過拋物線y=

x2-2x上一點A作x軸的平行線,交拋物線于另一點B,交y軸于點C.已知點A的橫坐標為-2.(1)求拋物線的對稱軸和點B的坐標;(2)在AB上任取一點P,連接OP,作點C關于直線OP的對稱點D.①連接BD,求BD的最小值;②當點D落在拋物線的對稱軸上,且在x軸上方時,求直線PD的函數(shù)表達式.

8.(2017溫州,22,10分)如圖,過拋物線y=?x2-54解析(1)對稱軸是直線x=-

=-

=4.∵點A,B關于直線x=4對稱,點A的橫坐標為-2,∴點B的橫坐標為10.當x=10時,y=5,∴點B的坐標為(10,5).(2)①如圖,連接OD,OB.∵點C,D關于直線OP對稱,∴OD=OC=5.∵OD+BD≥OB,∴BD≥OB-OD=5

-5,∴當點D在線段OB上時,BD有最小值5

-5.

解析(1)對稱軸是直線x=-?=-?=4.55②如圖,連接OD,設拋物線的對稱軸交x軸于點F,交BC于點H.

∵OD=5,OF=4,∴DF=3,∴D(4,3),DH=HF-DF=2.設CP=a,則PD=PC=a,PH=4-a,在Rt△PHD中,(4-a)2+22=a2,∴a=

,∴P

.設直線PD的函數(shù)表達式為y=kx+b(k≠0),∴

解得

∴直線PD的函數(shù)表達式為y=-

x+

.②如圖,連接OD,設拋物線的對稱軸交x軸于點F,交BC于點H569.(2018衢州,23,10分)某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池,噴水池的周邊有一圈噴水頭,噴出的水柱

為拋物線,在距水池中心3米處達到最高,高度為5米,且各方向噴出的水柱恰好在水池中心的裝飾物處匯合,

如圖所示,以水平方向為x軸,噴水池中心為原點建立直角坐標系.(1)求水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達式;(2)王師傅在水池內維修設備期間,噴水管意外噴水,為了不被淋濕,身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池

中心多少米以內?(3)經(jīng)檢修評估,游樂園決定對噴水設施做如下設計改進:在噴出水柱的形狀不變的前提下,把水池的直徑擴大到32米,各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物(高度不變)處匯合,請?zhí)骄繑U建改造后水柱的

最大高度.9.(2018衢州,23,10分)某游樂園有一個直徑為16米57解析(1)由題意可知拋物線的頂點為(3,5),設y=a(x-3)2+5,將(8,0)代入得a=-

,∴y=-

(x-3)2+5

(0<x<8).(2)當y=1.8時,1.8=-

(x-3)2+5,可得x1=7,x2=-1(舍去),所以王師傅必須站在離水池中心7米以內.(3)由y=-

(x-3)2+5可得原拋物線與y軸的交點為

,∵裝飾物高度不變,∴新拋物線也過點

.∵噴出水柱的形狀不變,解析(1)由題意可知拋物線的頂點為(3,5),設y=a(x58∴a=-

.∵直徑擴大到32米,∴新拋物線過點(16,0).設新拋物線解析式為y新=-

x2+bx+c(0<x<16),將

和(16,0)代入,解得b=3,c=

,∴y新=-

x2+3x+

=-

+

.當x=

時,y新=

.答:擴建改造后噴水池水柱的最大高度為

(或14.45)米.∴a=-?.5910.(2018嘉興、舟山,23,10分)已知,點M為二次函數(shù)y=-(x-b)2+4b+1圖象的頂點,直線y=mx+5分別交x軸正半

軸,y軸于點A,B.(1)判斷頂點M是否在直線y=4x+1上,并說明理由;(2)如圖1,若二次函數(shù)圖象也經(jīng)過點A,B,且mx+5>-(x-b)2+4b+1,根據(jù)圖象,寫出x的取值范圍;(3)如圖2,點A的坐標為(5,0),點M在△AOB內,若點C

,D

都在二次函數(shù)圖象上,試比較y1與y2的大小.10.(2018嘉興、舟山,23,10分)已知,點M為二次函60解析(1)易得點M的坐標是(b,4b+1),把x=b代入y=4x+1中,得y=4b+1,∴點M在直線y=4x+1上.(2)∵直線y=mx+5與y軸交于點B,∴點B的坐標為(0,5).又∵B(0,5)在拋物線上,∴5=-(0-b)2+4b+1,解得b=2,∴二次函數(shù)的表達式為y=-(x-2)2+9,∴當y=0時,得x1=5,x2=-1(舍),∴A(5,0).觀察圖象可得,當m+5>-(x-b)2+4b+1時,x的取值范圍為x<0或x>5.(3)如圖,設直線y=4x+1與直線AB交于點E,與y軸交于點F,解析(1)易得點M的坐標是(b,4b+1),61

解方程組

得

∴點E

,易得F(0,1),∵點M在△AOB內,∴0<b<

.當點C,D關于拋物線對稱軸(直線x=b)對稱時,b-

=

-b,∴b=

.又二次函數(shù)圖象開口向下,頂點M在直線y=4x+1上,∴結合圖象可知當0<b<

時,y1>y2;當b=

時,y1=y2;當

<b<

時,y1<y2.?當b=?時,y1=y2;當?<b<?時,y1<y2.62B組2015—2019年全國中考題組考點一二次函數(shù)解析式1.(2018山西,9,3分)用配方法將二次函數(shù)y=x2-8x-9化為y=a(x-h)2+k的形式為()A.y=(x-4)2+7

B.y=(x-4)2-25C.y=(x+4)2+7

D.y=(x+4)2-25答案

B

y=x2-8x-9=x2-8x+16-16-9=(x-4)2-25,故選B.B組2015—2019年全國中考題組考點一二次函數(shù)解析式632.(2017天津,12,3分)已知拋物線y=x2-4x+3與x軸相交于點A,B(點A在點B左側),頂點為M.平移該拋物線,使點

M平移后的對應點M'落在x軸上,點B平移后的對應點B'落在y軸上.則平移后的拋物線解析式為

()A.y=x2+2x+1

B.y=x2+2x-1C.y=x2-2x+1

D.y=x2-2x-1答案

A令y=0,則x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3,∴A(1,0),B(3,0).y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴點M的坐標為(2,-1),∵平移該拋物線,使點M平移后的對應點M'落在x軸上,點B平移后的對應點B'落在y軸上,∴拋物線向上平移了1個單位長度,向左平移了3個單位長度,∴平移后的拋物線解析式為y=(x+1)2=x2+2x+1,故選A.解題關鍵正確得出平移的方向和距離是解題的關鍵.2.(2017天津,12,3分)已知拋物線y=x2-4x+3643.(2019吉林長春,14,3分)如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2-2ax+

(a>0)與y軸交于點A,過點A作x軸的平行線交拋物線于點M,P為拋物線的頂點,若直線OP交直線AM于點B,且M為線段AB的中點,則a的值為

.

答案23.(2019吉林長春,14,3分)如圖,在平面直角坐標系中65解析分別過點P、B向x軸引垂線,垂足分別為C、D.由題可知拋物線的對稱軸是直線x=-

=1,點A

,根據(jù)對稱性,得點M

,又因為M為線段AB的中點,所以點B

.易證△OPC∽△OBD,得

=

=

,又BD=

,所以PC=

×

=

,所以點P

.把點P的坐標代入拋物線解析式,得a=2.

思路分析根據(jù)對稱性和解析式特點,求出A、B、M的坐標,再根據(jù)三角形相似,求出點P的坐標,代入拋物

線解析式求出a.解析分別過點P、B向x軸引垂線,垂足分別為C、D.由題可知664.(2019云南,21,8分)已知k是常數(shù),拋物線y=x2+(k2+k-6)x+3k的對稱軸是y軸,并且與x軸有兩個交點.(1)求k的值;(2)若點P在拋物線y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y(tǒng)軸的距離是2,求點P的坐標.解析(1)∵拋物線y=x2+(k2+k-6)x+3k的對稱軸是y軸,∴x=-

=0,即k2+k-6=0,解得k=-3或k=2.

(2分)當k=2時,二次函數(shù)解析式為y=x2+6,它的圖象與x軸無交點,不滿足題意,舍去.當k=-3時,二次函數(shù)解析式為y=x2-9,它的圖象與x軸有兩個交點,滿足題意.∴k=-3.

(4分)(2)∵點P到y(tǒng)軸的距離為2,∴點P的橫坐標為-2或2.又點P在拋物線y=x2+(k2+k-6)x+3k上,∴當x=2時,y=-5;當x=-2時,y=-5.

(6分)∴點P的坐標為(2,-5)或(-2,-5).

(8分)易錯警示(1)拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為x=-

.(2)點P(x,y)到x軸的距離為|y|,到y(tǒng)軸的距離為|x|,二者容易混淆,從而導致失分.4.(2019云南,21,8分)已知k是常數(shù),拋物線y=x267考點二二次函數(shù)的圖象與性質1.(2019內蒙古呼和浩特,3,3分)二次函數(shù)y=ax2與一次函數(shù)y=ax+a在同一坐標系中的大致圖象可能是

(

)

答案

D∵直線y=ax+a=a(x+1)恒過點(-1,0),∴選項C,D可能正確,選項C中,拋物線y=ax2開口向下,則a<0,

又直線y=ax+a過第一、二、三象限,則a>0,矛盾,選項C錯.故選D.解題關鍵得到直線y=ax+a恒過點(-1,0)是解本題的關鍵.考點二二次函數(shù)的圖象與性質1.(2019內蒙古呼和浩特,368x…-2-1012…y=ax2+bx+c…tm-2-2n…2.(2019天津,12,3分)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的自變量x與函數(shù)值y的部分對應值如下表:且當x=-

時,與其對應的函數(shù)值y>0.有下列結論:①abc>0;②-2和3是關于x的方程ax2+bx+c=t的兩個根;③0<m+n<

.其中,正確結論的個數(shù)是

()A.0

B.1

C.2

D.3x…-2-1012…y=ax2+bx+c…tm-2-2n…269答案

C由題表可知,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點(0,-2),(1,-2),∴對稱軸為直線x=

=

,c=-2,由題意可知,a>0,b<0,c<0,∴abc>0,∴①正確.根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知(-2,t)關于對稱軸x=

的對稱點為(3,t),即-2和3是關于x的方程ax2+bx+c=t的兩個根,∴②正確.∵對稱軸為直線x=

,∴-

=

,∴b=-a,∵當x=-

時,y>0,∴

a-

b-2>0,即

a+

a-2>0,∴a>

.∵對稱軸為直線x=

,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點(-1,m),(2,n),∴m=n,當x=-1時,m=a-b+c=a+a-2=2a-2,∴m+n=4a-4,∵a>

,∴4a-4>

,∴③錯誤.故選C.方法指導本題考查了拋物線與y軸的交點、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系、二次函數(shù)圖象上點的坐標特

征以及二次函數(shù)的性質,逐一分析三個結論的正誤是解題的關鍵.答案

C由題表可知,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖703.(2017內蒙古包頭,11,3分)已知一次函數(shù)y1=4x,二次函數(shù)y2=2x2+2.在實數(shù)范圍內,對于x的同一個值,這兩個

函數(shù)所對應的函數(shù)值為y1與y2,則下列關系正確的是

()A.y1>y2

B.y1≥y2C.y1<y2

D.y1≤y2

答案

D

y2-y1=2x2-4x+2=2(x-1)2,無論x取何值,(x-1)2≥0,∴y2≥y1,故選D.一題多解根據(jù)函數(shù)圖象可以看出對于同一個x的值,都有y1≤y2.

3.(2017內蒙古包頭,11,3分)已知一次函數(shù)y1=4x714.(2018山東濱州,10,3分)如圖,若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的對稱軸為x=1,與y軸交于點C,與x軸交于

點A、點B(-1,0),則①二次函數(shù)的最大值為a+b+c;②a-b+c<0;③b2-4ac<0;④當y>0時,-1<x<3.其中正確的個數(shù)

是

()

A.1

B.2

C.3

D.4答案

B由題中圖象可知,當x=1時,函數(shù)值取到最大值,最大值為a+b+c,故①正確;因為拋物線經(jīng)過點B(-1,

0),所以當x=-1時,y=a-b+c=0,故②錯誤;因為該函數(shù)圖象與x軸有兩個交點A、B,所以b2-4ac>0,故③錯誤;因為

點A與點B關于直線x=1對稱,所以A(3,0),根據(jù)題中圖象可知,當y>0時,-1<x<3,故④正確.故選B.4.(2018山東濱州,10,3分)如圖,若二次函數(shù)y=ax725.(2017湖北武漢,16,3分)已知關于x的二次函數(shù)y=ax2+(a2-1)x-a的圖象與x軸的一個交點的坐標為(m,0).若2<

m<3,則a的取值范圍是

.答案-3<a<-2或

<a<

解析把(m,0)代入y=ax2+(a2-1)x-a得,am2+(a2-1)m-a=0.解得m=

=

,∴m1=

,m2=-a,∵2<m<3,∴2<

<3或2<-a<3,解得

<a<

或-3<a<-2.思路分析把交點坐標代入二次函數(shù)解析式,可得到關于m的一元二次方程,利用公式法將m用含a的式子

表示出來,再根據(jù)2<m<3,解不等式即可.5.(2017湖北武漢,16,3分)已知關于x的二次函數(shù)y=736.(2018內蒙古包頭,26,12分)如圖,在平面直角坐標系中,已知拋物線y=

x2+

x-2與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側),與y軸交于點C,直線l經(jīng)過A,C兩點,連接BC.(1)求直線l的解析式;(2)若直線x=m(m<0)與該拋物線在第三象限內交于點E,與直線l交于點D,連接OD.當OD⊥AC時,求線段DE

的長;(3)取點G(0,-1),連接AG,在第一象限內的拋物線上,是否存在點P,使∠BAP=∠BCO-∠BAG?若存在,求出點P

的坐標;若不存在,請說明理由.

6.(2018內蒙古包頭,26,12分)如圖,在平面直角坐標74解析(1)當y=0時,

x2+

x-2=0,解得x1=1,x2=-4.∴A(-4,0),B(1,0).當x=0時,y=-2,∴C(0,-2).設直線l的解析式為y=kx+b(k≠0),∴

解得

∴直線l的解析式為y=-

x-2.

(3分)(2)∵OD⊥AC,∴∠ADO=90°,∴∠ADO=∠AOC=90°.∵∠DAO=∠OAC,∴△AOD∽△ACO.∴

=

.解析(1)當y=0時,?x2+?x-2=0,75∵AO=4,OC=2,∴在Rt△AOC中,AC=

=2

.∵

=

,∴AD=

.設直線x=m(m<0)與x軸交于點F,則DF∥OC,∴

=

,∴AF=

,∴OF=OA-AF=

,∴m=-

.∵直線x=m(m<0)交拋物線于點E,交直線l于點D,∴D

,E

,∴DE=-

m-2-

=-

m2-2m=

.

(7分)(3)假設存在點P,使∠BAP=∠BCO-∠BAG.∵A(-4,0),B(1,0),C(0,-2),∴AB=5,BC=

.∵AO=4,OC=2,76在Rt△AOC中,AC=2

,∴AB2=AC2+BC2,∴∠ACB=90°,∴∠ACO+∠BCO=90°.∵∠ACO+∠BAC=90°,∴∠BCO=∠BAC,∴∠BAP=∠BAC-∠BAG.∴∠BAP=∠GAC.過點G作GM⊥AC于點M,過點P作PN⊥x軸于點N,在Rt△PAN和Rt△GAM中,tan∠BAP=tan∠GAC,∴

=

,即GM·AN=AM·PN.∵G(0,-1),C(0,-2),∴OG=CG=1.∵OA=4,∴在Rt△AOG中,AG=

.設AM=x,則CM=2

-x.∵GM2=AG2-AM2=CG2-CM2,在Rt△AOC中,AC=2?,∴AB2=AC2+BC2,77∴(

)2-x2=1-(2

-x)2,解得x=

,∴AM=

,∴GM=

.設P

,∴PN=

n2+

n-2,AN=n+4.∴

(n+4)=

.解得n1=-4(舍去),n2=

.當n=

時,

n2+

n-2=

.∴P

.∴存在點P

,使∠BAP=∠BCO-∠BAG.

(12分)∴(?)2-x2=1-(2?-x)2,解得x=?,∴AM=?78思路分析(1)求出A,C兩點坐標,用待定系數(shù)法求直線l的解析式;(2)由OD⊥AC易得△ACO∽△AOD,再求

得AD的長,即可求出點D的橫坐標,用m表示出線段DE,代入m=-

,可得DE=

;(3)由題意證得∠ACB=90°,根據(jù)等角的余角相等可得∠BAC=∠BCO,進而可得∠BAP=∠GAC,作GM⊥AC,PN⊥x軸,構造Rt△PAN,Rt△GAM,由正切的定義可得GM·AN=AM·PN,分別表示出各線段的長,可求得點P的坐標.思路分析(1)求出A,C兩點坐標,用待定系數(shù)法求直線l的解79考點三二次函數(shù)綜合1.(2018河北,16,2分)對于題目“一段拋物線L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)與直線l:y=x+2有唯一公共點.若c為整數(shù),

確定所有c的值.”甲的結果是c=1,乙的結果是c=3或4,則

()A.甲的結果正確B.乙的結果正確C.甲、乙的結果合在一起才正確D.甲、乙的結果合在一起也不正確考點三二次函數(shù)綜合1.(2018河北,16,2分)對于題目80答案

D拋物線L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)可以看作拋物線y=-x(x-3)(0≤x≤3)沿y軸向上平移c個單位形成的,

一段拋物線L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)與直線l:y=x+2有唯一公共點可以看作直線l:y=x+2沿y軸向下平移c個單

位形成的直線y=x+2-c與拋物線y=-x(x-3)(0≤x≤3)有唯一公共點.當直線y=x+2-c(即l2)經(jīng)過原點時,0+2-c=0,c

=2;當直線y=x+2-c(即l3)經(jīng)過點A(3,0)時,3+2-c=0,c=5,根據(jù)圖象可得當2<c≤5時,直線y=x+2-c與拋物線y=-x(x

-3)(0≤x≤3)有唯一公共點,即一段拋物線L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)與直線l:y=x+2有唯一公共點.顯然c=3,4,5.

當直線y=x+2-c為圖中l(wèi)1時,直線y=x+2-c與拋物線y=-x(x-3)(0≤x≤3)有唯一公共點.令-x(x-3)=x+2-c,得x2-2x+2

-c=0,Δ=4-4(2-c)=0,解得c=1.因此甲、乙的結果合在一起也不正確,故選D.

答案

D拋物線L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3812.(2019天津,25,10分)已知拋物線y=x2-bx+c(b,c為常數(shù),b>0)經(jīng)過點A(-1,0),點M(m,0)是x軸正半軸上的動點.(1)當b=2時,求拋物線的頂點坐標;(2)點D(b,yD)在拋物線上,當AM=AD,m=5時,求b的值;(3)點Q

在拋物線上,當

AM+2QM的最小值為

時,求b的值.解析(1)∵拋物線y=x2-bx+c經(jīng)過點A(-1,0),∴1+b+c=0,即c=-b-1,當b=2時,y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴拋物線的頂點坐標為(1,-4).(2)由(1)知,拋物線的解析式為y=x2-bx-b-1,∵點D(b,y