2023年自考類計(jì)算機(jī)類(工學(xué)類)離散數(shù)學(xué)歷年高頻考題帶答案難題附詳解（圖片大小可自由調(diào)整）第1卷一.歷年考點(diǎn)試題黑鉆版(共50題)1.構(gòu)造下列推理的證明。

如果他訓(xùn)練刻苦，他必贏得比賽；如果他贏得比賽，他必得到總理的接見；總理沒有接見他；所以他訓(xùn)練不刻苦。2.設(shè)圖G=〈V，E〉，則下列結(jié)論成立的是______

A．deg(v)=|E|

B．deg(v)=2|E|

C．

D．3.設(shè)圖G=〈V，E〉為有向圖，V={v1，v2，v3，v4}，若G的鄰接矩陣，則deg-(v2)=______，deg+=(v4)=______。4.設(shè)P、Q為兩個(gè)命題，吸收律可表示為______。5.在全體正整數(shù)集Z+中規(guī)定∩，∪為：對任意的a，b∈Z+，

a∪b=[a，b]，即求a，b的最小公倍數(shù)；

a∩b=(a，b)，即求a，b的最大公約數(shù)；

則運(yùn)算∩，∪滿足結(jié)合律，交換律和吸收律，于是〈Z+，∩，∪〉是一個(gè)格。試判斷下列集合是否是〈Z+，∩，∪〉的子格。

(1)A={1，2，3，9，12，72}；

(2)A={1，2，3，12，18}；

(3)A={5，52，53，…，5n}；

(4)T=2Z+={2k|k∈Z+}。6.設(shè)集合A有n個(gè)元素，集合B有m個(gè)元素，且，求的元素個(gè)數(shù)。7.下列語句是真命題的是______A.2既是偶數(shù)，也是素?cái)?shù)B.自然數(shù)中存在最大素?cái)?shù)C.今天天氣真好呀D.π是有理數(shù)8.使公式成立的條件是______不含有y，______不含有x。9.設(shè)P={x(x+1)2≤4}，Q={x|x2+16≥5x}，則下列選項(xiàng)正確的是______

A．

B．

C．

D．Q=P10.樹中結(jié)點(diǎn)的最大層數(shù)定義為樹的______，最大層數(shù)加1為樹的______。11.在Klein四元群G={e，a，b，c}中，______是1階元，______是2階元。12.謂詞公式中，變元y屬于______A.約束變元B.既是自由變元，也是約束變元C.自由變元D.既不是自由變元，也不是約束變元13.設(shè)G=(a)是循環(huán)群，則G的生成元是______。14.設(shè)R={＜1，1＞，＜2，1＞，＜3，2＞，＜4，3＞}，求冪Rn，n=2，3，…15.設(shè)A={1，2，4}，A上的二無關(guān)系R的關(guān)系圖如下圖，則R具有的性質(zhì)是______

A.自反性B.對稱性C.傳遞性D.反自反性16.下列等價(jià)式不正確的是______

A．

B．

C．

D．17.設(shè)是環(huán)，則下列選項(xiàng)正確的是______

A．是Abel群

B．是可分配的

C．是可分配的

D．〈A，x〉是半群18.求下圖的最小生成樹。

19.設(shè)〈{a，b，c}，*〉為代數(shù)系統(tǒng)，*運(yùn)算如下：

則零元為______A.沒有B.aC.bD.c20.設(shè)R={〈3，1〉，〈2，3〉，〈5，3〉，〈3，4〉}是集合A={1，2，3，4，5}上的關(guān)系，則domR=______，ranR=______。21.n個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全圖記為Kn，那么當(dāng)______時(shí)，Kn是平面圖；當(dāng)______時(shí)，Kn是非平面圖。22.寫出下圖所示格的所有6元子格。

23.用矩陣的方法求下圖中頂點(diǎn)v2、v5之間長度為2的路徑的數(shù)目。

24.證明：整數(shù)集Z上的小于等于關(guān)系“≤”是一個(gè)偏序關(guān)系。25.若回路中，除起點(diǎn)與終點(diǎn)外，______均不相同，______也均不相同，則此回路稱為初級回路。26.設(shè)X={0，1}，冪集為ρ(X)，下列關(guān)于代數(shù)系統(tǒng)〈ρ(X)，∩〉的陳述正確的是______

A．{0}是幺元

B．{1}是幺元

C．{0，1}是幺元

D．是幺元27.在簡單無向圖G=＜V，E＞中，如果V中的每個(gè)頂點(diǎn)都與其余的所有頂點(diǎn)鄰接，則該圖稱為______A.正則圖B.完全圖C.強(qiáng)連通圖D.連通圖28.公式的約束變元為______，自由變元為______。29.n個(gè)結(jié)點(diǎn)的完全圖記為Kn，那么當(dāng)______時(shí)，Kn是平面圖；當(dāng)______時(shí)，Kn是非平面圖。30.已知集合為A的冪集，

A．{〈a，a〉}

B．

C．

D．31.設(shè)S={φ，{1}，(1，2)}，則其冪集的元素個(gè)數(shù)為______。32.設(shè)A={1，2，3，4，5，8，12，24}，R為A上整除關(guān)系，試畫出〈A，R〉的哈斯圖，并求出A的最大元、最小元、極大元、極小元。33.設(shè)A={1，2，3，4，5，6}，為A上的整除關(guān)系，則A的最小元為______A.1B.3C.4D.634.命題公式P→(P∨Q)的主析取范式是______A.∑(0，1，2，3)B.∑(0，1，2)C.∑(0，2，3)D.035.下列既是哈密頓圖又是歐拉圖的是______

A．

B．

C．

D．36.設(shè)G是連通平面圖，有v個(gè)頂點(diǎn)，e條邊，且其平面表示中共有r個(gè)面，則e=______A.v+r+2B.r-v+2C.r+v-2D.v-r+237.下列數(shù)組中，能構(gòu)成無向圖的頂點(diǎn)度數(shù)的數(shù)組是______A.(1，1，2，3)B.(2，2，2，2)C.(3，2，3，4，5)D.(0，1，3，3)38.請寫出表示德摩根律的兩個(gè)命題公式等價(jià)定理______，______。39.設(shè)X={1，2，4，5，10，20}，R是X上的整除關(guān)系，則R是X上的偏序關(guān)系，其最大元是______，極小元是______。40.設(shè)A={0，1，2，3}，A上的關(guān)系R={＜0，1＞，＜0，2＞，＜0，3＞，＜1，2＞，＜1，3＞，＜2，3＞}，若Rm={＜0，3＞}，，則最小m=______，最小n=______。41.設(shè)Z+是正整數(shù)集，R是實(shí)數(shù)集，f：Z+→R，f(n)=log2n，則______A.僅是入射B.僅是滿射C.是雙射D.不是函數(shù)42.含n個(gè)命題變元的任一命題公式的指派個(gè)數(shù)是______A.nB.n2C.2nD.22n43.求命題公式的主析取范式。44.設(shè)A、B、C是集合，若A∩B=A∩C，～A∩B=～A∩C，證明：B=C。45.證明：邊e是圖G的一條割邊，當(dāng)且僅當(dāng)圖G中不存在包含邊e的簡單回路。46.設(shè)V=＜S，*＞是代數(shù)系統(tǒng)，*是集合S上的二元運(yùn)算，若運(yùn)算*是封閉的，且滿足______，則稱V為半群。47.構(gòu)造下列命題的推理證明：

有些人喜歡所有的花，但人們都不喜歡雜草，所以花不是雜草。48.對公式中的自由變元代入可寫為______。49.對實(shí)數(shù)的普通加法和乘法，______是加法的冪等元，______是乘法的冪等元。50.已知，計(jì)算A∪B，A?B，A的冪集。第1卷參考答案一.歷年考點(diǎn)試題黑鉆版1.參考答案：設(shè)p：他訓(xùn)練刻苦，

q：他贏得比賽，

r：他得到總理的接見。

前提：p→q，q→r，﹁r

結(jié)論：﹁p

證明：

(1)﹁r

P規(guī)則

(2)q→r

P規(guī)則

(3)﹁q

T(1)(2)I

(4)p→q

P規(guī)則

(5)﹁p

T(3)(4)I2.參考答案：D3.參考答案：2；1[考點(diǎn)]本題主要考查的知識點(diǎn)為有向圖中頂點(diǎn)的出度和入度。[解析]由G的鄰接矩陣A，可得G的圖如下，

由圖可知，deg-(v2)=2，deg-(v4)=1。4.參考答案：5.參考答案：(1)，(2)中的A雖然都是Z+的子集，(1)中2，3∈A，但是2∪3=[2，3]=6A，(2)中2，3∈A，但2∪3=[2、3]=6A，所以(1)和(2)對運(yùn)算∪都不封閉，因此不是〈Z+，∩，∪〉的子格。(3)中A是Z+的子集，且對運(yùn)算∪，∩封閉，因此是〈Z+，∩，∪〉的子格。

對于(4)，因?yàn)?n∪2m=[2n，2m]∈T，(m，n∈Z+)，2n∩2m=(2n，2m)∈T，所以T是格〈Z+，∩，∪〉的子格。6.參考答案：集合A中有n個(gè)元素，則中含有2n個(gè)元素；集合B中有m個(gè)元素，則中含2m個(gè)元素。

因?yàn)?，所以，故中的元素的個(gè)數(shù)為2n+2m=2。7.參考答案：A8.參考答案：A(x)；B(y)9.參考答案：C[考點(diǎn)]本題主要考查的知識點(diǎn)為集合與集的關(guān)系表示。[解析]P={x|(x+1)2≤4)={x|-3≤x≤1}，Q={x|x2+16≥5x)=R。，故選C。10.參考答案：深度；高度11.參考答案：e；a、b、c12.參考答案：B13.參考答案：a、a-114.參考答案：由已知R={＜1，1＞，＜2，1＞，＜3，2＞，＜4，3＞}，得到

R2=={＜1，1＞，＜2，1＞，＜3，1＞，＜4，2＞}，

R3=={＜1，1＞，＜2，1＞，＜3，1＞，＜4，1＞}，

R4=={＜1，1＞，＜2，1＞，＜3，1＞，＜4，1＞}=R3，對任意的n≥4，均有Rn=R3。15.參考答案：D[考點(diǎn)]本題主要考查的知識點(diǎn)為二無關(guān)系的性質(zhì)。[解析]由圖可知，圖中每個(gè)結(jié)點(diǎn)都沒有環(huán)，故R不是自反的；結(jié)點(diǎn)1與4之間只有一個(gè)有向邊，故R不是對稱的；結(jié)點(diǎn)4到結(jié)點(diǎn)2有邊，結(jié)點(diǎn)2到結(jié)點(diǎn)1也有邊，但結(jié)點(diǎn)4到結(jié)點(diǎn)1沒有邊，故R不是傳遞的；排除A、B、C項(xiàng)，故選D。16.參考答案：A[考點(diǎn)]本題主要考查的知識點(diǎn)為等價(jià)關(guān)系。[解析]反之不行，故選A。17.參考答案：C[考點(diǎn)]本題主要考查的知識點(diǎn)為環(huán)。[解析]由環(huán)的定義可知，若是環(huán)，則〈A，*〉是Abel群，是半群，是可分配的，因此可排除A、B、D項(xiàng)，選C。18.參考答案：取e1=(v1，v2)=(v3，v4)，e2=(v1，v5)，e3=(v4，v5)=(v5，v6)，則題中所給圖的最小生成樹

如下圖所示：

19.參考答案：D[考點(diǎn)]本題主要考查的知識點(diǎn)為代數(shù)系統(tǒng)中的零元。[解析]由*運(yùn)算表可知，a*c=c，b*c=c，c*c=c，而c*a=c，c*b=c，所以c為零元。20.參考答案：{2，3，5}；{1，3，4}21.參考答案：n≤4；n≥522.參考答案：題圖所示格的6元子格為{a，c，d，e，f，g)，{a，b，d，e，f，g}。23.參考答案：由圖可知其鄰接矩陣為

，

由A的2次冪可知，v2、v5之間長度為2的路徑的數(shù)目為1。24.參考答案：①，則有a≤a，所以關(guān)系“≤”具有自反性。

②，a≤b且b≤a，則a=b，所以關(guān)系“≤”具有反對稱性。

③，a≤b且b≤c，則a≤c，所以關(guān)系“≤”具有傳遞性。

綜上所述，關(guān)系“≤”是一個(gè)偏序關(guān)系。25.參考答案：其余頂點(diǎn)；所有邊26.參考答案：C[考點(diǎn)]本題主要考查的知識點(diǎn)為幺元。[解析]，{0}∩{0，1}={0，1}∩{0}={0}，{1}∩{0，1}={0，1}∩{1}={1}，故{0，1}是幺元。27.參考答案：B28.參考答案：x，z；y29.參考答案：n≤4；n≥530.參考答案：D[考點(diǎn)]本題主要考查的知識點(diǎn)為集合的冪集及笛卡兒積。[解析]因?yàn)锳={a}，所以故應(yīng)選D。31.參考答案：8[解析]有23=8個(gè)元素。32.參考答案：哈斯圖如下圖所示，它的最大元不存在；極大元為5，24；最小元為1；極小元為1。

33.參考答案：A[解析]A={1，2，3，4，5，6}，則其哈斯圖為，則其最小元是1。34.參考答案：A[考點(diǎn)]本題主要考查的知識點(diǎn)為主析取范式。

[解析]P→(P∨Q)

35.參考答案：A36.參考答案：C37.參考答案：B[考點(diǎn)]本題主要考查的知識點(diǎn)為無向圖的頂點(diǎn)度數(shù)。[解析]無向圖的頂點(diǎn)度數(shù)總和必為偶數(shù)且為其邊的2倍，故選B。38.參考答案：39.參考答案：20；1[考點(diǎn)]本題主要考查的知識點(diǎn)為偏序集的最大元、極小元。[解析]偏序集如下圖：

由圖可知，R的最大元是20，極小元是1。40.參考答案：3；4[考點(diǎn)]本題主要考查的知識點(diǎn)為關(guān)系的冪。[解析]。41.參考答案：A[考點(diǎn)]本題主要考查的知識點(diǎn)為函數(shù)、入射、滿射、雙射。[解析]若x1≠x2，則log2x1≠log2x2，所以f(n)=log2n是入射的；但f(n)=log2n不是Z+到R的滿射。例如，但不存在x∈Z+，使得。故f僅是入射函數(shù)。42.參考答案：C43.參考答案：

即該公式的主析取范式為0。44.參考答案：(A∩B)∪(～A∩B)=(A∩C)∪(～A∩C)，

(A∪～A)∩B=(A∪～A)∩C，

E∩B=E∩C，

B=C。45.參考答案：(1)充分性。設(shè)圖G的邊e=(u，v)不包含在G的任一條簡單回路中，則u，v之間除e外無任何通路，否則，若u，v之間存在另一條通路，那么加上邊e就形成一條回路，這與題意矛盾。因此，去掉邊e，則G不連通，故e為G