一階線性非齊次方程解法推倒_第1頁(yè)
一階線性非齊次方程解法推倒_第2頁(yè)
一階線性非齊次方程解法推倒_第3頁(yè)
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一階線性非齊次微分方程一、線性方程方程dy+P(?)y=Q(χ)dx 1叫做一階線性微分方程(因?yàn)樗鼘?duì)于未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)均為一次的)。如果Q(X)三0，則方程稱為齊次的；如果Q(x)不恒等于零，則方程稱為非齊次的。a)首先，我們討論1式所對(duì)應(yīng)的齊次方程dy+P(χ)y=0dx的通解問(wèn)題。分離變量得兩邊積分得或2y==-P(X)dxylny=-JP(X)dX+lncy=c.e-JP(X)dx其次，我們使用所謂的常數(shù)變易法來(lái)求非齊次線性方程1的通解。將1的通解中的常數(shù)C換成的未知函數(shù)U(X),即作變換兩邊乘以得P(X).y=uP(X)e-JP(X)dXy==ufe-JP(X)dx-uP(X)e-JP(X)dx兩邊求導(dǎo)得dX代入方程1得U'eTP(x)dx=Q(X) U'=Q(X)eJP(X)dx，于是得到非齊次線性方程1的通解將它寫(xiě)成兩項(xiàng)之和不難發(fā)現(xiàn)：第一項(xiàng)是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程2的通解；第二項(xiàng)是非齊次線性方程1的一個(gè)特解。由此得到一階線性非齊次方程的通解之結(jié)構(gòu)?！纠?】求方程的通解。3y=e」-X^iddx?[c+J(x+1)2e?-XTidxdx]解：由此例的求解可知，若能確定一個(gè)方程為一階線性非齊次方程，求解它只需套用公式。二、貝努利方程方程叫做貝努利方程。當(dāng)n=0時(shí)，它是一階線性非齊次微分方程當(dāng)n=1時(shí)，它是一階線性齊次微分方程當(dāng)n牛0,1時(shí)，它是一階非線性的微分方程，通過(guò)變量代換可化歸為一階線性微分方程。具體解法如下：1—n—Γ7 r7令）一Z，方程化為關(guān)于Z的一階線性非齊次微分方程dyy—+_=a(lnχ)y【例2】求貝努利dχχ2的通解。1dy1?一十—=a?

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