2022-2023學(xué)年吉林省通化市梅河口市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知圓錐軸截面為正三角形，母線長為2，則該圓錐的體積等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意求出圓錐的底面半徑和高即可.【詳解】圓錐母線為，底面半徑為，則，所以圓錐的體積．故選：A．

2．若，，，則事件與的關(guān)系是（

）A．事件與互斥 B．事件與對立C．事件與相互獨(dú)立 D．事件與既互斥又相互獨(dú)立【答案】C【分析】結(jié)合互斥事件、對立事件、相互獨(dú)立事件的知識求得正確答案.【詳解】∵，∴，∴事件與相互獨(dú)立、事件與不互斥，故不對立.故選：C3．在下列判斷兩個平面與平行的4個命題中，真命題的個數(shù)是（

）．①都垂直于平面r，那么②都平行于平面r，那么③都垂直于直線l，那么④如果l、m是兩條異面直線，且，，，，那么A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】在正方體中觀察可判斷①；由平面平行的傳遞性可判斷②；由線面垂直的性質(zhì)可判斷③；根據(jù)面面平行判定定理可判斷④.【詳解】如圖，易知在正方體中相鄰兩個側(cè)面都垂直于底面，故①錯誤；由平面平行的傳遞性可知②正確；由線面垂直的性質(zhì)可知③正確；過直線l做平面與分別交于，過直線m做平面與分別交于，因?yàn)?，，所以，所以因?yàn)椋?，所以同理，又l、m是兩條異面直線，所以相交，且，所以，故④正確.故選：D4．甲、乙兩校各有3名教師報(bào)名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，則選出的2名教師性別相同的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選名，列出基本事件的總數(shù)，利用古典概型求解即可.【詳解】設(shè)甲校2男1女的編號分別為1，2，A，乙校1男2女編號分別為B，3，4，若從甲校和乙校報(bào)名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果有：，，，，，，，，共計(jì)9個，選出的2名教師性別相同的結(jié)果有，，，共計(jì)4個，故選出的2名教師性別相同的概率為．故選：B.5．已知向量，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出的坐標(biāo)，依題意可得，則，即可得到方程，解之即可.【詳解】因?yàn)椋?，，則，所以，，，，，因?yàn)?，所以，所以，即，解?故選：C6．如圖1，在高為的直三棱柱容器中，現(xiàn)往該容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，水深為2，然后固定容器底面的一邊于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時，水面恰好為（如圖2），則容器的高為（

）

A． B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】利用兩個幾何體中的裝水的體積相等，列出方程，即可求解.【詳解】解：在圖（1）中的幾何體中，水的體積為,在圖（2）的幾何體中，水的體積為：，因?yàn)?，可得，解?故選：B.7．在正四棱錐中，，M為棱PC的中點(diǎn)，則異面直線AC，BM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出直線AC，BM的方向向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合向量的夾角與異面直線所成角的關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，，，方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則,，，，，所以，，設(shè)異面直線AC，BM所成角為，則．故選：D．8．已知中，，且，則（

）A． B． C．8 D．9【答案】B【分析】利用向量的運(yùn)算以及模長公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以因?yàn)橹?，，所?故A，C，D錯誤.故選：B.二、多選題9．為深入學(xué)習(xí)宣傳黨的二十大精神，某校開展了“奮進(jìn)新征程，強(qiáng)國伴我行”二十大主題知識競賽.其中高一年級選派了10名同學(xué)參賽，且該10同學(xué)的成績依次是：.則下列針對該組數(shù)據(jù)說法正確的是（

）A．平均數(shù)為89，方差為3.06B．中位數(shù)為90，眾數(shù)為88和92C．每個數(shù)都加5后平均數(shù)和方差均無變化D．分位數(shù)為93，極差為19【答案】BD【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差、中位數(shù)、眾數(shù)和極差的概念，逐項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證即可求解.【詳解】對于A，平均數(shù)為，方差，故選項(xiàng)A錯誤；對于B，中位數(shù)為，眾數(shù)為和，故選項(xiàng)B正確；對于C，根據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)可得，每個數(shù)都加5后平均數(shù)對應(yīng)的加上5，方差不發(fā)生改變，故選項(xiàng)C錯誤；對于D，因?yàn)椋缘牡诜治粩?shù)為93，極差為，故選項(xiàng)D正確，故選：BD.10．已知向量在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示.若網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．B．向量在向量方向上的投影向量為C．D．若，則【答案】ABD【分析】利用數(shù)量積運(yùn)算，投影向量和向量平行公式即可判斷每個選項(xiàng)【詳解】由圖可得，對于A，，故A正確；對于B，向量在向量方向上的投影向量，故B正確；對于C，，所以，故C不正確；對于D，因?yàn)?，，所以，故，故D正確.故選：ABD11．甲、乙兩位射擊愛好者，各射擊10次，甲的環(huán)數(shù)從小到大排列為4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙的環(huán)數(shù)小到大排列為2，5，6，6，7，7，7，8，9，10．則（

）A．甲的環(huán)數(shù)的70%分位數(shù)是7 B．甲的平均環(huán)數(shù)比乙的平均環(huán)數(shù)小C．這20個數(shù)據(jù)的平均值為6.6 D．甲的成績比乙的成績更穩(wěn)定【答案】BCD【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義可求解A選項(xiàng)；根據(jù)平均數(shù)的公式可求解B、C選項(xiàng)；根據(jù)方差的公式可求解D選項(xiàng)．【詳解】對于A，因?yàn)?，所以甲的環(huán)數(shù)的70%分位數(shù)是，故A錯誤；對于B，，，所以，故B正確；對于C，這20個數(shù)據(jù)的平均值，故C正確；對于,，故D正確．故選：BCD．12．某圓柱的側(cè)面展開圖是長為4、寬為2的矩形，則該圓柱的體積可能為（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】由圓柱體積公式計(jì)算，注意分類討論．【詳解】設(shè)該圓柱的底面半徑為.若該圓柱的高為2，則，即，該圓柱的體積；若該圓柱的高為4，則，即，該圓柱的體積.故選：AC．三、填空題13．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.【答案】【分析】由對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)求出復(fù)數(shù)，代入算式中化簡.【詳解】復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，.故答案為：14．若一組數(shù)據(jù)，，…，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為．【答案】18【分析】利用方差的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)橐唤M數(shù)據(jù)，，…，的方差為2，所以數(shù)據(jù)，，…，的方差為，故答案為：18.15．在中，點(diǎn)滿足:，，若，則=.【答案】3【分析】根據(jù)條件，利用向量的線性運(yùn)算得到，再利用平面向量基本定理求出，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，故由平面向量基本定理得到，，所?

故答案為：3.四、雙空題16．已知向量，在方向上的投影向量是．【答案】【分析】根據(jù)坐標(biāo)可直接求出，求出向量的夾角的余弦值，即可求出在方向上的投影向量.【詳解】，，，設(shè)向量的夾角為，，則在方向上的投影向量是故答案為：；.五、解答題17．已知平面向量，滿足，，．(1)求與的夾角；(2)求．【答案】(1)(2)12【分析】（1）根據(jù)定義法直接求解即可；（2）根據(jù)平方關(guān)系的轉(zhuǎn)化求解向量的模即可.【詳解】（1）設(shè)與的夾角為因?yàn)?，，，所以，所以，即與的夾角為（2）由題意得，.18．如圖，在棱長為2的正方體中，為中點(diǎn)，為與的交點(diǎn).(1)求三棱錐的體積；(2)證明：平面；(3)證明：平面.【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由棱錐體積公式計(jì)算；（2）由線面平行的判定定理證明；（3）由線面垂直的判定定理證明（先計(jì)算與都垂直）．【詳解】（1）在正方體中，平面且則（2）證明：連接，在中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，所以又平面平面平面；（3）證明：連接，在正方體中，在Rt中，，中，，又，平面且交于點(diǎn)平面.19．4月23日是世界讀書日，樹人中學(xué)為了解本校學(xué)生課外閱讀情況，按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從全校學(xué)生中抽出一個容量為100的樣本，其中男生40名，女生60名經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，分別得到40名男生一周課外閱讀時間（單位，小時）的頻數(shù)分布表和60名女生一周課外閱讀時間（單位：小時）的頻率分布直方圖：（以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個值）女生一周自讀時間頻率分布直方圖男生一周閱讀時間頻數(shù)分布表小時頻數(shù)92533

(1)從一周課外閱讀時間為的學(xué)生中按比例分配抽取6人，則男生，女生各抽出多少人?(2)分別估計(jì)男生和女生一周課外閱讀時間的平均數(shù)；(3)估計(jì)總樣本的平均數(shù)和方差．參考數(shù)據(jù)和公式;男生和女生一周課外閱讀時間方差的估計(jì)值分別為和．，和分別表示男生和女生一周閱讀時間的樣本，其中．【答案】(1)男生人，女生人(2)，(3)，【分析】（1）首先求出中女生的人數(shù)，再利用分層抽樣計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得；（2）根據(jù)平均數(shù)公式計(jì)算可得；（3）首先求出總體的平均數(shù)，再根據(jù)所給公式及數(shù)據(jù)求出總體的方差.【詳解】（1）一周課外閱讀時間為的學(xué)生中男生有人，女生有人，若從中按比例分配抽取人，則男生有人，女生有人（2）估計(jì)男生一周課外閱讀時間平均數(shù)；估計(jì)女生一周課外閱讀時間的平均數(shù).（3）估計(jì)總樣本的平均數(shù)，∵，∴，，，，∴，所以估計(jì)總樣本的平均數(shù)，方差.20．如圖，在正三棱臺中，，，過棱的截面與棱，分別交于、.

(1)記幾何體和正三棱臺的體積分別為，，若，求的長度；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)2(2)【分析】（1）根據(jù)題意，先由條件證得是三棱臺，再結(jié)合棱臺的體積計(jì)算公式即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，延長，，交于點(diǎn)，作中點(diǎn)，連接，，可得∴即直線與平面所成的角，再結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)果.【詳解】（1）∵三棱臺是正三棱臺，∴平面，∵平面，平面平面，∴，若,則,幾何體是三棱柱，記，，此時,不滿足題意，舍去；因此，設(shè)與交于點(diǎn),與交于點(diǎn),則因?yàn)?即交于同一點(diǎn),∴幾何體是三棱臺∵，∴，∴.（2）如圖，延長，，交于點(diǎn)，作中點(diǎn)，連接，，

∵，,平面∴平面，過作交于，則,∵平面∴平面，∴即直線與平面所成的角，∵，，，∴在中，由余弦定理可得，∴直線與平面所成角的正弦值為.21．如圖，在棱長為1的正方體中，E，F(xiàn)，G分別是的中點(diǎn).(1)求與所成角的余弦值；(2)求點(diǎn)G到平面的距離.【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得向量的坐標(biāo)，由求解；（2）求得平面CEF的一個法向量，由求解,【詳解】（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，所以，所以與所成角的余弦值是；（2），設(shè)平面CEF的一個法向量為，則，即，令，則，所以22．三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，且，、分別為、的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）由三角形中位線定理可得，再由線面平行的判定定理可得平面；（2）由于，為的中點(diǎn)，可得，再由平面平面，可證得平面，然后利用面面垂直的判定定理可得平面平面；（3）由于平面，