1.5全稱量詞與存在量詞1.5.1全稱量詞與存在量詞1.全稱量詞與全稱量詞命題(1)全稱量詞:短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符號“?”表示.(2)全稱量詞命題:含有全稱量詞的命題,叫做全稱量詞命題.(3)符號表示:①將含有變量x的語句用p(x),q(x),r(x),…表示,變量x的取值范圍用M表示.②全稱量詞命題“對M中任意一個x,p(x)成立”可用符號簡記為:?x∈M,p(x).【思考】常見的全稱量詞還有哪些?提示:常見的全稱量詞還有“一切”“每一個”“任給”“凡是”等.2.存在量詞與存在量詞命題(1)存在量詞:短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞,并用符號“?”表示.(2)存在量詞命題:含有存在量詞的命題,叫做存在量詞命題.(3)符號表示:存在量詞命題“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符號簡記為:?x∈M,p(x).【思考】常見的存在量詞還有哪些?提示:常見的存在量詞還有“有些”“有一個”“對某些”等.【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)全稱量詞命題是陳述某集合中所有元素都具有某種性質(zhì)的命題. (

)(2)存在量詞命題是陳述某集合中存在一個或部分元素具有某種性質(zhì)的命題. (

)(3)全稱量詞命題一定含有全稱量詞. (

)提示:(1)√.全稱量詞命題中的全稱量詞表明給定范圍內(nèi)所有對象都具有某一性質(zhì),無一例外,強調(diào)“整體、全部”.(2)√.存在量詞命題中的存在量詞表明給定范圍內(nèi)的對象有例外,強調(diào)“個別、部分”.(3)×.有些命題雖然沒有寫出全稱量詞,但其意義具備“任意性”,這類命題也是全稱量詞命題,如“正數(shù)大于0”即“所有正數(shù)都大于0”,故說法是錯誤的.2.下列命題中是存在量詞命題的是 (

)A.?x∈R,x2≥0B.?x∈R,x2<0C.平行四邊形的對邊不平行D.矩形的任一組對邊都不相等【解析】選B.A、C、D是全稱量詞命題,B是存在量詞命題.3.下列命題中是全稱量詞命題并且是真命題的是 (

)A.每個二次函數(shù)的圖象都開口向上B.存在實數(shù)x,平方為8C.所有菱形的四條邊都相等D.存在一個實數(shù)x使不等式x2-3x+6<0成立【解析】選C.A是全稱量詞命題但是假命題,B、D是存在量詞命題,C是全稱量詞命題且是真命題.類型一全稱量詞命題與存在量詞命題的判斷【典例】1.下列命題中為全稱量詞命題的是 (

)A.有些實數(shù)沒有倒數(shù)B.矩形都有外接圓C.過直線外一點有一條直線和已知直線平行D.?x∈R,x2+x≤22.下列命題中為存在量詞命題的是 (

)A.存在實數(shù)x>1,使x2>1B.全等的三角形必相似C.相似三角形必全等D.?x∈N*,(x-2)2>03.判斷下列語句是全稱量詞命題,還是存在量詞命題. 世紀金榜導(dǎo)學(xué)號(1)有一個實數(shù)x,x不能取倒數(shù).(2)所有圓的圓心到其切線的距離都等于半徑.(3)圓內(nèi)接四邊形,其對角互補.(4)若一個四邊形是菱形,則這個四邊形的對角線互相垂直.【思維·引】1.先看是否有全稱量詞,當沒有時,要結(jié)合命題的具體意義進行判斷.2.根據(jù)是否有存在量詞進行判斷.3.有全稱量詞的是全稱量詞命題,有存在量詞的是存在量詞命題,當沒有時,要結(jié)合命題的具體意義進行判斷.【解析】1.選B.A、C、D是存在量詞命題,B可改寫為“所有矩形都有外接圓”,是全稱量詞命題.2.選A.A是存在量詞命題,B、C、D是全稱量詞命題.3.(1)含有存在量詞“有一個”,故為存在量詞命題.(2)含有全稱量詞“所有”,故為全稱量詞命題.(3)可改寫為“所有圓內(nèi)接四邊形的對角互補”,故為全稱量詞命題.(4)若一個四邊形是菱形,也就是所有的菱形,故為全稱量詞命題.【內(nèi)化·悟】通常什么情況下會省略量詞?提示:全稱量詞命題可能省略全稱量詞,存在量詞命題的存在量詞一般不能省略.【類題·通】判斷一個語句是全稱量詞命題還是存在量詞命題的思路【習(xí)練·破】判斷下列語句是全稱量詞命題,還是存在量詞命題.(1)對任意的n∈Z,2n+1是奇數(shù).(2)有些三角形不是等腰三角形.(3)有的實數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù).(4)所有的正方形都是矩形.【解析】(1)含有全稱量詞“任意”,故為全稱量詞命題.(2)含有存在量詞“有些”,故為存在量詞命題.(3)含有存在量詞“有的”,故為存在量詞命題.(4)含有全稱量詞“所有”,故為全稱量詞命題.【加練·固】判斷下列語句是全稱量詞命題,還是存在量詞命題:(1)?x∈R,x2+1≥1.(2)所有的正方形都是菱形.(3)有些整數(shù)只有兩個正因數(shù).(4)有一個實數(shù)x,使x2+2x+3=0.【解析】(1)含有全稱量詞“?”,故為全稱量詞命題.(2)含有全稱量詞“所有”,故為全稱量詞命題.(3)含有存在量詞“有些”,故為存在量詞命題.(4)含有存在量詞“有一個”,故為存在量詞命題.類型二全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷【典例】1.判斷下列全稱量詞命題的真假:(1)所有的有理數(shù)都有倒數(shù).(2)任何實數(shù)都有平方根.(3)?x∈R,使x2+x+1>0.(4)凸多邊形的外角和等于360°.2.判斷下列存在量詞命題的真假: 世紀金榜導(dǎo)學(xué)號(1)存在有理數(shù)x,使x2-2=0.(2)存在一個x∈R,使=0.(3)存在x∈Q,使2x-x3=0.(4)?x∈Z,使3x+4=5.【思維·引】1.若每個元素都滿足p(x),則是真命題;若存在一個元素不滿足p(x),則是假命題.2.若存在一個元素滿足p(x),則是真命題,否則是假命題.【解析】1.(1)0是有理數(shù),但是0沒有倒數(shù),所以此命題是假命題.(2)負數(shù)沒有平方根,所以此命題是假命題.(3)對于任意的x∈R,x2+x+1=>0恒成立,所以此命題是真命題.(4)凸多邊形的外角和等于360°是真命題.2.(1)方程x2-2=0無有理數(shù)根,所以該命題是假命題.(2)因為不存在x∈R,使=0成立,所以該命題是假命題.(3)有理數(shù)x=0是方程2x-x3=0的一個實數(shù)根,所以該命題是真命題.(4)由于3x+4=5成立時,x=?Z,因而不存在x∈Z,使3x+4=5,所以存在量詞命題“?x∈Z,使3x+4=5”是假命題.【內(nèi)化·悟】判斷全稱量詞命題真假時,真命題容易判斷還是假命題容易判斷?存在量詞命題呢?提示:判斷全稱量詞命題為假比判斷其為真容易,只需一個反例即可;判斷存在量詞命題為真比判斷其為假容易,只需一個特例即可.【類題·通】全稱量詞命題與存在量詞命題的真假判斷的技巧(1)全稱量詞命題的真假判斷.要判定一個全稱量詞命題是真命題,必須對限定集合M中的每個元素x驗證p(x)成立;但要判定全稱量詞命題是假命題,只要能舉出集合M中的一個x=x0,使得p(x0)不成立即可(這就是通常所說的“舉出一個反例”).(2)存在量詞命題的真假判斷.要判定一個存在量詞命題是真命題,只要在限定集合M中,找到一個x,使p(x)成立即可;否則,這一存在量詞命題就是假命題.

【習(xí)練·破】指出下列命題中,哪些是全稱量詞命題,哪些是存在量詞命題,并判斷真假.(1)在平面直角坐標系中,任意有序?qū)崝?shù)對(x,y)都對應(yīng)一點.(2)存在一個實數(shù),它的絕對值不是正數(shù).(3)?x,y∈Z,使3x-4y=20.(4)任何數(shù)的0次方都等于1.【解析】(1)全稱量詞命題.在平面直角坐標系中,任意有序?qū)崝?shù)對(x,y)與平面直角坐標系中的點是一一對應(yīng)的,所以該命題是真命題.(2)存在量詞命題.存在一個實數(shù)零,它的絕對值不是正數(shù),所以該命題是真命題.(3)存在量詞命題.取x=0,y=-5時,3×0-4×(-5)=20成立,所以該命題是真命題.(4)全稱量詞命題.0的0次方無意義,所以該命題是假命題.【加練·固】指出下列命題中,哪些是全稱量詞命題,哪些是存在量詞命題,并判斷真假.(1)?x∈Q,x2=3.(2)每一個三角形的內(nèi)角和都是180°.(3)鈍角三角形有的高在三角形外部.(4)對任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2<0.【解析】(1)存在量詞命題.由于使x2=3成立的實數(shù)只有±,且它們都不是有理數(shù),因此沒有任何一個有理數(shù)的平方能等于3,所以該命題是假命題.(2)全稱量詞命題.由三角形的內(nèi)角和定理可知,該命題是真命題.(3)存在量詞命題.鈍角三角形的高有可能在三角形外部,所以該命題是真命題.(4)全稱量詞命題.a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0,所以該命題是假命題.類型三全稱量詞命題與存在量詞命題的應(yīng)用【典例】1.已知命題p:“?x∈R,關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0有實數(shù)根”是真命題,則實數(shù)m的取值范圍是 (

)A.m<3 B.m>3C.m≤3 D.m≥32.已知命題p:“?x∈R,mx2≥0”是真命題,則實數(shù)m的取值范圍是__________. 世紀金榜導(dǎo)學(xué)號

【思維·引】1.由題意可知對應(yīng)的方程有實數(shù)解,即Δ≥0.2.根據(jù)x2≥0確定實數(shù)m的取值范圍.【解析】1.選C.因為關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0有實數(shù)根,所以Δ=(-2)2-4m≥0,所以m≤3.2.當x∈R時,x2≥0,若“?x∈R,mx2≥0”是真命題,有m≥0.答案:m≥0【素養(yǎng)·探】在與全稱量詞命題與存在量詞命題的應(yīng)用有關(guān)的問題中,經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的邏輯推理,通過研究全稱量詞命題和存在量詞命題的意義,推理得到字母的取值范圍.將本例1的方程改為“x2+2x+2=m”,求實數(shù)m的取值范圍.【解析】依題意,方程x2+2x+2-m=0有實數(shù)解,所以Δ=4-4(2-m)≥0,解得m≥1.【類題·通】利用含量詞的命題的真假求參數(shù)的取值范圍(1)含參數(shù)的全稱量詞命題為真時,常與不等式恒成立有關(guān),可根據(jù)有關(guān)代數(shù)恒等式(如x2≥0),確定參數(shù)的取值范圍.(2)含參數(shù)的存在量詞命題為真時,常轉(zhuǎn)化為方程或不等式有解問題來處理,可借助根的判別式等知識解決.

【習(xí)練·破】已