第一章概率與隨機變量常見分布第1頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機變量X的分布函數(shù)為第2頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月1)一維高斯分布高斯變量X的概率密度為：二、高斯分布第3頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月概率分布函數(shù)第4頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的高斯變量X，其特征函數(shù)為第5頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

服從的高斯變量Y，其特征函數(shù)為第6頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）已知X為高斯變量，則Y=aX+b（a,b為常數(shù)）也為高斯變量，且特點：第7頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

（2）高斯變量之和仍為高斯變量。例：求兩個數(shù)學(xué)期望和方差不同且互相獨立的高斯變量X1,X2之和的概率密度。第8頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

推廣到多個互相獨立的高斯變量，其和也是高斯分布。即

若Xi服從，則其和的數(shù)學(xué)期望和方差分別為第9頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

若有大量相互獨立的隨機變量的和其中每個隨機變量Xi對總的變量Y的影響足夠小時，則在一定條件下，當(dāng)時，隨機變量Y是服從正態(tài)分布的，而與每個隨機變量的分布律無關(guān)。（3）中心極限定理第10頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

結(jié)論：任何物理過程，如果它為許多獨立作用之和，那么這個過程就趨于高斯分布。第11頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月2）二維高斯分布設(shè)X是均值為，方差為的正態(tài)隨機變量，Y是均值為，方差為的正態(tài)隨機變量，且X,Y的相關(guān)系數(shù)為，則二維隨機變量(X,Y)為一個二維正態(tài)隨機變量，其聯(lián)合概率密度函數(shù)為第12頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月從以上可以看出，對于高斯變量來說，統(tǒng)計獨立與線性不相關(guān)是等價的。第13頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月三.分布1)中心分布若n個互相獨立的高斯變量X1,X2,…,Xn的數(shù)學(xué)期望都為零，方差為1，它們的平方和的分布是具有n個自由度的分布。第14頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月其概率密度為第15頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

當(dāng)互相獨立的高斯變量Xi的方差不是1，而是時，Y的概率密度為第16頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

性質(zhì)： 兩個互相獨立的具有分布的隨機變量之和仍為分布，若它們的自由度分別為n1和n2，其和的自由度為n=n1+n2。第17頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月2)非中心分布若互相獨立的高斯變量Xi(I=1,2,…,n)的方差為，數(shù)學(xué)期望為，則為n個自由度的非中心分布。第18頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月其概率密度為稱為非中心分布參量

第19頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

性質(zhì)：兩個相互獨立的非中心分布的隨機變量之和仍為非中心分布，若它們的自由度為n1和n2，非中心分布參量分別為和，其和的自由度為n=n1+n2，非中心分布參量為第20頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月四.瑞利分布和萊斯分布1)瑞利分布對于兩個自由度的分布，即Xi(I=1,2)是數(shù)學(xué)期望為零，方差為且相互獨立的高斯變量，則為瑞利分布。第21頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月R的概率密度為第22頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

對n個自由度的分布，若令則R為廣義瑞利分布第23頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月2)萊斯分布當(dāng)高斯變量Xi(I=1,2,…,n)的數(shù)學(xué)期望為不