2.3.1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)第二章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.會用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2.會根據(jù)方程組解的個數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)課前篇自主預(yù)習(xí)[激趣誘思]由直線方程的概念,我們知道直線上的一點(diǎn)與二元一次方程的解的關(guān)系,那如果兩直線相交于一點(diǎn),這一點(diǎn)與這兩條直線的方程有何關(guān)系?[知識點(diǎn)撥]兩條直線的交點(diǎn)1.已知兩條直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0相交,設(shè)這兩條直線的交點(diǎn)為P,則點(diǎn)P既在直線l1上,也在直線l2上.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)既滿足直線l1的方程A1x+B1y+C1=0,也滿足直線l2的方程A2x+B2y+C2=0,即點(diǎn)P的坐標(biāo)是方程2.方程組

的解一組無數(shù)組無解直線l1和l2公共點(diǎn)的個數(shù)1無數(shù)0直線l1和l2的位置關(guān)系相交重合平行要點(diǎn)筆記如果兩條直線相交,則交點(diǎn)坐標(biāo)分別適合兩條直線的方程,即交點(diǎn)坐標(biāo)是兩條直線的方程所組成的方程組的解.微練習(xí)1直線x+y=5與直線x-y=3交點(diǎn)坐標(biāo)是(

)A.(1,2) B.(4,1)C.(3,2) D.(2,1)因此交點(diǎn)坐標(biāo)為(4,1).答案

B微練習(xí)2若直線ax+y-5=0與2x-by+3=0的交點(diǎn)是(1,3),則a+b=(

)答案

A課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一兩條直線的交點(diǎn)問題例1分別判斷下列直線是否相交,若相交,求出它們的交點(diǎn).(1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.思路分析直接將兩直線方程聯(lián)立,根據(jù)方程組解的個數(shù)判斷兩直線是否相交.要點(diǎn)筆記兩直線位置關(guān)系的判斷方法及應(yīng)用涉及兩直線交點(diǎn)的問題,通常是先求交點(diǎn)坐標(biāo),再進(jìn)一步解決問題.變式訓(xùn)練1已知直線5x+4y=2a+1與直線2x+3y=a的交點(diǎn)位于第四象限,則a的取值范圍是

.

探究二過兩直線交點(diǎn)的直線系方程例2(1)求經(jīng)過點(diǎn)P(1,0)和兩直線l1:x+2y-2=0,l2:3x-2y+2=0交點(diǎn)的直線方程.(2)無論實(shí)數(shù)a取何值,方程(a-1)x-y+2a-1=0表示的直線恒過定點(diǎn),試求該定點(diǎn).思路分析(1)設(shè)所求直線方程為x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0,再將x=1,y=0代入求出λ,即得所求直線方程.(2)將直線方程改寫為-x-y-1+a(x+2)=0.反思感悟

1.過兩條直線交點(diǎn)的直線的方程的求法(1)常規(guī)解法(方程組法):一般是先解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo),再結(jié)合其他條件寫出直線方程.(2)特殊解法(直線系法):先設(shè)出過兩直線交點(diǎn)的直線方程,再結(jié)合條件利用待定系數(shù)法求出參數(shù),最后確定直線方程.2.含有參數(shù)的直線恒過定點(diǎn)的問題(1)方法一:任給直線中的參數(shù)賦兩個不同的值,得到兩條不同的直線,然后驗(yàn)證這兩條直線的交點(diǎn)就是題目中含參數(shù)直線所過的定點(diǎn),從而問題得解.(2)方法二:若能整理為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0,其中λ是參數(shù),這就說明了它表示的直線必過定點(diǎn),其定點(diǎn)可由方程組

解得.若整理成y-y0=k(x-x0)的形式,則表示的直線必過定點(diǎn)(x0,y0).變式訓(xùn)練2已知直線l經(jīng)過原點(diǎn),且經(jīng)過另兩條直線2x+3y+8=0,x-y-1=0的交點(diǎn),則直線l的方程為(

)A.2x+y=0 B.2x-y=0C.x+2y=0 D.x-2y=0(方法2)設(shè)直線l的方程為2x+3y+8+λ(x-y-1)=0,因其過原點(diǎn),所以8+(-λ)=0,λ=8,直線l的方程為2x-y=0.答案

B探究三對稱問題例3光線通過點(diǎn)A(2,3)在直線l:x+y+1=0上反射,反射光線經(jīng)過點(diǎn)B(1,1),試求入射光線和反射光線所在直線的方程.思路分析求點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A'→求反射光線所在直線的方程→求入射光線與反射光線的交點(diǎn)坐標(biāo)→求入射光線所在的直線方程要點(diǎn)筆記點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的求法點(diǎn)P(x,y)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對稱點(diǎn)P0(x0,y0),滿足關(guān)系

解方程組可得點(diǎn)P0的坐標(biāo).變式訓(xùn)練3直線y=2x是△ABC的一個內(nèi)角平分線所在的直線,若A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-4,2),B(3,1),求點(diǎn)C的坐標(biāo).

素養(yǎng)形成一題多解——求直線的方程典例過點(diǎn)P(3,0)作一直線分別交直線2x-y-2=0和x+y+3=0于點(diǎn)A,B,且點(diǎn)P恰好為線段AB的中點(diǎn),求此直線的方程.思路分析分析一:設(shè)出直線的方程,求出交點(diǎn)的坐標(biāo),再用中點(diǎn)坐標(biāo)公式.分析二:設(shè)出A(x1,y1),由P(3,0)為AB的中點(diǎn),易求出點(diǎn)B的坐標(biāo),而點(diǎn)B在另一直線上,從而求出x1,y1的值,再由兩點(diǎn)式求直線的方程.分析三:由于P(3,0)為線段AB的中點(diǎn),可對稱地將A,B坐標(biāo)設(shè)為(3+a,b),(3-a,-b),代入已知方程.【規(guī)范答題】

(方法2)設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1),則由P(3,0)為線段AB的中點(diǎn),得B點(diǎn)坐標(biāo)為(6-x1,-y1).∵點(diǎn)A,B分別在已知兩直線上,(方法3)∵P(3,0)為線段AB的中點(diǎn),∴可設(shè)A(3+a,b),B(3-a,-b).∵點(diǎn)A,B分別在已知直線上,點(diǎn)評方法3這種對稱的設(shè)法需要在平常學(xué)習(xí)中加以積累,以上三種方法各有特點(diǎn),要善于總結(jié),學(xué)習(xí)其簡捷解法,以提高解題速度.

當(dāng)堂檢測2.直線2x+3y-k=0和直線x-ky+12=0的交點(diǎn)在x軸上,則k的值為(

)A.-24 B.24 C.6 D.±6解析

∵直線2x+3y-k=0和直線x-ky+12=0的交點(diǎn)在x軸上,可設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為答案

A3.已知直線l1:ax+y-6=0與l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于點(diǎn)P,若l1⊥l2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

.

解析

∵直線l1:ax+y-6=0與l2:x+(a-2)y+a-1=0相交于點(diǎn)P,且l1⊥l2,∴a×1+1×(a-2)=0,解得a=1,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3).答案

(3,3)4.求證:不論m為何值,直線(