用極坐標求解天體的運動幾例王琨有關行星和衛(wèi)星運動的問題是力學課程中最有趣味的課題之一．可惜許多教科書都把這類問題與牛頓萬有引力定律聯(lián)系起來．因而要想把軌道概念較早地引入力學課程之中，通常不得不把問題局限為圓周軌道，這樣往往會使一些學生誤以為只存在圓形軌道，或者至少以為只有圓形軌道才是重要的．我認為把行星和衛(wèi)星的橢圓形軌道運動問題，建立在開普勒三個定律的基礎上，作為運動學問題，而不是放在牛頓萬有引力定律的基礎上，作為動力學問題，這樣會更好一些．當然，開普勒定律和牛頓萬有引力定律是緊密相關的．但是我認為應當首先在開普勒定律的引導下討論橢圓運動，可以避免冗長而繁瑣的數(shù)學運某些有關橢圓軌道的問題，實際上純粹是幾何問題，顯然可用幾何方法求解，這里我介紹幾道用極坐標求解的常見問題，而它們恰恰又是用勻速圓周運動不太好直接求解的問題。例如：(1)已知橢圓軌道的某些性質(如最遠點，最近點，離心率，周期，半長軸，或者在某特定點的速度等)，求其它物理量．(2)由于速度改變，從一軌道換到另一軌道．⑶在行星之間或者在衛(wèi)星之間對軌道作霍曼(hohmann)半橢圓變換.(4)同步通訊衛(wèi)星的相關問題．開普勒三定律的極坐標表達的數(shù)學形式為：pTOC\o"1-5"\h\z第一定律：r= ,eVl (1)1+ecos0d0第二定律：r2 =c, (2)dt\o"CurrentDocument"第三定律：t2=k ， ⑶其中e是離心率，p是正焦弦，a是半長軸，T是橢圓軌道的周期；c是因各個行星(衛(wèi)星)而異的常數(shù)，k是對每個行星(衛(wèi)星)都相同的常數(shù).此外，軌道上任一點的速度表達式為：

v2=k（?-丄）。 （4）ra例1、“下落”的地球假設地球突然停止其軌道運動；試證明它下落到太陽所經歷的時間為旋/4年（設太陽為質點）。這是一個簡單而古老的問題，為了使用開普勒定律求解，假定地球并沒有完全“停止”在其軌道上，而是在某點A上保留有一非常小的切向速度（圖1）.那么地球將進入圍繞太陽的橢圓軌道，該軌道的最遠點為A,最近點為P,地球在這一新軌道上的運行周期T'應滿足開普勒第三定律，T2 a3圖T2 a3圖圖2(5)和a是地球原軌道式中a'是新軌道的半長軸.T的周期和半長軸?因此地球從A點運動到和a是地球原軌道(6)現(xiàn)在想象地球在點A的速度越來越小，因此其最近點P離太陽越來越近（圖2）.當?shù)厍蛟谲壍郎贤耆Ｖ沟臉O限情況下，地球便沿直線落向太陽.此時2a'fa,因此1TJ斗T ⑺24

顯然，以上分析過程同樣適用于在環(huán)繞地球的軌道上運動的衛(wèi)星.倘若衛(wèi)星在h高處（h〉〉r,r為地球半徑）停止軌道運動，取地球為質點，這種模型顯然是一恰當?shù)慕?；不過，這一模型不適用于衛(wèi)星在接近地球的軌道上運動的情況．例2．火箭飛離地面的高度設一枚火箭從地球表面豎直向上發(fā)射,到達距離地球中心為h高處（h〉〉r,r是地球半徑）.求火箭能達到這個高度所經過的時間和需要的初速度．設想火箭在地球表面上以偏離豎直線小角度a的方向發(fā)射，因此它應進入一橢圓軌道，該軌道的最遠點A在距離地球中心為h的高處，最近點P應在地球中心的另一側，當然這一段軌道只是理論上存在的，實際上這枚火箭將落回到地球的表面（圖2）．火箭在這一軌道上的周期T'可由式（3）用半長軸a（=2AP）表達：, 4兀2a‘3t2=k ⑻e式中ke可由月球繞地軌道的有關參數(shù)求得.現(xiàn)在設想初速度越來越接近于豎直方向，即a-0,則2a'=AP—h (9)因此，h3tt氣:2k (10)e故火箭從地球中心運動到其最高位置所需時間為211)1211)兀12 2ke因為在理論上取r〈〈h,火箭從地心到地面經歷的時間比起火箭飛行的總時間來是非常小的，所以以上結果也非常近似于地面上發(fā)射火箭的情況．為了求出火箭在地面上發(fā)射的初速度v,將2a'=h代入式（4）,即得：v2=2k（1-）erh例3．軌道貼近地面的衛(wèi)星

一衛(wèi)星在恰繞地面的圓形軌道上運動．其水平初速度需要多大？此解可由式(4)直接求得v弋。其中r是地球半徑，ke可由月球的軌道參數(shù)求出.例4．逃逸速度假設沿著軌道切線速度方向突然給地球以推動力.證明只要速度增大為地球原速度的力2倍，地球就會脫離繞太陽的軌道。由式(4)知地球在其圓形軌道上的速度為：^k~V二s (13)r式中r是地球軌道的半徑.當?shù)厍蚴艿酵苿佣M入新的橢圓軌道時，其新的速度應為■21v='k(—- ) (14)sra式中a'是這個橢圓軌道的半長軸，設想這一新橢圓軌道逐漸擴展，離太陽越來越遠，因此在極限情況下，a'fg，由此即得逃逸速