第二章

線性矩陣不等式

2.1線性矩陣不等式的一般表示一個線性矩陣不等式是具有形式2.2可轉(zhuǎn)化成線性矩陣不等式表示的問題的可行性問題，而后者是一個關(guān)于矩陣變量P的線性矩陣不等式。2.3一些標(biāo)準(zhǔn)的線性矩陣不等式問題

2.4LMI工具箱介紹

線性矩陣不等式（LMI）工具箱是求解一般線性矩陣不等式問題的一個高性能軟件包。由于其面向結(jié)構(gòu)的線性矩陣不等式表示方式,使得各種線性矩陣不等式能夠以自然塊矩陣的的形式加以描述。一個線性矩陣不等式問題一旦確定，就可以通過調(diào)用適當(dāng)?shù)木€性矩陣不等式求解器來對這個問題進(jìn)行數(shù)值求解。LMI工具箱提供了確定、處理和數(shù)值求解線性矩陣不等式的一些工具，它們主要用于：●以自然塊矩陣形式來直接描述線性矩陣不等式；●獲取關(guān)于現(xiàn)有的線性矩陣不等式系統(tǒng)的信息；●修改現(xiàn)有的線性矩陣不等式系統(tǒng)；●求解3個一般的線性矩陣不等式問題；●驗證結(jié)果。本附錄將詳細(xì)介紹LMI工具箱所提供的用于解決以上各個問題的有關(guān)函數(shù)和命令。2.4.1線性矩陣不等式及相關(guān)術(shù)語

考慮H∞控制中的一個線性矩陣不等式：2.4.2線性矩陣不等式的確定

LMI工具箱可以處理具有以下一般形式的線性矩陣不等式。NTL（X1，…，Xk）N<MTR（X1，…，XK）M其中：X1…，XK是具有一定結(jié)構(gòu)的矩陣變量，左、右外因子N和M是具有相同維數(shù)的給定矩陣，左、右內(nèi)因子L（﹒）和R（﹒）是具有相同塊結(jié)構(gòu)的對稱塊矩陣。注意，在線性矩陣不等式的描述中，左邊總是指不等式較小的一邊，例如對線性矩陣不等式X>0，X稱為是不等式的右邊，0稱為是不等式的左邊，常表示成0<X.。要確定一個線性矩陣不等式系統(tǒng)，需要做以下兩步：給出每個矩陣變量X1，…，XK的維數(shù)和結(jié)構(gòu)；描述每一個線性矩陣不等式中各個項的內(nèi)容。這個過程產(chǎn)生所描述線性矩陣不等式系統(tǒng)的一個內(nèi)部表示，它以一個單一向量的形式儲存在計算機(jī)內(nèi)，通常用一個名字，例如lmisys來表示。該內(nèi)部表示lmisys可以在后面處理這個線性矩陣不等式時調(diào)用。下面將通過LMI工具箱中的一個例子來說明線性矩陣不等式系統(tǒng)的確定。運(yùn)行l(wèi)midem可以看到這個例子的完整描述。用命令lmivar和lmiterm給出線性矩陣不等式系統(tǒng)（A.2.3）~（A.2.5）的內(nèi)部描述如下：setlmis([])X=lmivar(1,[61])S=lmivar(1,[20;21])﹪lstLMIlmiterm([111x],1,A,’s’)lmiterm([111s],c’,c)lmiterm([112x],1,B)lmiterm([122s],-1,1)﹪2ndLMIlmiterm([-211X],1,1)﹪3rdLMIlmiterm([-311s],1,1)lmiterm([3110],1)lmisys=getlmis其中：函數(shù)lmivar定義了兩個矩陣變量X和S，lmiterm則描述了每一個線性矩陣不等式中各項的內(nèi)容。getlmis回到了這個線性矩陣不等式系統(tǒng)的內(nèi)部表示lmisys，lmisys也稱為是儲存在機(jī)器內(nèi)部的線性矩陣不等式系統(tǒng)的名稱。以下將詳細(xì)介紹這幾個函數(shù)的功能和用法。setlmis和getlmis一個線性矩陣不等式系統(tǒng)的描述以setlmis開始，以getlmis結(jié)束。當(dāng)要確定一個新的系統(tǒng)時，輸入：setlmis([])如果需要將一個線性矩陣不等式添加到一個名為lmiso的現(xiàn)有的線性矩陣不等式系統(tǒng)中,則輸入:setlmis(lmiso)當(dāng)線性矩陣不等式系統(tǒng)被完全確定好后，輸入：lmisys=getlmis該命令返回這個線性矩陣不等式系統(tǒng)的內(nèi)部表示lmisys。lmivar函數(shù)lmivar用來描述出現(xiàn)在線性矩陣不等式系統(tǒng)中的矩陣變量，每一次只能描述一個矩陣變量。矩陣變量的描述包括該矩陣變量的結(jié)構(gòu)。該函數(shù)的一般表達(dá)是：X=lmivar(type,struct)這一函數(shù)定義了一個新的矩陣變量X。函數(shù)中的第一個輸入量type確定了矩陣變量X的類型，第二個輸入量struct進(jìn)一步根據(jù)變量X的類型給出該變量的結(jié)構(gòu)。變量的類型分成三類：在確定了矩陣變量之后，還需要確定每一個線性矩陣不等式中各項的內(nèi)容。線性矩陣不等式的項指構(gòu)成這個線性矩陣不等式的塊矩陣中的求和項。這些項可以分成三類：常數(shù)項；變量項，即包含了矩陣變量的項，例如（A.1.3）式中的ATX和CTSC。一般的變量項具有形式PXQ，其中的X是一個變量，P和Q是給定的矩陣，分別稱為該變量項的左系數(shù)和右系數(shù)；外因子。在描述一個具有多個塊的線性矩陣不等式時，LMI工具箱提供了這樣的功能，即只需要確定對角線上和對角線上方的項的內(nèi)容，或者只描述對角線上和對角線下方的項的內(nèi)容，其他部分項的內(nèi)容可以根據(jù)線性矩陣不等式的對稱性得到。這些命令依次描述了項ATX+XA、CTSC、XB和-S。在每一條命令中，第1項是一個4元向量，它刻畫了所描述的項所在的位置和特征，其中：●第1個元表示所描述的項屬于哪一個線性矩陣不等式。值m表示第m個不等式的左邊，-m表示第m個不等式的右邊?！竦?和第3個元表示所描述的項所在塊的位置。例如，向量[1121]表示所描述的項位于第一個線性矩陣不等式左邊內(nèi)因了的塊（1，2）中。第2和第3個元均取零表示所描述的項在外因子中?！褡詈笠粋€元表明了所描述的項是常數(shù)項還是變量項。如果是變量項，則進(jìn)一步說明涉及哪一個變量。0表示常數(shù)項，k表示所描述的項包含第k個矩陣變量Xk，-k則表示包含矩陣變量Xk的轉(zhuǎn)置（在例1中，X是第1個變量，S是第2個變量，它們按確定的先后順序排列）。lmiterm的第2項和第3項包含了數(shù)據(jù)（常數(shù)項的值，外因子，變量項PXQ或PXTQ中的左、右系數(shù)）。第4項是可選擇的，且只能是’s’。在描述項的內(nèi)容時，有一些簡化的方法。零塊可以省略描述?？梢酝ㄟ^在命令lmiterm中外加一個分量’s’，使得可以只用一條命令lmiterm就能描述一個變量項與該變量項的轉(zhuǎn)置的和。例如，上面的第一條命令描述了ATX+XA。可以用一個標(biāo)量值來表示一個數(shù)量矩陣，即用α表示數(shù)量矩陣αI，其中α是一個標(biāo)量。如例1中的第3個不等式S>I被描述成lmiterm([-311S],1,1)lmiterm([3110],1)為了便于閱讀，也可以用線性矩陣不等式和矩陣變量的名稱來表示對應(yīng)的線性矩陣不等式和矩陣變量。矩陣變量的變量名可以用命令lmivar來賦值，線性矩陣不等式的名稱則可以用函數(shù)newlmi來確定。這些標(biāo)識符可以用在命令lmiterm中以表示相應(yīng)的線性矩陣不等式或矩陣變量。對例1中的線性矩陣不等式系統(tǒng)，采用名稱的相應(yīng)描述如下：setlmis([])X=lmivar(1,[61])S=lmivar(1,[20;21])BRL=newlmilmiterm([BRL11X],1,A,’s’)lmiterm([BRL11S],C’,C)lmiterm([BRL12X],1,B)lmiterm([BRL22S],-1,1)Xpos=newlmilmiterm([-Xpos11X],1,1)Slmi=newlmilmiterm([-Slmi11S],1,1)lmiterm([Slmi110],1)lmisys=getlmis其中：X和S分別表示變量X和S，而BRL、Xpos和Slmi則分別表示第1、第2和第3個線性矩陣不等式。-Xpos指的是第2個線性矩陣不等式的右邊，-X表示變量X的轉(zhuǎn)置。2.4.3線性矩陣不等式求解器

LMI工具箱提供了用于求解以下三個問題的線性矩陣不等式求解器（其中x表示決策變量向量，即矩陣變量X1…，Xk中的獨立變元構(gòu)成的向量）?？尚行詥栴}尋找一個x∈RN(或等價的：具有給定結(jié)構(gòu)的矩陣X1…，Xk)，使得滿足線性矩陣不等式系統(tǒng)A（x）<B(x)相應(yīng)的求解器是feasp。feasp求解器feasp的一般表達(dá)式如下：[tmin,xfeas]=feasp(lmisys,options,target)求解器feasp是通過求解如下的一個輔助凸優(yōu)化問題mints.t.A(x)-B(x)≤tI來求解線性矩陣不等式系統(tǒng)lmisys的可行性問題。這個凸優(yōu)化問題的全局最優(yōu)值用tmin表示，作為求解器feasp輸出的第一個分量。如果tmin<0，則系統(tǒng)lmisys是可行的。當(dāng)系統(tǒng)lmisys為可行時，求解器feasp輸出的第二個分量xfeas給出了該線性矩陣不等式系統(tǒng)決策變量的一個可行解。進(jìn)而，應(yīng)用dec2mat可以得到系統(tǒng)lmisys矩陣變量的一個可行解。options(4)：該項參數(shù)用于加快迭代過程的結(jié)束，它提供了反映優(yōu)化過程中迭代速度和解的精度之間的一個折衷指標(biāo)。當(dāng)該參數(shù)取值為一個正整數(shù)J時，表示在最后的J次迭代中，如果每次迭代后t的減小幅度不超過1%，則優(yōu)化迭代過程就停止。該參數(shù)的默認(rèn)值是10?！駉ptions(5)：options(5)=1表示不顯示迭代過程中的數(shù)據(jù)，options(5)=0（默認(rèn)值）則相反。將options(i)設(shè)置為零相當(dāng)于將相應(yīng)的控制參數(shù)設(shè)置為默認(rèn)值，也可以通過忽略該輸入變量來接受默認(rèn)值。在求解這個可行性問題的過程中，也可以附加一些約束，例如，要求矩陣P的Frobenius范數(shù)不超過10，且tmin≤-1?？梢酝ㄟ^調(diào)用[tmin,xfeas]=feasp(lmis,[0,0,10,0,0],-1)來滿足這些附加要求。相應(yīng)的結(jié)果是tmin=-1.1745，相應(yīng)的矩陣P的最大特征值是λmax(P)=9.6912。求解器mincx的一般表達(dá)式如下：

[copt,xopt]=mincx(lmisys,c,options,xinit,target)問題中的線性矩陣不等式系統(tǒng)由lmisys表示，向量C和決策變量向量x有相同的維數(shù)。對于由矩陣變量表示的線性目標(biāo)函數(shù)，可以應(yīng)用函數(shù)defcx來得到適當(dāng)?shù)南蛄緾。函數(shù)mincx返回到目標(biāo)函數(shù)cTx的全局最優(yōu)值copt和決策變量的最優(yōu)解xopt，相應(yīng)的矩陣變量的最優(yōu)解可以應(yīng)用函數(shù)dec2mat從xopt得到。函數(shù)mincx的輸入量中除lmisys和c以外，其他的輸入是可選擇的。xinit是最優(yōu)解xopt的一個初始猜測（可以從矩陣變量X1，…，Xk的給定值，通過使用mat2dec來導(dǎo)出xinit）。當(dāng)輸入的xinit不是一個可行解時，它將被忽略；否則，則有可能加快問題求解的過程。target是目標(biāo)函數(shù)的一個設(shè)定目標(biāo)，只要某個可行的x滿足cTx≤target，求解過程就停止。options是一個5維向量，用來描述優(yōu)化迭代過程中的一些控制參數(shù)：●opitons(1)：該參數(shù)確定了最優(yōu)值copt所要求的精度（默認(rèn)值是10-2）●opitons(2)：該參數(shù)設(shè)定優(yōu)化迭代過程中允許的最大迭代次數(shù)（默認(rèn)值是100）?！駉pitons(3)：該參數(shù)設(shè)定了可行域的半徑。與求解器feasp中的相應(yīng)參數(shù)相同?！駉pitons(4)：該參數(shù)用于加快迭代過程的結(jié)束。當(dāng)該參數(shù)取值為一個正整數(shù)J時，表示在最后的J次迭代中。如果每次迭代后，目標(biāo)函數(shù)cTx的減小幅度在給定的精度內(nèi)，則優(yōu)化迭代過程就停止。該項參數(shù)的默認(rèn)值是5?！駉pitons(5)：opitons(5)=1表示不顯示迭代過程中的數(shù)據(jù)，opitons(5)=0(默認(rèn)值)則相反。將option(i)設(shè)置為零相當(dāng)于將相應(yīng)的控制參數(shù)設(shè)置為默認(rèn)值，也可以通過忽略該輸入變量來接受默認(rèn)值。以下的例子說明了求解器mincx的使用方法。由于Trace(X)是X的元的一個線性函數(shù)，因此以上的優(yōu)化問題是一個具有線性矩陣不等式約束的線性目標(biāo)函數(shù)的最小化問題，從而可以應(yīng)用求解器mincx來求解這個問題。以下給出用mincx來求解該問題的過程。定義線性矩陣不等式約束setlmis([])X=lmivar(1,[31])﹪變量X，滿對稱的lmiterm([111X],1,A,’s’)lmiterm([1110],Q)lmiterm([1220],-1)lmiterm([121X],B’,1)LMIs=getlmis2、將目標(biāo)函數(shù)Trace(X)寫成cTx，其中x是矩陣變量X中的獨立元所構(gòu)成的向量。由于引進(jìn)向量C的目的是要選擇X的對角元，因此它可以作為相應(yīng)于X=I的決策向量得到，即c=mat2dec(LMIs,eye(3))事實上，函數(shù)defcx將提供一個確定這樣的目標(biāo)函數(shù)的更加系統(tǒng)化的方法。3調(diào)用mincx計算最小值xopt，目標(biāo)函數(shù)的全局最小值copt=c’*xopt。options=[le-5,0,0,0,0][copt,xopt]=mincx(LMIs,c,options)其中l(wèi)e-5給定了所要求的關(guān)于copt的計算精度。作為求解器mincx運(yùn)行的結(jié)果，以下的信息將出現(xiàn)在屏幕上：迭代的次數(shù)和當(dāng)前這次迭代時cTx的最佳值分別在左列和右列中。注意，在第一次迭代中沒有一個對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，這表明滿足約束條件的可行解x只是在第二迭代時才被找到。gevp求解器gevp的一般表達(dá)式如下：[lopt,xopt]=gevp(lmisys,nlfc,options,linit,xinit,target)如果問題的線性矩陣不等式約束是可行的，由gevp給出了優(yōu)化問題的全局最小值lopt和決策向量x的最優(yōu)解xopt。相應(yīng)的矩陣變量的最優(yōu)解可以應(yīng)用dec2mat得到。輸入分量lmisys表示當(dāng)λ=1時由（A.2.3）~(A.2.5)構(gòu)成的線性矩陣不等式系統(tǒng)。包含λ的線性矩陣不等式系統(tǒng)稱為線性分式約束。線性分式約束（A.2.5）的個數(shù)用nlfc表示，其他的輸入分量都是可選擇的。如果（λ0，x0）是一個可行解，則通過令linit=λ、xinit=x0，將（λ0，x0）設(shè)置為gevp的初始值。當(dāng)（λ0，x0）不是可行解時，這樣的初始值設(shè)置不會被接受。target的設(shè)定值表明了只要當(dāng)一個可行解（λ，x）滿足λ≤target時，迭代過程就停止?？蛇x擇輸入量options是一個5維向量，用來描述優(yōu)化迭代過程中的一些控制參數(shù)：●options(1):該參數(shù)設(shè)定了最優(yōu)值lopt所要求的精度（默認(rèn)值是10-2）?！駉ptions(2):該參數(shù)設(shè)定優(yōu)化迭代過程中允許的最大迭代次數(shù)（默認(rèn)值是100）?！駉ptions(3):該參數(shù)設(shè)定了可行域的半徑。與求解器feasp中的相應(yīng)參數(shù)相同。●options(4):該參數(shù)用于加快迭代過程的結(jié)束。當(dāng)該參數(shù)取值為一個正整數(shù)J時，表示在最后的J次迭代中，如果每次迭代后λ的減小幅度在給定的精度內(nèi)，則優(yōu)化迭代過程就停止。該參數(shù)的默認(rèn)值是5。●options(5):options(5)=1表示不顯示迭代過程中的數(shù)據(jù)options(5)=0（默認(rèn)值）則相反。將options(i)設(shè)置為零相當(dāng)于將相應(yīng)的控制參數(shù)設(shè)置為默認(rèn)值，也可以通過忽略該輸入變量來接受默認(rèn)值。對廣義特征值的最小化問題，在調(diào)用求解器gevp時，須遵循以下規(guī)則：●確定包含λ的線性矩陣不等式：A(x)<B(x)（注意沒有λ）；●總是把A（x）<B（x）放在線性矩陣不等式系統(tǒng)的最后；●要求有約束0<B（x），或者保證0<B（x）成立的任何其他約束。setlmis([])P=lmivar(1,[21])lmiterm([1110],1)﹪P>I：Ilmiterm([-111P],1,1)﹪P>I：Plmiterm([211P],1,A1,’s’)﹪LFC#1(lhs)lmiterm([-211P],1,1)﹪LFC#1(rhs)lmiterm(311P],1,A2,’s’)﹪LFC#2(lhs)lmiterm([-311P],1,1)﹪LFC#2