考點35空間直線、平面的平行12種常見考法歸類考點一線面平行的判斷考點二直線與平面平行的證明利用三角形的中位線證明線面平行（二）構(gòu)造平行四邊形證明線面平行（三）利用對應(yīng)線段成比例證明線面平行（四）利用線面平行的性質(zhì)證明線面平行（五）通過面面平行證線面平行（六）利用空間向量法證線面平行考點三直線與平面平行的探索性問題考點四利用線面平行的性質(zhì)證線線平行考點五由線面平行的性質(zhì)判斷線段比例或點所在的位置考點六由線面平行求線段長度考點七面面平行的判斷考點八平面與平面平行的證明（一）利用面面平行的判定證明面面平行（二）利用空間向量法證明面面平行考點九平面與平面平行的探索性問題考點十利用面面平行證線線平行或線面平行考點十一平行關(guān)系的綜合應(yīng)用考點十二翻折類問題1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,b?α,a∥b))?a∥α性質(zhì)定理一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α,l?β,α∩β＝b))?l∥b2．線面平行的判定定理必須具備三個條件(1)直線a在平面α外，即a?α；(2)直線b在平面α內(nèi)，即b?α；(3)兩直線a，b平行，即a∥b，這三個條件缺一不可．3．應(yīng)用判定定理證明線面平行的步驟上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有：①空間直線平行關(guān)系的傳遞性法；②三角形中位線法；③平行四邊形法；④線段成比例法．提醒：線面平行判定定理應(yīng)用的誤區(qū)(1)條件羅列不全，最易忘記的條件是“直線在平面外”．(2)不能利用題目條件順利地找到兩平行直線．4．線面平行的證明方法（1）定義法：一般用反證法；（2）判定定理法：關(guān)鍵是在平面內(nèi)找（或作）一條直線與已知直線平行，證明時注意用符號語言敘述證明過程；（3）性質(zhì)判定法：即兩平面平行時，其中一個平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個平面.5．線面平行性質(zhì)的應(yīng)用證明線線平行，常常將線面平行轉(zhuǎn)化為該線與過該線的一個平面和已知平面的交線平行.在應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理進行平行轉(zhuǎn)化時，一定注意定理成立的條件，通常應(yīng)嚴格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟，如：把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時，必須說清經(jīng)過已知直線的平面和已知平面相交，這時才有直線與交線平行．利用面面平行的性質(zhì)證明直線與平面平行關(guān)鍵是構(gòu)造過該直線與所證平面平行的平面，這種方法往往借助于比例線段或平行四邊形．7．證明方法“一找二作三證明”“一找二作三證明”是證明線面平行的常用方法，此證明方法分為三步，具體的操作流程如下：第一步，就是“一找”：根據(jù)直線與平面平行的判定定理，要證明線面平行，只需要在這個平面內(nèi)“找”出一條直線與已知直線平行即可.其次是“一找”的原則：一是要“找”的是線線平行，二是要在一個平面圖形中“找”.第二步，就是“二作”：在分析題意之后，若不能直接“找”到所需要證明的線線平行的關(guān)系，則進入“二作”的程序.從三個方面去理解"二作"，第一方面"作"就是作輔助線或輔助平面，有簡單的“作”或復(fù)雜的“作”；第二方面，每一次"作"的時候都要圍繞證明所需去"作"，要證平行關(guān)系就去“作”線線平行；第三方面，要把線線平行的關(guān)系“作”在一個平面圖形中.第三步，就是"三證明"：經(jīng)過第一或第二步的操作之后，再按照分析的思路，快速而且規(guī)范地寫出證明命題的整體過程.在"三證明"中要注意三點，第一，數(shù)學(xué)符號要標準，幾何語言表述要規(guī)范；第二，書寫要有層次性；第三，最后表述證明結(jié)果時要嚴格遵守判定定理的條件.8．線線平行的常見找法依據(jù)：（1）構(gòu)造三角形的中位線證明線面平行，通常需運用線面平行的判定定理：若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.那么在證明線面平行時，需找到一組平行線，使得其中一條直線在平面外，另一條直線在平面內(nèi).若已知一條線段的中點，且平面內(nèi)或外的一條直線為三角形的底邊，則可過三角形的中點作三角形的中位線，那么就可以根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)：中位線平行且等于底邊的一半，來證明線面平行.在構(gòu)造三角形的中位線時，要注意關(guān)注中點、線段的垂直平分線、三角形的重心等信息，結(jié)合圖形的特征尋找中位線。（2）構(gòu)造平行四邊形我們知道，平行四邊形的對邊平行且相等.在證明線面平行時，可根據(jù)圖形的特點，找到一組對邊平行且相等的線段，分別將這四點連接，便可構(gòu)造出平行四邊形，使另一組對邊分別為平面內(nèi)外的一條直線，即可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和線面平行的判定定理證明線面平行.通過直觀觀察，若平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線長度相等，一般猜想構(gòu)造平行四邊形，這時利用平行四邊形對邊平行得出線線平行，進而得到線面平行。（3）利用相似比尋找線平行如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊，這也是得到線面平行的一種有力工具。題目中出現(xiàn)比值關(guān)系時，可考慮利用比值關(guān)系，尋找線線平行，進而得到線面平行。（4）利用直線與平面平行的性質(zhì)定理尋找線線平行利用直線與平面平行的性質(zhì)定理得到直線與直線平行，進而得到直線與平面平行。先證明線面平行（或題目已知線面平行），再利用線面平行的性質(zhì)定理，得到線線平行，進而得到線面平行。（5）構(gòu)造平行平面面面平行的性質(zhì)有很多，常見的有：（1）若兩個平面平行，則在一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面；（2）若兩個平行平面同時和第三個平面相交，則它們的交線平行.在證明線面平行時，只要證明直線所在的平面和平面平行，那么就可以根據(jù)面面平行的性質(zhì)，證明直線和平面平行.當(dāng)構(gòu)造三角形和平行四邊形困難時，可以考慮構(gòu)造平行平面.若要證明平面，只需構(gòu)造一個平面//平面，且，那么根據(jù)平行平面的性質(zhì)，即可證明平面.在構(gòu)造平行平面時，可在平面內(nèi)作一條直線，使其平行于.也可直接根據(jù)正方體、長方體、直棱柱的性質(zhì)構(gòu)造平行平面.（6）利用線面垂直的性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行.（7）平行線的傳遞性平行于同一條直線的兩條直線平行.9．尋找線線平行技巧：（1）初學(xué)者可以拿一把直尺放在位置（與平齊），如圖一；（2）然后把直尺平行往平面方向移動，直到直尺第一次落在平面內(nèi)停止，如圖二；（3）此時剛好經(jīng)過點（這里熟練后可以直接憑數(shù)感直接找到點），此時直尺所在的位置就是我們要找的平行線，直尺與相交于點，連接，如圖三；（4）此時長度有長有短，連接并延長剛好交于一點，剛好構(gòu)成型模型（為中點，則也為中點，若為等分點，則也為對應(yīng)等分點），，如圖四．圖一 圖二 圖三 圖四10．面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,b∥β,a∩b＝P,a?α,b?α))?α∥β性質(zhì)定理兩個平面平行如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥b11．平面與平面平行其他常用判定、性質(zhì)(1)如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個平面平行.(2)平行于同一個平面的兩個平面平行.(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行.(4)如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面.(5)如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面.(6)夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等．(7)兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例．(8)同一條直線與兩個平行平面所成的角相等.12．證明面面平行的常用方法（1）利用面面平行的定義，此法一般與反證法結(jié)合（2）利用面面平行的判定定理；（3）利用垂直于同一條直線的兩個平面平行（l⊥α，l⊥β?α∥β）；（4）利用面面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行（α∥β，β∥γ?α∥γ）.13．面面平行條件的應(yīng)用(1)兩平面平行，分別構(gòu)造與之相交的第三個平面，交線平行；(2)兩平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線與另一個平面平行．注：利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說明是在一個平面內(nèi)的兩條直線是相交直線.14．線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)換如圖所示．性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)判定判定判定線∥面線∥線面∥面15．空間位置平行關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝kn2（k∈R）直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?n·m＝0平面α，β的法向量分別為n，mα∥βn∥m?n＝km（k∈R）考點一線面平行的判斷1．（2023·全國·高三對口高考）如果平面外有兩點A、B，它們到平面的距離都是a，則直線和平面的位置關(guān)系是_________．【答案】平行或相交【分析】若在平面的同側(cè)，可判斷直線和平面平行；若在平面的兩側(cè)，可判斷直線和平面相交；【詳解】若在平面的同側(cè)，因為平面外有兩點到平面的距離相等，所以直線和平面平行；若在平面的兩側(cè)，因為平面外有兩點到平面的距離相等，所以直線和平面相交；綜上所述:直線和平面的位置關(guān)系一定是平行或相交故答案為：平行或相交.2．（2023·全國·高三對口高考）過直線l外兩點作與l平行的平面，那么這樣的平面（

）A．不存在 B．只有一個 C．有無數(shù)個 D．不能確定【答案】D【分析】根據(jù)兩點所在的直線與已知直線的位置關(guān)系分類分析即可得結(jié)論.【詳解】過直線l外兩點作與l平行的平面，如果兩點所在的直線與已知直線相交,則這樣的平面不存在;如果兩點所在的直線與已知直線平行,則這樣的平面有無數(shù)個;如果兩點所在的直線與已知直線異面,則這樣的平面只有一個.因此只有D正確.故選：D.3．（2023·北京·101中學(xué)?？既＃┮阎莾蓷l不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)空間中線面、面面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理分析判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】由是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，若，則與可能相交、平行或，A錯；若，則或，B錯；若，則或相交，C錯；若，則確定一個平面，設(shè)為，又，所以，則由面面平行的判定定理得，D正確.故選：D4．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測）已知三條不同的直線和兩個不同的平面，下列四個命題中正確的為（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】求得位置關(guān)系判斷選項A；求得位置關(guān)系判斷選項B；求得位置關(guān)系判斷選項C，D.【詳解】選項A：若，則或異面或相交.判斷錯誤；選項B：若，則或.判斷錯誤；選項C：若，則或相交.判斷錯誤；選項D：若，則必有，又，則，則.判斷正確.故選：D5．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，點A，B，C，M，N為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線平面ABC的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】結(jié)合線面的位置關(guān)系以及線面平行的判定定理、面面平行的性質(zhì)可確定正確選項.【詳解】對于A，由正方體的性質(zhì)可得，平面ABC，平面ABC，所以直線平面ABC，能滿足；

對于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方體的性質(zhì)可得，平面ABC，平面ABC，所以直線平面ABC，能滿足；

對于C，作出完整的截面ABCD，由正方體的性質(zhì)可得，平面ABC，平面ABC，所以直線平面ABC，能滿足；

對于D，作出完整的截面，如下圖ABNMHC，可得MN在平面ABC內(nèi)，不能得出平行，不能滿足.

故選：D.6．（2023·上海長寧·上海市延安中學(xué)?？既＃┤鐖D所示，在正方體中，是棱上一點，若平面與棱交于點，則下列說法中正確的是（

）A．存在平面與直線垂直B．四邊形可能是正方形C．不存在平面與直線平行D．任意平面與平面垂直【答案】D【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷A，根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到四邊形是平行四邊形，再由，即可判斷B，當(dāng)為的中點時為的中點，即可判斷C，建立空間直角坐標系，利用向量法說明D.【詳解】對于A：在正方體中平面，顯然平面與平面不平行，故直線不可能垂直平面，故A錯誤；對于B：在正方體中，是棱上一點，平面與棱交于點，由平面平面，并且四點共面，平面平面，平面平面，∴，同理可證，故四邊形是平行四邊形，在正方體中，由幾何知識得，平面，∵平面，∴，若是正方形，有，此時與重合時，但顯然四邊形不是正方形，故B錯誤；對于C：當(dāng)為的中點時，為的中點，所以且，所以為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，故C錯誤；對于D：設(shè)正方體邊長為2，建立空間直角坐標系如下圖所示，

由幾何知識得，,∴,∵，∴，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴任意平面與平面垂直，故D正確.故選：D考點二直線與平面平行的證明（一）利用三角形的中位線證明線面平行7．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在如圖所示的三棱錐中，已知，為的中點，為的中點，為的中點.(1)證明：平面.(2)求平面與平面所成銳角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理可證結(jié)論正確；（2）以為坐標原點，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，利用平面的法向量可求出結(jié)果.【詳解】（1）證明：因為是的中位線，所以.因為平面平面，所以平面.（2）以為坐標原點，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，則點，，，，，.設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得，，則.設(shè)平面的法向量為，因為，所以，得，取，得，則，所以，所以平面與平面所成銳角的余弦值為.8．（2023·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)?？级＃┤鐖D，在三棱柱中，平面，，，，點D是棱的中點．(1)求證：∥平面；(2)在棱上是否存在點M，使得直線與平面所成角的余弦值為，若存在，求出與長度的比值，若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在；【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理分析證明；（2）建系，利用空間向量求線面夾角.【詳解】（1）連接交于點O，由于四邊形為矩形，所以O(shè)為的中點，又D是棱的中點，故在中，是的中位線，因此//，平面，平面，所以//平面（2）由平面，可知，三棱柱為直三棱柱，且底面為直角三角形，故以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系；則，，，，，由，得，，，設(shè)平面的法向量為，則取，則，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，可得，因為，整理得，解得或，由于，所以，所以棱上存在點M，使得直線與平面所成角的余弦值為，此時.9．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）如圖，四棱錐的底面為正方形，，E為PB的中點，已知，.

(1)證明：平面；(2)求點C到平面的距離；(3)若平面平面，求直線EC與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）利用三角形的中位線得到線線平行，再通過線面平行的判定定理即可得證；（2）利用等體積法轉(zhuǎn)化即可求解；（3）通過面面垂直性質(zhì)定理，得出線面垂直，進而建立空間直角坐標系，利用線面角正弦的向量計算方法即可求解.【詳解】（1）連接，交于，連接，由條件得為的中點，因為E為PB的中點，所以是的中位線，所以，因為平面，平面，所以平面；

（2）設(shè)點到平面的距離為，因為E為PB的中點，所以到平面的距離等于到平面的距離等于倍，因為，得，由，可得，因為，，所以，故點C到平面的距離為；（3）作，交于，因為，則為的中點，因為平面平面，平面平面，則平面，過作，交于，則，以為坐標原點，、、分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，因為，平面平面，平面平面，所以平面，所以即為到平面的距離，由小問2可知點C到平面的距離為，即，從而正方形邊長為2，故，因為，所以，所以，，，，，則，，;設(shè)平面的法向量為，由，，得，取，即，設(shè)直線EC與平面所成角為，則，所以直線EC與平面所成角的正弦值為.

10．（2023·上海普陀·曹楊二中校考三模）如圖，在四棱錐中，正方形的邊長為2，平面平面，且，，點分別是線段的中點.

(1)求證：直線平面；(2)求直線與平面所成角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接可得為的中位線，再利用線面平行的判定定理即可得出證明；（2）利用四棱錐的結(jié)構(gòu)特征以及線面垂直的判定定理，建立以為坐標原點的空間直角坐標系，利用空間向量和線面角的位置關(guān)系，即可求得直線與平面所成角的大小為.【詳解】（1）根據(jù)題意可知，連接，則交與；如下圖所示：

在中，為的中點，又點是線段的中點，所以，又平面，平面，所以直線平面；（2）由平面平面，且平面平面，又四邊形是正方形，所以，又平面，所以平面；過點作直線平行于，又，所以以為坐標原點，分別以直線，直線，直線為軸建立空間直角坐標系；如下圖所示：

由正方形的邊長為2，，可得，；所以；；又點分別是線段的中點，所以；即；設(shè)平面的一個法向量為；所以，可得，令，解得；即設(shè)直線與平面所成的角為，則，解得；所以直線與平面所成角的大小為.11．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在多面體中，四邊形是邊長為4的正方形，，△ABC是正三角形．

(1)若為AB的中點，求證：直線平面；(2)若點在棱上且，求點C到平面的距離．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理分析證明；（2）根據(jù)題意可證平面，平面，建系，利用空間向量求點到面的距離.【詳解】（1）連接，設(shè)，由題意可得為的中點，連接，因為分別為的中點，則//，平面，平面，所以直線平面.

（2）由題意可得：，，平面，所以平面，取的中點，連接，因為△ABC是正三角形，則，又因為平面，平面，則，，平面，所以平面，如圖，以為坐標原點，為軸，軸，建立空間直角坐標系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，即，所以點C到平面的距離.

（二）構(gòu)造平行四邊形證明線面平行12．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，平面，，.

(1)若為的中點，求證：平面；(2)若多面體的體積為32，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】（1）由線面平行的判定定理證明即可；（2）多面體ABCDEF的體積等于，分別求出代入化簡即可得出答案.【詳解】（1）證明：連接.因為為的中點，，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以.因為平面，平面，所以平面.

（2）解：因為四邊形ABCD是正方形，AE⊥平面ABCD，所以AB，AD，AE兩兩垂直，

連接AC，多面體ABCDEF的體積等于.因為AB=AE=2CF=2m，所以四棱錐B-ACFE和四棱錐D-ACFE的高都為，四邊形（直角梯形）ACFE的面積為，所以多面體ABCDEF的體積等于，因為多面體ABCDEF的體積為32，所以4m3=32，解得m=2.13．（2023·全國·高三對口高考）如圖，四棱錐的底面是矩形，平面，E、F分別是、的中點，又二面角大小為.(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)設(shè)，求點A到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)1【分析】（1）取PC的中點G，連接EG、FG，借助中位線定理和平行四邊形的判定和性質(zhì)易得AFGE，即可證明；（2）要證平面PEC⊥平面PCD，只需證EG⊥平面PCD，又AFEG，易知AF⊥平面PCD；（3）由（1）（2）知AF平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，過F作FH⊥PC交PC于H，則FH⊥平面PEC，F(xiàn)H的長度為F到平面PEC的距離.【詳解】（1）取PC的中點G，連接EG、FG，因為F為PD的中點，所以GFCD，GFCD，因為CDAB，CDAB，又E為AB的中點，所以AEGF，AEGF，所以四邊形AEGF為平行四邊形，所以AFGE，且平面PEC，因此AF平面PEC.（2）因為PA平面ABCD，平面ABCD，所以PACD，因為，，平面PAD，平面PAD，所以CD平面PAD，平面PAD，平面PAD，所以CDAF，CDPD，所以二面角的平面角為，則，又且F為斜邊PD的中點，所以，又，平面PCD，平面PCD，所以AF⊥平面PCD，由（1）知AFGE，所以EG⊥平面PCD.因為EG平面PEC，所以平面PEC⊥平面PCD.（3）由（2）知平面PCD⊥平面PEC，過F作FH⊥PC交PC于H，因為平面PCD平面PECPC，平面PCD，則FH⊥平面PEC，所以FH的長度為F到平面PEC的距離，由（1）知AF平面PEC，所以FH的長度點A到平面PEC的距離，在與中，為公共角，，所以∽，所以，因為，，所以，所以點A到平面的距離為1.14．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點分別為，點在上，．(1)求證：//平面；(2)若，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.（2）作出并證明為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.【詳解】（1）連接，設(shè)，則，，，則，解得，則為的中點，由分別為的中點，于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.（2）過作垂直的延長線交于點，因為是中點，所以，在中，，所以，因為，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，即三棱錐的高為，因為，所以，所以，又，所以.15．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面是梯形，，，，為等邊三角形，為棱的中點.

(1)證明：平面；(2)當(dāng)=時，求證：平面⊥平面，并求點與到平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析，距離為【分析】（1）利用線面平行判定定理即可證得平面；（2）利用面面垂直判定定理即可證得平面⊥平面；利用三棱錐等體積法即可求得點與到平面的距離.【詳解】（1）取線段的中點,連接,則為的中位線,∴由題知,∴,∴四邊形為平行四邊形.∴又∵平面,平面,∴平面（2）在中，∵,∴.又∵,平面∴平面，平面，∴平面平面，∵為的中點，∴到平面的距離等于點到平面的距離的一半.∵平面，∴平面∴.∴取中點，連接，又為等邊三角形，則.∵平面平面，∴平面，設(shè)點到平面的距離為.由，得，解得.∴點到平面的距離為

16．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，，，點為的中點．(1)求證：平面；(2)若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點，連接．先證明，再證明平面．（2）利用向量的方法求直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（1）取中點，連接．因為點為的中點，所以且，又因為且，所以且，所以四邊形為平行四邊形．所以．又平面平面，所以平面．（2）在平面中，過作，在平面中，過作．因為平面平面，平面平面，平面所以平面．所以，所以兩兩互相垂直．以為原點，向量的方向分別為軸?軸?軸的正方向建立空間直角坐標系（如圖），則，所以，設(shè)是平面的一個法向量，則即取，得．設(shè)直線與平面所成角為．則，所以直線與平面所成角的正弦值為．17．（2023·安徽安慶·安慶一中?？既＃┤鐖D,四棱錐中,底面為的中點.

(1)若點在上,,證明:平面;(2)若,求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點,連接,根據(jù)已知條件證明四邊形是平行四邊形,即可證明;（2）取中點,根據(jù)條件可以證明,所以所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標系,分別求出平面的法向量和平面的法向量,再利用公式求解即可.【詳解】（1）如圖所示:

取中點,連接,因為,所以,又,所以,因為,所以,又因為為的中點,所以且,即有且,所以四邊形是平行四邊形,所以,又因為平面平面，所以平面.（2）連接,因為,所以為等腰三角形,取中點,連接,則有,又因為,所以,又因為底面,如圖,以所在直線分別為軸,軸,軸建立空間坐標系,

因為,則有,所以,設(shè)平面的法向量為,則有,則,因為底面,取平面的法向量,設(shè)二面角的大小為為鈍角,則有,即二面角的余弦值為.18．（2023·江西南昌·統(tǒng)考三模）如圖，在多面體中，四邊形與均為直角梯形，，平面，，，G在上，且．(1)求證：平面；(2)若與所成的角為，求多面體的體積．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）延長交于點M，連接，根據(jù)已知求得，易證為平行四邊形，有，則為平行四邊形，即，最后應(yīng)用線面平行的判定證結(jié)論；（2）取的中點N，可得，在平面內(nèi)，過G作FB的平行線交AB于P，得，證明為的中位線，由棱臺結(jié)構(gòu)特征確定為棱臺，最后應(yīng)用棱錐體積公式求體積.【詳解】（1）延長交于點M，連接，則在面內(nèi)，由，則，又，所以，可得，由，G在上且，故為平行四邊形，則，且，又共線，所以，且，故為平行四邊形，則，由平面，平面，所以平面．（2）取的中點N，則，且，所以為平行四邊形，則，在平面內(nèi)，過G作FB的平行線交AB于P，所以與所成的角，即為與所成角，則，平面，平面，則，而，設(shè)，則△中，，，則為等邊三角形，故，即，所以在中，P為的中點，且，故為的中位線，所以，易知多面體為棱臺，且，且，體積．19．（2023·上海奉賢·?？寄M預(yù)測）如圖，將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折疊，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且.(1)求證：直線EC與平面ABD沒有公共點；(2)求點C到平面BED的距離.【答案】(1)證明見解析(2)1【分析】（1）取的中點，連接、，證明平面即可得解；（2）在三棱錐中，利用等體積法即可求出點到平面的距離.【詳解】（1）取的中點，連接、，如圖，依題意，在中，，則，而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，且，因為平面，且，則有，且，從而得四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，則平面，所以直線EC與平面ABD沒有公共點；（2）因為平面，平面，所以，因為，，平面所以平面因為，于是得平面，因為平面，平面，所以，因為，所以，則等腰底邊上的高，，而，設(shè)點C到平面BED的距離為d，由得，即，解得，所以點C到平面BED的距離為1（三）利用對應(yīng)線段成比例證明線面平行20．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在四棱錐中，平面，四邊形為矩形，為棱的中點，與交于點為的重心.

(1)求證：平面；(2)已知，，若與平面所成角的正切值為，求到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用相似證明線線平行，再利用線面平行判定定理證明線面平行；（2）利用線面角的正切值求出，利用已知條件求出與的關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）證明：延長交于點，連接，則為的中點，

因為為的中點，所以，又，所以與相似，所以，因為為的重心，所以，所以，所以與相似，所以，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：連接，則，因為平面，且，平面，所以，，所以，;又，，平面，所以平面.連接，則為與平面所成的角，且，因為，，四邊形是矩形，易求，又與平面所成角的正切值為，因為，所以,所以，設(shè)到平面的距離為，則,由條件知，所以，所以，即點到平面的距離為.21．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為矩形，為棱的中點，與交于點為的重心.

(1)求證：平面；(2)已知，若到平面的距離為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線線平行和線面平行的證法和線面平行的判定即可求解；（2）根據(jù)二面角的法向量求法即可求解.【詳解】（1）證明：延長交于點，連接，則為的中點，因為為的中點，所以，又，所以，因為為的重心，所以，所以，所以，又平面平面，所以平面.（2）由題意易知兩兩垂直，故以為坐標原點，以直線，分別為軸，軸，軸建立如圖所示坐標系，

設(shè)，則，所以因為，所以.設(shè)平面的一個法向量，則即令，解得，所以，因為到平面的距離為，所以，解得，所以.設(shè)平面的一個法向量，則即令，解得，所以，.設(shè)平面與平面所成的銳二面角大小為，則，即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.22．（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，，，分別為棱的中點，為線段的中點．(1)證明：平面．(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）連接，利用平行線分線段成比例定理，及線面平行的判斷定理推理作答.（2）由已知證明平面，再建立空間直角坐標系，利用空間向量求解作答.【詳解】（1）在三棱柱中，連接，交于點，連接，如圖，四邊形為平行四邊形，有，而為的中點，則，由，得，又分別為的中點，即有，因此，則，而平面平面，所以平面．（2）因為，則是菱形，又，即，是正三角形，則，矩形中，，而，平面，于是平面，令，過作，則平面，以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，設(shè)平面和平面的法向量分別為，，則，令，得，，令，得，，令二面角的大小為，則，于是，所以二面角的正弦值為．23．（2023·四川內(nèi)江·校考模擬預(yù)測）在直角梯形中，，，，直角梯形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周得到如下圖的圓臺，已知點分別在線段上，二面角的大小為．

(1)若，，，證明：平面；(2)若，點為上的動點，點為的中點，求與平面所成最大角的正切值，并求此時二面角的余弦值．【答案】(1)證明見詳解(2)，【分析】（1）構(gòu)造面面平行來推線面平行，作QE∥AB交AC于E，連接PE即證面PEQ∥面AB1即可；（2）建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量求出與平面所成最大角時的P點位置，求其正切，再求二面角即可.【詳解】（1）

如圖所示，過Q作QE∥AB交AC于E，連接PE，過C1作C1F∥A1A，交AC于F，∵，結(jié)合圓臺的特征知，又∵，解三角形得，故，即，∵，由題意易知四邊形為直角梯形，∴，，故，∵面，面，∴QE∥面，同理PE∥面，又面PQE，∴面∥面，面，∴平面，得證；（2）

如圖，結(jié)合圓臺的特征，當(dāng)時，此時兩兩垂直，故以A為中心，以AB、AC、AA1所在的直線分別為軸、軸、軸，則，設(shè)，則，，易知軸⊥面，不妨取作為面的一個法向量，設(shè)與平面所成角為，則，即當(dāng)時，取得最大值，此時為最大角，，設(shè)此時面APQ的一個法向量為，易得，則，令，則，即，由圖可知該二面角的平面角為銳角，設(shè)其為，故，故與平面所成最大角的正切值為，此時二面角的余弦值為.24．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖1，在平行四邊形中，，，為的中點，，，沿將翻折到的位置，如圖2，.

(1)證明：平面；(2)求平面和平面的夾角.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）確定為正三角形，，證明，得到證明.（2）確定平面，，建立空間直角坐標系，確定平面和平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式計算得到答案.【詳解】（1），，為正三角形，，則為中點，設(shè)，，，故，故為的三等分點，

，為的三等分點，即F為的中點，故，平面，平面，故平面.（2）由題設(shè)易得，，，故，即，，故，，，PH、HF在面PHF內(nèi)，故平面.PF在面PHF內(nèi)，故，又，，AC、AD在面ABCD內(nèi)，故平面.在中，，由題意易得∠ABC=60°，∠BAC=30°，則∠ACB=90°，故，過點作平面的垂線為z軸，以分別為軸、軸正方向，建立如圖所示坐標系.

則，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，所以設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，，所以，設(shè)平面和平面的夾角為，,則，，所以平面和平面的夾角為.（四）利用線面平行的性質(zhì)證明線面平行25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形.(1)求證：AB∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)(8，12)【分析】（1）通過證明平面，證得，由此證得平面.（2）設(shè)，求得四邊形周長的表達式，由此求得四邊形周長的取值范圍.【詳解】（1）∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF∥HG.∵HG?平面ABD，EF?平面ABD，∴EF∥平面ABD.又∵EF?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB，又∵AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.（2）設(shè)，∵EF∥AB，F(xiàn)G∥CD，∴，則＝＝＝1－，∴.∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴四邊形EFGH的周長l＝2＝12－x.又∵0<x<4，∴8<l<12，即四邊形EFGH周長的取值范圍是(8，12).26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，側(cè)面是邊長為2的正三角形，，，分別為的中點，平面與底面的交線為.(1)證明：平面.(2)若三棱錐的體積為，試問在直線上是否存在點，使得直線與平面所成角為，異面直線所成角為，且滿足？若存在，求出線段的長度；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）由已知可推得.根據(jù)線面平行的判定定理，可得平面.然后根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可得.進而即可得出證明；（2）由已知可得.又易知，即可得出平面.以為坐標原點，建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，設(shè)，求出平面的法向量以及，根據(jù)向量法表示出，根據(jù)已知，即可得出的值.【詳解】（1）因為分別為的中點，所以，.又平面，平面，所以，平面.又平面，平面與底面的交線為，所以，.從而，.而平面，平面，所以，平面.（2）取的中點記為，連接，因為是邊長為2的正三角形，所以，.由（1）可知，在底面內(nèi)過點作的平行線，即平面與底面的交線.由題意可得，即，所以的面積.設(shè)點到平面的距離為，則由已知可得，于是.因為，所以平面.取的中點記為，連接，則.因為，所以.以為坐標原點，所在直線分別為軸?軸?軸，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，設(shè).于是，，，.設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，則，，即是平面的一個法向量，所以.又直線與平面所成角為，于是.又，而異面直線所成角為，于是.假設(shè)存在點滿足題設(shè)，則，即，所以.當(dāng)時，，此時有；當(dāng)時，，此時有.綜上所述，這樣的點存在，且有.27．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）四棱錐中，底面為矩形，，，平面與平面的交線為.

(1)求證：直線平行于平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意證得平面，結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理證得直線，再由線面平行的判定定理，即可證得平面；（2）以點為原點，建立空間直角坐標系，設(shè)，取的方向向量，根據(jù)，，利用向量的夾角公式，求得，進而求得平面和平面的一個法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：因為底面是矩形，可得，又因為平面，平面，所以平面，因為平面，且平面平面，所以直線，又因為平面，平面，所以平面.（2）解：以點為原點，，垂直于平面的直線分別為軸、軸和軸，建立如圖空間直角坐標系，則，則，設(shè)，取的方向向量，因為，，可得，又因為，可得，即，解得，即，設(shè)平面法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取取，可得，所以，所以，由圖象可得，二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.

（五）通過面面平行證線面平行28．（2023·陜西安康·統(tǒng)考三模）如圖，四棱錐中，平面，四邊形是正方形，，，分別是棱，，的中點．(1)證明：平面；(2)若，求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接DE，推導(dǎo)四邊形BEDF是平行四邊形，從而得到，再得到，從而平面BFG，平面BFG，進而得到平面平面BFG，因此得證平面；（2）由平面，，可得平面ABCD，作，垂足為M，則，進而得到平面BFG，即的長是點C到平面BFG的距離，再利用等面積法求解即可.【詳解】（1）連接DE，∵ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別是棱BC，AD的中點，∴，，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∴，∵G是PA的中點，∴，∵PD，DE平面BFG，F(xiàn)G，BF平面BFG，∴平面BFG，平面BFG，∵，直線PD，DE在平面PDE內(nèi)，∴平面平面BFG，∵PE平面PDE，∴平面BFG．（2）∵平面，，∴平面ABCD，過C在平面ABCD內(nèi)，作，垂足為M，則，∵，又直線FG，BF在平面BFG內(nèi)，∴平面BFG，∴的長是點C到平面BFG的距離，∵中，，∴由等面積可得，∴點C到平面BFG的距離為.29．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，，，為點在平面上的射影，為的中點．(1)證明：∥平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面平行判定定理證明或先證明面面平行再證明線面平行即可；（2）建立空間直角坐標系，設(shè)的長度為（），使用空間向量求解即可.【詳解】（1）方法一:在平面內(nèi)，過點作于點，連接，，∵，則，又∵平面，平面，∴平面．又∵平面，平面，平面，∴，，又∵，為公共邊，∴，∴，又∵為公共邊，∴，∴，為的中點，又∵為的中點，∴為的中位線，，又∵平面，平面，∴平面．又∵，平面，平面，∴平面平面，又∵平面，∴平面．方法二:延長，交于點，連接，,∵平面，平面，平面，∴，，又∵，為公共邊，∴，∴，又∵，∴是為直角，為斜邊的直角三角形，∴，即為的中點，又∵為的中點，∴為的中位線，，∵平面，平面，所以平面．（2）過點作，以為原點，，，所在直線分別為軸,軸,軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．由于，，則由第（1）問知，又∵，∴，，∴．∴，，，，．∴，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，，∴．設(shè)（），則，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，，∴．設(shè)二面角的平面角為，，則，∵，∴，即二面角的正弦值為．30．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形是梯形，，，，分別是棱，的中點．

(1)證明：平面．(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）構(gòu)造面面平行，利用面面平行的性質(zhì)定理證明線面平行即可；（2）以為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求出直線的方向向量與平面的法向量，即可得線面夾角的正弦值.【詳解】（1）證明：取的中點，連接，．

因為，分別是棱，的中點，所以．因為平面，平面，所以平面．因為，分別是棱，的中點，所以．因為平面，平面，所以平面．因為，平面，且，所以平面平面．因為平面，所以平面．（2）以為坐標原點，分別以，的方向為，軸的正方向，垂直平面向上的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．

設(shè)，則，．由余弦定理可得，則，從而，，，，，故，，．設(shè)平面的法向量為，則,令，得．設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．31．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，AB＝BC＝2，M，N分別為，AC的中點．

(1)求證：平面；(2)從條件①：AB⊥MN，條件②：BM＝MN中選擇一個作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取AB的中點為K，連接MK，NK，易得，由線面平行的判定證平面、平面，再由面面平行的判定和性質(zhì)證結(jié)論；（2）根據(jù)所選條件證BC，BA，兩兩垂直，構(gòu)建空間直角坐標系，向量法求線面角的正弦值即可.【詳解】（1）取AB的中點為K，連接MK，NK，由三棱柱得：四邊形為平行四邊形，因為M是中點，則，又平面，平面，故平面，同理得平面，又NK∩MK＝K，平面MKN，平面MKN，故平面平面，平面MKN，故平面；

（2）因為側(cè)面為正方形，故，而平面，平面平面，又平面平面，故CB⊥平面，平面，所以CB⊥AB，又，所以NK⊥AB，若選①：AB⊥MN，已證NK⊥AB，又NK∩MN＝N，平面MNK，平面MNK，故AB⊥平面MNK，平面MNK，故AB⊥MK，又，所以，所以BC，BA，兩兩垂直．故可建立如圖所示的空間直角坐標系B－xyz，

則，故，，，設(shè)平面BNM的法向量為，則，從而，取z＝1，則，設(shè)直線AB與平面BNM所成的角為θ，則若選②：BM＝MN，已證CB⊥平面，又，故NK⊥平面，而平面，故NK⊥KM，又BM＝MN，，，AB＝BC＝2，故△MKBMKN，所以∠MKB＝∠MKN＝90°，所以MK⊥AB，又，所以，所以BC，BA，兩兩垂直故可建立如圖所示的空間直角坐標系B－xyz，

則，故，，，設(shè)平面BNM的法向量為，則從而，取z＝1，則，設(shè)直線AB與平面BNM所成的角為θ，則．32．（2023·四川巴中·南江中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形是梯形，，，E，F(xiàn)分別是棱，的中點.(1)證明：平面.(2)若，求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點，證得，得到平面，再由，證得平面，從而證得平面平面，即可得到平面；（2）求得，由，證得，根據(jù)平面平面，得到點到平面的距離是，點到平面的距離是，結(jié)合，即可求解.【詳解】（1）證明：取的中點，連接，.因為F，H分別是棱，的中點，所以.因為平面，平面，所以平面.因為E，H分別是棱，的中點，所以.因為平面，平面，所以平面.因為，平面，且，所以平面平面.因為平面，所以平面.（2）解：因為四邊形是梯形，滿足，且，分別為的中點，可得，由（1）可知且，則，所以，因為，所以，因為平面平面且，所以點到平面的距離是，因為是的中點，則點到平面的距離是，設(shè)點到平面的距離為，因為，所以，解得，即點到平面的距離是.（六）利用空間向量法證線面平行33．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱柱中，平面，D，E分別為棱AB，的中點，，，.(1)證明：平面；(2)若三棱錐的體積為，求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立空間直角坐標系，根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系計算直線方向向量和平面法向量，即可證明；（2）根據(jù)三棱錐的體積求得三棱柱的高為，利用向量法先求二面角的余弦值，再求正弦值.【詳解】（1）證明：在三棱柱中，平面，，，.所以，則，則，則如下圖，以為原點，為軸建立空間直角坐標系，設(shè)，則,所以，，設(shè)平面的一個法向量為，所以，令，則，即，所以，得，又平面，所以平面；（2）三棱錐的體積，解得，則，由（1）知平面的法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，，所以，令，則，即，則，由圖可知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.于是，故二面角的正弦值為.34．（2023·北京密云·統(tǒng)考三模）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點.

(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）通過求出和面的一個法向量，即可證明結(jié)論；（2）分別求出面和面的法向量，即可求出二面角的余弦值.【詳解】（1）由題意，在矩形中，，，,，分別是，的中點，∴，，在四棱錐中，面平面，面面，，∴面，面，∴，取中點，連接，由幾何知識得，∵，∴，∵面，面，∴面，∴以、、為、、軸建立空間直角坐標系如下圖所示，

∴，∴，面的一個法向量為，∵，∴平面.（2）由題意，（1）及圖得，在面中，，，設(shè)其法向量為，則，即，解得：，當(dāng)時，，在面中，其一個法向量為，設(shè)二面角為∴，由圖象可知二面角為鈍角，∴二面角的余弦值為.35．（2023·天津南開·南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）在四棱錐中，底面，且，四邊形是直角梯形，且，，，，為中點，在線段上，且.

(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）（2）（3）根據(jù)題意，以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得；【詳解】（1）證明：以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，

則，，，，，，，，易知平面的一個法向量為，故，則，又平面，故平面．（2）易知平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，且，，則，令，則，，，設(shè)平面與平面夾角為，易知為銳角，所以，即平面與平面夾角的余弦值為．（3）設(shè)平面的法向量為，且，則，令，則，，故，設(shè)點到平面距離為，．36．（2023·天津·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐中，底面，．點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，．(1)求證：平面；(2)求點到直線的距離；(3)在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的值，若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）（2）（3）建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算即可.【詳解】（1）因為底面，，建立空間直角坐標系如圖所示，則，所以，設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得，又，可得，因為平面，所以平面，（2）因為，所以點到直線的距離.（3）設(shè)，，則，設(shè)平面的法向量為，則令，則，所以，即，解得或（舍去），所以.37．（2023·天津河西·統(tǒng)考三模）已知直三棱柱中，，，，D,E分別為的中點，F(xiàn)為CD的中點.

(1)求證：//平面ABC；(2)求平面CED與平面夾角的余弦值；(3)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）建立空間直角坐標系，證明垂直平面的法向量即可；（2）利用空間向量求出兩個平面的法向量，然后用夾角公式計算；（3）利用點到面距離的向量的公式計算.【詳解】（1）

在直三棱柱中，平面，且，以點B為坐標原點，BC，BA，所在直線分別為x，y，z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系.則，，，，.易知平面ABC的一個法向量為，則，故，又因為平面，故//平面（2），設(shè)平面CED的法向量為，則，不妨設(shè)，因為，設(shè)平面CED的法向量為，則，不妨設(shè)則因此，平面CED與平面夾角的余弦值為.（3）因為，根據(jù)點到平面的距離公式，則即點到平面CED的距離為.38．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，，點F在AC上，.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.（2）由（1）的信息，結(jié)合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.（3）由（2）的信息作出并證明二面角的平面角，再結(jié)合三角形重心及余弦定理求解作答.【詳解】（1）連接，設(shè)，則，，，則，解得，則為的中點，由分別為的中點，于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.

（2）由（1）可知，則，得，因此，則，有，又，平面，則有平面，又平面，所以平面平面.（3）過點作交于點，設(shè)，由，得，且，又由（2）知，，則為二面角的平面角，因為分別為的中點，因此為的重心，即有，又，即有，，解得，同理得，于是，即有，則，從而，，在中，，于是，，所以二面角的正弦值為.

考點三直線與平面平行的探索性問題39．（2023春·廣西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖（1），點E是直角梯形ABCD底邊CD上的一點，∠ABC＝90°，BC＝CE＝1，AB＝DE＝2，將沿AE折起，使得D－AE－B成直二面角，連接CD和BD，如圖（2）．(1)求證：平面平面BCD；(2)在線段BD上確定一點F，使得平面ADE.【答案】(1)證明見解析(2)當(dāng)點F線段的中點時，平面ADE【分析】（1）由D－AE－B成直二面角得到平面平面，利用面面垂直性質(zhì)定理得平面，從而，再通過線面垂直證明面面垂直；（2）分別取線段BD，AB的中點F，G，利用線線平行證明線面平行，進而證明面面平行，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）在直角梯形ABCD中，取DE中點為M，連接AM，則DM=EM=1，AM=BC=1，所以，所以，所以，因為D－AE－B成直二面角，所以平面平面，又平面平面=AE，平面，所以平面，因為平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，因為平面BCD，所以平面平面BCD；（2）如圖，分別取線段BD，AB的中點F，G，連接，則，又平面，平面，所以平面，在直角梯形ABCD中，且，所以四邊形AGCE為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又因為平面，所以平面ADE.所以當(dāng)點F線段的中點時，平面ADE.40．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）三棱柱中，四邊形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，，，與交于點M，，的中點分別為N，O，如圖所示.(1)在平面內(nèi)找一點D，使平面，并加以證明；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)為的中點，證明見解析；(2).【分析】（1）取的中點，利用線面平行的判定推理作答.（2）以點O為原點，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解作答.【詳解】（1）連接，取的中點為，連接，則平面.在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，即為的中點，而為的中點，于是，平面平面，所以平面.（2）在三棱柱中，是等腰三角形，為的中點，則，而平面平面，平面平面平面，于是平面，連接，而四邊形是菱形，且，，則，，即有兩兩垂直，以為坐標原點，以射線的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，顯然平面的一個法向量為，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，令二面角的平面角為，則，所以二面角的正弦值為.41．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）如圖，三棱臺中，，，為線段上靠近的三等分點.(1)線段上是否存在點，使得平面，若不存在，請說明理由；若存在，請求出的值；(2)若，，點到平面的距離為，且點在底面的射影落在內(nèi)部，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)存在，(2)【分析】（1）取的靠近點的三等分點，連接、、，證明出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可得出平面，由此可得出結(jié)論；（2）過點在平面內(nèi)作，垂足為點，連接，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，證明出平面，求出的值，然后以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）取的靠近點的三等分點，連接、、，則，又因為，所以，四邊形為平行四邊形，則，因為平面，平面，所以，平面，因為，所以，，因為平面，平面，所以，平面，因為，、平面，所以，平面平面，因為平面，故平面，因此，線段上是否存在點，且當(dāng)時，平面.（2）過點在平面內(nèi)作，垂足為點，連接，由，，，所以，，所以，，所以，，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，因為，，，、平面，所以，平面，因為平面，則，又因為，，、平面，所以，平面，因為點到平面的距離為，即，且，所以，，由圖可知，為銳角，所以，，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、，，，設(shè)平面的法向量，則，取，則，，所以，，因為，因此，與平面所成角的正弦值為.42．（2023·江西鷹潭·貴溪市實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，三棱錐中，底面與側(cè)面是全等三角形，側(cè)面是正三角形，，，，，，，分別是所在棱的中點，平面與平面相交于直線．

(1)求證：；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明，進而得證平面，再根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)可得，進而得證；（2）連接，通過線面垂直關(guān)系可得平面，結(jié)合為的中點，可得到平面的距離為，再結(jié)合三角形知識可得，，進而利用等積法即可求解.【詳解】（1）因為，，，分別為，，，的中點，所以，，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，且平面平面，所以，又，所以.（2）連接，因為，，，側(cè)面是正三角形，所以，，又與是全等三角形，所以，又，且平面，所以平面，又平面，所以，在正三角形中，，又，且平面，所以平面，又為的中點，所以到平面的距離為.在中，，，又，，為的中點，所以，且在中，，所以，所以，設(shè)到平面的距離為，由，得，即，即到平面的距離為.

43．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實驗高中?？寄M預(yù)測）如圖，在四棱錐中，，，，為中點.(1)在棱上是否存在點，使得平面？說明理由；(2)若平面，，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】(1)存在，理由見解析(2)【分析】（1）取的中點，利用線面平行的判定證明∥平面；（2）取的中點為，證明，，以點為坐標原點，建立坐標系，利用向量法證明即可.【詳解】（1）取的中點，連接，則∥，又∥，，所以四邊形為平行四邊形，∥.因為平面，平面，∥，所以∥平面.（2）取的中點為，連接，，.若平面，，因為平面，則，，且，又，，平面，所以平面，所以，又∥，所以，又，的中點為，所以，則以點為原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系：，平面的法向量為.設(shè)平面的法向量為，，令，則設(shè)平面與平面所成角為所以平面與平面所成角的余弦值為.考點四利用線面平行的性質(zhì)證線線平行44．（2023·全國·高三對口高考）如圖所示，已知是平行四邊形，點P是平面外一點，M是的中點，在上取一點G，過G和作平面交平面于，則與的位置關(guān)系是_________．

【答案】平行【分析】連接交于，連結(jié)，利用三角形中位線性質(zhì)證明，再利用線面平行的判定定理和性質(zhì)【詳解】連接交于，連結(jié)，因為是平行四邊形，所以為中點.因為是的中點，所以，因為平面，平面，所以平面；因為平面，又過和作平面交平面于，即平面平面，且平面，所以.故答案為：平行.

45．（2023·北京·北京四中?？寄M預(yù)測）如圖所示，在三棱柱中，是中點，平面，平面與棱交于點，，(1)求證：；(2)若與平面所成角的正弦值為，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明詳見解析(2)或【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理證得.（2）建立空間直角坐標系，根據(jù)與平面所成角的正弦值求得，進而求得三棱錐的體積.【詳解】（1）根據(jù)棱柱的性質(zhì)可知，，由于平面，平面，所以平面.由于平面，平面平面，所以.（2）由于平面，平面，所以，由于是的中點，所以，由此以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，設(shè)，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，所以，解得或，當(dāng)，即時，,當(dāng)，即時，.46．（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，，，，E為線段AD的中點.PE⊥底面ABCD，點F是棱PC的中點，平面BEF與棱PD相交于點G.(1)求證：；(2)若PC與AB所成的角為，求直線PB與平面BEF所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用平行四邊形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理和性質(zhì)定理進行證明即可；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】（1）證明：因為E為AD中點，所以．又因為BC＝1，所以DE＝BC．在梯形ABCD中，DEBC，所以四邊形BCDE為平行四邊形．所以BECD．又因為BE?平面PCD，且CD?平面PCD，所以BE平面PCD．因為BE?平面BEF，平面BEF∩平面PCD＝FG，所以BEFG．.（2）因為PE⊥平面ABCD，且AE，BE?平面ABCD，所以PE⊥AE，且PE⊥BE．因為四邊形BCDE為平行四邊形，∠ADC＝90°，所以AE⊥BE．以E為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系E﹣xyz．則．設(shè)，所以，．因為PC與AB所成角為，所以．所以．則，．所以，，．設(shè)平面BEF的法向量為，則，即令，則，所以．所以．所以直線PB與平面BEF的所成角的正弦值為．47．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）如圖，三棱臺中，，是的中點，點在線段上，，平面平面．

(1)證明：；(2)若平面平面，，，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)證明線線平行；（2）建立空間直角坐標系，求向量與平面的法向量，根據(jù)空間向量求解直線與平面所成角的正弦值即可.【詳解】（1）證明：取的中點，連接，，

因為是的中點，所以，，因為三棱臺中，，，，所以，，即四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，因為平面，平面平面，所以．（2）因為平面平面，所以過點作于點，則平面，又由題意知，，所以，因為中，，，所以，連接，在中由余弦定理得，所以，得．所以以為原點，以，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖空間直角坐標系，

令，則，，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則得令，則，，所以平面的一個法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，則．所以直線與平面所成角的正弦值為．48．（2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖1所示，在四邊形中，，為上一點，，，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐．

(1)若平面平面，證明：；(2)點是棱上一動點，且直線與平面所成角的正弦值為，求．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）先證明，根據(jù)線線平行判定定理平面，再由線面平行性質(zhì)定理證明線線平行；（2）建立空間直角坐標系，設(shè)點的坐標，求出平面的法向量，利用線面角的法向量公式計算即可求解.【詳解】（1）在圖1中，因為，，，所以，，又，所以，因為，，所以，故，

在圖2中，因為，平面，平面，所以平面，因為平面，平面平面，所以；（2）由（1）知，，，，平面，平面,所以平面，又平面，所以平面平面，故以為坐標原點，分別為軸，在平面內(nèi)過點作的垂線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，因為，平面AEB平面BCE，且，所以點在平面的射影為中點，故，，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，不妨令，則，，所以為平面的一個法向量．因為直線與平面所成角的正弦值為，所以，整理得，解得或（舍），所以為中點，所以.49．（2023·全國·高三對口高考）如圖，在為等腰直角三角形，，D、E分別是邊和的中點，現(xiàn)將沿折起，使面面，H、F分別是邊和的中點，平面與、分別交于I、G兩點．

(1)求證：；(2)求二面角的余弦值；(3)求的長．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由線面平行的判定定理可得平面，再由線面平行的性質(zhì)定理可得答案；（2）建立空間直角坐標系，求出平面、平面的法向量，由二面角的向量求法可得答案；（3）由，解得，得可得答案.【詳解】（1）因為D，E分別是邊AC和AB的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，因為平面BCH，平面AED，平面平面，所以，又因為，所以.（2）如圖，建立空間直角坐標系，由題意得，，，，，，，，可得，，，，

設(shè)平面的法向量為，則，，令，解得，則，設(shè)平面的法向量為，則，，令，解得，則，所以，所以二面角的余弦值為.（3）由（2）知，，設(shè)，，則，由，解得，故.考點五由線面平行的性質(zhì)判斷線段比例或點所在的位置50．（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱錐中，點是的中點，點在上，平面與平面相交于直線，∥l．

(1)證明：是的中點；(2)若平面平面，，是邊長為2的正三角形，，點在直線上且不與重合，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2).【分析】(1)根據(jù)∥l，得出∥平面AEF，在根據(jù)線面平行的性質(zhì)得出∥EF；(2)建立合適的空間直角坐標系，利用線段關(guān)系表示相應(yīng)的空間向量計算即可.【詳解】（1）因為∥l，平面AEF，平面AEF，所以∥平面AEF.因為平面PBC，平面AEF∩平面PBC=EF，所以∥EF，又因為點是的中點，所以點是的中點.（2）因為平面平面，且平面平面，平面ABC，且，所以平面.取AC中點D，連結(jié)PD.因為是邊長為2的正三角形，所以.

以C為坐標原點，CA，CB所在直線為x軸，y軸，過C平行于PD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，則，，，，直線過點A，且∥l，設(shè).則，，，.設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為.由，令，則，即；由,令，則，即，所以，即平面與平面夾角的余弦值為.51．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？级＃┮阎襟w，點為中點，直線交平面于點.

(1)證明：點為的中點；(2)若點為棱上一點，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.【答案】(1)證明見解析.(2).【詳解】（1）在正方體中，，又平面，且平面，則平面，而交平面于點，即平面，又平面，有平面，因此平面平面，于是，而為中點，所以為的中點.（2）以為坐標原點，方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標系，

不妨設(shè)正方體的棱長為3，設(shè)，則,從而，設(shè)平面的一個法向量為，則,即,不妨取,則,即，設(shè)直線與平面所成角為，又直線與平面所成角的正弦值為，因此，解得，所以.52．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，點在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點到點的位置，構(gòu)成四棱錐.(1)若點在線段上，且平面，試確定點的位置；(2)若，求銳二面角的大小.【答案】(1)點為線段上靠近點的三等分點(2)【分析】（1）在取點使，根據(jù)線面平行的判定定理、面面平行的判定及性質(zhì)定理即得；（2）取的中點，建立空間直角坐標系，利用向量法求解銳二面角的大小.【詳解】（1）點為線段上靠近點的三等分點，證明如下：如圖，在取點，連接，,使得，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面.又平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，平面平面，所以，所以在中，，所以，所以點為線段上靠近點的三等分點.（2）如圖，取的中點，以O(shè)為原點OE為x軸建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，所以，又，則，由題意，點P在過點O且垂直AE的平面上，故設(shè)，則，因為，所以，解得，故，則，設(shè)平面的法向量為，則，不妨取，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，記銳二面角的平面角為，所以，又，則，所以銳二面角的大小為.考點六由線面平行求線段長度53．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長為1，E，F(xiàn)是線段上的兩個動點．(1)若平面，求的長度；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接交于點O，連接，由線面平行證線線平行，證得即可求值；（2）建立空間直角坐標系，利用法向量解決線面角問題.【詳解】（1）正方體，連接交于點O，連接，如圖所示，∴平面，平面平面，平面，∴，又，∴為平行四邊形，則.（2）以點C為坐標原點，，，方向分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，解得，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．54．（2023·全國·校考模擬預(yù)測）在底面為等邊三角形的三棱柱中，已知平面ABC，，，D是棱的中點，M是四邊形內(nèi)的動點，若平面ABD，則線段長度的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】取線段的中點為，連接，首先證明平面平面，然后可得點的軌跡是線段，然后可求出答案.【詳解】取線段的中點為，連接，因為側(cè)面為矩形，D是棱的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，同理平面，因為，所以平面平面，因為M是四邊形內(nèi)的動點，平面ABD，所以點的軌跡是線段，因為，，所以，，所以線段長度的最小值為.故選：D55．（2023·湖南長沙·周南中學(xué)?？既＃┤鐖D，在多面體中，平面平面，平面，和均為正三角形，，，點在上.

(1)若平面，求；(2)若是的中點，求二面角的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）記中點為，連接、，依題意可得，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，如圖建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，設(shè)，，依題意可得求出的值，即可得解；（2）依題意點與點重合，利用空間向量法計算可得.【詳解】（1）記中點為，連接、，為正三角形，，則，且.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又為正三角形，所以，所以，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，則，設(shè)，，則，因為平面，所以，解得，所以為的中點，此時.

（2）若是的中點，則點與點重合，則平面的一個法向量可以為，設(shè)二面角為，顯然二面角為銳角，則，所以，所以二面角的正弦值為.

56．（2023·廣東深圳·高三深圳外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，為中點，為上一點，，上有點，平面.(1)求的值；(2)若平面，，，求二面角的正弦值.【答案】(1)1(2)【分析】（1）找到PD的中點M，可證得面BDF，進而得到面面，利用面面平行的性質(zhì)定理得到，即可確定的值；（2）過點A作BC的平行線為x軸，以AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用平面AEB與平面AEC的法向量可求得二面角的正弦值.【詳解】（1）解：取的中點M，連接如圖（1）所示，，又因為F為AC的中點，∴，又面BDF，面BDF，∴面BDF.又面BDF，，面，∴面面BDF，又∵面面=EM，面面=BD，，又∵，.（2）由題可知平面ABC，，所以.以A為坐標原點，過點A作BC的平行線為x軸，以AC為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系，如圖（2）所示，則，則PB的中點E為，，，，設(shè)平面AEB法向量為，則，令則.所以.設(shè)平面AEC法向量為，則，令則.所以.所以，設(shè)二面角的大小為，則，所以，即二面角的正弦值為.考點七面面平行的判斷57．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，為兩個不同的平面，則∥的一個充分條件是（

）A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．，垂直于同一個平面C．，平行于同一條直線 D．，垂直于同一條直線【答案】D【分析】根據(jù)面面平行的判定一一判定即可.【詳解】對于A：內(nèi)有無數(shù)條直線與平推不出∥，只有內(nèi)所有直線與平行才能推出，故A錯誤；對于B：，垂直于同一平面，得到∥或與相交，故B錯誤；對于C：，平行于同一條直線，得到∥或與相交，故C錯誤；對于D：因為垂直與同一條直線的兩平面平行，故，垂直于同一條直線可得∥，故：D正確．故選：D58．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是空間兩個不同的平面，命題：“”，命題：“平面內(nèi)有無數(shù)條直線與平行”，則是的（

）A．充分而不必要條件