2021年江蘇省南通學科基地高考數(shù)學全真模擬試卷（九）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合4={），4=/+2》+3},8={刈丫=-/2^},則408=（）

y3—X

A.[2,3]B.[2,3）C.（2,3]D.（2,3）

2.（5分）若復數(shù)z滿足,2=4-33其中i為虛數(shù)單位，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于（

）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.（5分）哈六中開展勞動教育，決定在5月12日植樹節(jié)派小明、小李等5名學生去附近

的兩個植樹點去植樹，若小明和小李必須在同一植樹點，且各個植樹點至少去兩名學生，則

不同的分配方案種數(shù)為（）

A.8B.10C.12D.14

4.（5分）17世紀初，約翰?納皮爾在研究天文學的過程中，為簡化計算而發(fā)明了對數(shù).對

數(shù)的發(fā)明是數(shù)學史上的重大事件，恩格斯曾經(jīng)把對數(shù)的發(fā)明和解析幾何的創(chuàng)始、微積分的建

立稱為17世紀數(shù)學的三大成就.在進行數(shù)據(jù)處理時，經(jīng)常會把原始數(shù)據(jù)取對數(shù)后再進一步

處理，之所以這樣做是基于對數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，且取對數(shù)后不會改變數(shù)據(jù)的相

對關(guān)系，也可以將乘法運算轉(zhuǎn)換成加法運算，將乘方運算轉(zhuǎn)化為乘法運算.據(jù)此可判斷數(shù)2嚴

（取收2=0.3010）的位數(shù)是（）

A.108B.109C.308D.309

5.（5分）在平面直角坐標系xOy中，直線3x+4y-5=0與圓V+>2=r2（r>0）相交于a,

5兩點.若AB=20,則圓的半徑廠為（）

A.3B.2C.有D.&

6.（5分）為了估計加工零件所花費的時間，為此進行了4次試驗，測得的數(shù)據(jù)如表;

零件數(shù)X（個）1357

加工時間y（分0.5a22.5

鐘）

若零件數(shù)x與加工時間y具有線性相關(guān)關(guān)系，且線性回歸方程為$=0.36x+0.01,則“=（

)

A.1B.0.8C.1.09D.1.5

7.(5分)在矩形ABCD中，AC=\,AELBD,垂足為石，貝ij(而?荏)?(麗?而)的最大

值是()

A.±B.1C.且D.3

27363

8.(5分)若函數(shù)f(x)為定義在A上的偶函數(shù)，當X..0時，f(x)=2'-2,則不等式

f(x-l)..2f(x)的解集為()

A.(―,0]B.(f,log、"4]

2

C.[0,log2檸鳥D.[0,1)

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共2()分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。

9.(5分)已知數(shù)列｛可｝,也,｝均為等比數(shù)列，則下列結(jié)論中一定正確的有()

A.數(shù)列｛〃,也,｝是等比數(shù)列B.數(shù)列｛%+2｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列出|4|｝是等差數(shù)列D.數(shù)列｛/g(*｛)｝是等差數(shù)列

an

22

10.(5分)已知方程一三——匕=1也eR),則下列說法中正確的有()

16+Z9-k

22

A.方程一￡——匕=1可表示圓

16+女9—k

B.當人＞9時，方程工——匕=1表示焦點在x軸上的橢圓

16+攵9-k

22

C.當—16vZv9時，方程一二——匯-=1表示焦點在X軸上的雙曲線

16+Z9-k

D.當方程工——匕=1表示橢圓或雙曲線時，焦距均為10

16+Z9-k

11.(5分)已知函數(shù)/(x)=2sin2x與g(x)=-2cos2x,則下列結(jié)論中正確的有()

A.將丫=/(x)的圖象向右平移七個單位長度后可得到y(tǒng)=g(x)的圖象

4

B.將y=f(x)+g(x)的圖象向右平移三個單位長度后可得到y(tǒng)=f(x)-g(x)的圖象

4

C.y=/(x)的圖象與y=g(x)的圖象關(guān)于直線》=生對稱

8

D.y=/(x)+g(x)的圖象與y=/(%)-^(x)的圖象關(guān)于直線”=工對稱

12.（5分）若非負實數(shù)a,b.c,滿足a+6+c=l,則下列說法中一定正確的有（）

A."+從+c?的最小值為gB.（a+b）c的最大值為2

C.ac+〃c+ca的最大值為-D.〃揚+匕五的最大值為―

39

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）《墨子?經(jīng)說上》上說：“小故，有之不必然，無之必不然.體也，若有端，大故，

有之必然，若見之成見也.”這一段文字蘊含著十分豐富的邏輯思想，那么文中的“小故”

指的是邏輯中的一.（選“充分條件”必要條件”“充要條件”既不充分也不必要條件”之

一填空）

22

14.（5分）已知拋物線G：y2=_2px（p>0）的準線恰好與雙曲線C,:1-3=l（a>0,6>0）

礦b'

的右準線重合，雙曲線c?的左準線與拋物線交于p,。兩點，且雙曲線.的右頂點到

左準線的距離等于線段P。的長，則雙曲線G的離心率為—.

15.（5分）《擲鐵餅者》取材于希臘現(xiàn)實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子

在挪鐵餅的過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的

“弓”，擲鐵餅者的手臂長約為工機，擲鐵餅者雙手之間的距離約為述，"，“弓”所在圓

44

的半徑約為1.25加，則挪鐵餅者的肩寬約為—m.（精確到0.0加）

16.（5分）已知正三棱柱ABC-的各條棱長均為2,則以點A為球心、2為半徑的球

與正三棱柱各個面的交線的長度之和為一.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）在①A,C,3成等差數(shù)列，②a,b,c成等差數(shù)列，③sinA=8sC這三個

條件中任選一個，補充到下面的問題中并作答.

問題：在AABC中，角A,B,C的對邊分別為“，b,c,若5sinA=3sinB,且,

求sinA的值.

18.（12分）已知等差數(shù)列伍“｝的前”項和為S“，且4+導=20,56=254.

（1）求數(shù)列｛““｝的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列電｝滿足4=4,S.b?+i-b?=4an,求數(shù)列｛-L｝的前"項和

bjl

19.（12分）近年來，手機行業(yè)的競爭已經(jīng)進入白熱化階段，各大品牌手機除了靠不斷提高

手機的性能和質(zhì)量來提升品牌競爭力，在廣告投放方面的花費也是逐年攀升，用“燒錢”來

形容毫不為過.小明對某品牌手機近5年的廣告費投入（單位：億美元）進行了統(tǒng)計，具體

數(shù)據(jù)見表：

年份代號X12345

廣告費投入y5.86.67.28.89.6

并隨機調(diào)查了300名市民對該品牌手機的喜愛情況，得到的部分數(shù)據(jù)見表:

喜歡不喜歡

50歲以下市民50

50歲以上市民6040

（1）求廣告費投入y與年份代號x之間的線性回歸方程；

（2）是否有99%的把握認為市民的年齡與對該品牌手機的喜愛度具有相關(guān)性？

（3）若以這300名市民的年齡與對該品牌手機的喜愛度的情況估計整體情況，則從這300

名市民中隨機選取3人，記選到喜歡該品牌手機且50歲以上的市民人數(shù)為X.求X的分布

列及數(shù)學期望E（X）.

名5-5）（%一刃

附：①回歸直線中3=+4,b=—-------------------,a=y-hx.

力（七-元）2

i=1

②K2=------n（ad-bcy------,其中.

（。+b）（c+d）（a+c）（b+d）

k2.7063.8416.63510.828

P(K\.k)0.1000.0500.0100.001

20.（12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，抬，平面A6CD,AD//BC,BC=2AD,

AP=AB=AD=CD=2.

（1）求證：平面上4C_L平面上45;

（2）若E為棱產(chǎn)5上一點（不與P,5重合），二面角E—8-P的余弦值為生且，求空

14PB

的值.

21.（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓［+馬=15>6>0）的離心率為正，兩

a-b"2

條準線之間的距離為迪.

3

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)橢圓C的上頂點為3,過點（-1,-1）的直線/與橢圓C相交于M,N兩點（點M,

N分別位于第一、第三象限），若直線B用與切V的斜率分別為占，k2,求4人的取值范

圍.

22.（12分）已知函數(shù)/（x）=x-sinxcosx-a/nr,acR.

（1）當4=0時，求曲線y=/（x）在點弓,/弓））處的切線方程；

(2)若/(〃?)=/(〃)，0<m<n,求證:trr+n2>|a|.

2021年江蘇省南通學科基地高考數(shù)學全真模擬試卷（九）

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.（5分）已知1集合4={>|卜=*2+2犬+3},8={刈丫=^=},貝1]/108=（）

A.[2,3]B.[2,3）C.（2,3]D.（2,3）

【解答】解：???A={y|y=（x+l）2+2}={y|y..2},8={x|無<3},

AQB=[2,3）.

故選：B.

2.（5分）若復數(shù)z滿足iz=4-3i,其中i為虛數(shù)單位，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于（

）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解答】解：因為iz=4—33

所以z=—~—=—3—4/?

z

其對應的點（-3,-4）在第三象限.

故選：C.

3.（5分）哈六中開展勞動教育，決定在5月12日植樹節(jié)派小明、小李等5名學生去附近

的兩個植樹點去植樹，若小明和小李必須在同一植樹點，且各個植樹點至少去兩名學生，則

不同的分配方案種數(shù)為（）

A.8B.10C.12D.14

【解答】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：

①小明和小李兩人去一個植樹點，剩下3人去另一個植樹點，有C；=2種分配方案，

②小明和小李還有另外1人去一個植樹點，剩下2人去另一個植樹點，有CG=6種分配方

案，

則一共有2+6=8種分配方案；

故選：A.

4.（5分）17世紀初，約翰?納皮爾在研究天文學的過程中，為簡化計算而發(fā)明了對數(shù).對

數(shù)的發(fā)明是數(shù)學史上的重大事件，恩格斯曾經(jīng)把對數(shù)的發(fā)明和解析幾何的創(chuàng)始、微積分的建

立稱為17世紀數(shù)學的三大成就.在進行數(shù)據(jù)處理時，經(jīng)常會把原始數(shù)據(jù)取對數(shù)后再進一步

處理，之所以這樣做是基于對數(shù)函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，且取對數(shù)后不會改變數(shù)據(jù)的相

對關(guān)系，也可以將乘法運算轉(zhuǎn)換成加法運算，將乘方運算轉(zhuǎn)化為乘法運算.據(jù)此可判斷數(shù)22'°

（取四2。0.3010）的位數(shù)是（）

A.108B.109C.308D.309

【解答】解：記N=2%

?.-21°=1024,

IgN=/g21024=1024/g2?1024x0.3010=308.224,

,JV=103（＞8.224€（]（）308）1O3O9）（

???io308是一個309位數(shù),

10心是最小的310位數(shù)，且N為整數(shù),

2-°的位數(shù)309.

故選：D.

5.（5分）在平面直角坐標系宜為中，直線3x+4y-5=0與圓f+丁=/。＞0）相交于A,

B兩點.若AB=2應,則圓的半徑「為（）

A.3B.2C.6D.0

【解答】解：圓偏+]=/（「＞0）的圓心為OQO）,

圓心O到直線3x+4y—5=0的距離=1,

V32+42

又AB=20.?./=f+（后=3,

則〃=石（廠＞0）.

故選：C.

6.（5分）為了估計加工零件所花費的時間，為此進行了4次試驗，測得的數(shù)據(jù)如表；

零件數(shù)X（個）1357

加」：時間.V（分0.5a22.5

鐘）

若零件數(shù)X與加工時間y具有線性相關(guān)關(guān)系，且線性回歸方程為$=0.36x+0.01,則〃=（

）

A.1B.0.8C.1.09D.1.5

【解答】解：:x=1+3+5+7_4,

4

―0.5+〃+2+2.5。+5

y=--------------------=-------，

44

，這組數(shù)據(jù)的樣本中心點是(4,2)，

4

,/y=0.36x+0.01,

把樣本中心點代入得，^^=0.36x4+0.01,

4

可得a=0.8.

故選：B.

7.（5分）在矩形中，AC=\,AE1,BD,垂足為E,則（而?荏）?（而?西）的最大

值是（）

A.—B.-C.—

2736

【解答】解:

如圖，設(shè)NC4B=6?,。€(0。,90。)，則由AC=1,AEA.BD,得他=cos。，4)=sin<9,

A￡'=sin^cos^,

所以(而AE)(CBCA)=(sin6>cos6>)2sin26

=—sin2Ox2c0slexsin26

2

1sin20+2COS204-sin24

“/(-------------3-------------1虧

當且僅當sin2e=2cos*,即tan”0時，等號成立.

故選：A.

8.(5分)若函數(shù)/(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當工.()時，/(x)=2v-2,則不等式

/。一1)..2/(幻的解集為()

1+

B.(-oo,log2^]

A.(-co,0]

C.[0,log2^^]

D.[0,1)

【解答】解：因為函數(shù)/(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當"0時，〃尤)=2'-2單調(diào)遞增，

所以f(x)=2M-2,

因為

所以21"-2..2(23-2),

即2殷"一2四+2..0,

當用,0時，可化為2..0,成立，

當0<x<l時，2|-x-2v+1+2..O,即2-*-2*+1..0,

令1=2",則

所以r—1—?0,即產(chǎn)—r—1”0,

t

解得1<4,上叵，

2

所以0<%,/og2上半，

當X.」時，2-1-2'+|+2..0,

即21,顯然成立，

3

綜上，/(x-l)..2,f(x)的解集(-co,log^L黃].

故選：B.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。

9.(5分)已知數(shù)列僅“｝,｛2｝均為等比數(shù)列，則下列結(jié)論中一定正確的有()

A.數(shù)列他,也,｝是等比數(shù)列B.數(shù)列｛q+包｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列｛/g|4|｝是等差數(shù)列D.數(shù)列｛/g（q次）｝是等差數(shù)列

??

【解答】解：設(shè)等比數(shù)列｛6｝,｛2｝的公比分別為°,q.

A%1M=pq,.數(shù)列｛〃/“｝是公比為四的等比數(shù)列，正確；

地

B.數(shù)列｛4+2｝不一定是等比數(shù)列，例如取數(shù)列｛4｝,如｝分別為：a"=2","=-2"；

c.羽=如如?2=/g四為一常數(shù)，.?.數(shù)列四自|｝是等差數(shù)列，正確；

?n+i??b“an+lpan

“???/g（4RG-/g（a?：）=/g（—）2（*）2=/g（p2/）為一常數(shù)，，數(shù)列｛/g|組|｝是等差數(shù)

4b“an

列，正確；

故選：ACD.

22

10.（5分）己知方程』——匕=l（keR）,則下列說法中正確的有（）

16+29-k

A.方程=1可表示圓

16+Z

B.當々＞9時，方程」——匕=1表示焦點在x軸上的橢圓

16+攵9-k

22

C.當一16＜々＜9時，方程」----匕=1表示焦點在x軸上的雙曲線

16+Z9-k

D.當方程一二——匕=1表示橢圓或雙曲線時，焦距均為10

16+左9-k

【解答】解：A中，方程------J=l（keR）,16+44-9,所以方程不表示圓的方程,

16+Z9-k

故A不正確;

22

3中，當人＞9時，方程一二----匚=1,因為16+Q9-所以方程表示焦點在x軸上

16+女9-&

的橢圓，

故8正確;

22

C中，當一16Vz＜9時，方程^------=1中，16+A＞0,9-k＞Q,方程表示焦點在x

16+k9-k

軸上的雙曲線，所以C正確；

22

。中，當方程一二——匕=1表示橢圓或雙曲線時，焦距均為10,所以。正確；

16+Z9-k

故選：BCD.

11.（5分）已知函數(shù)f（x）=2sin2x與g（x）=-2cos2x,則下列結(jié)論中正確的有（）

A.將丫=f（x）的圖象向右平移三個單位長度后可得到y(tǒng)=g（x）的圖象

4

B.將＞=f(x)+g(x)的圖象向右平移工個單位長度后可得到y(tǒng)=/(x)-g(x)的圖象

4

C.y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象關(guān)于直線*=工對稱

8

D.y=，(x)+g(x)的圖象與y=f(x)-g(x)的圖象關(guān)于直線％=工對稱

4

【解答】解：,函數(shù)/(x)=2sin2x,^(x)=-2cos2x=sin(2x-,

故將y=/(x)的圖象向右平移三個單位長度后可得到y(tǒng)=g(幻的圖象，故A正確；

4

由題意，y=f(x)+^(x)=2sin2x-cos2x=2\[1sin(2x-—),

4

y=/(%)-g(x)=2sin2x+cos2x=272sin(2x+—),

4

故將y=f(x)+g(x)的圖象向右平移工個單位長度后可得到y(tǒng)=2夜sin(2x-加)的圖象,

44

故8錯誤；

由于/(——x)=2及sin(-2x+弓)wg(x),故C錯誤；

44

當工=工時，y=/(x)+g(x)=2應sin(2x-馬=2,y=/*)-g(x)=2頁=2,

44

故它們的關(guān)于直線x=主對稱，故O正確，

4

故選：AD.

12.(5分)若非負實數(shù)a,b,。滿足a+b+c=l,則下列說法中一定正確的有()

A./+層+C?的最小值為gB.(a+A)c的最大值為:

1lL4

C.oc+Ac+ca的最大值為一D.。揚+〃丘的最大值為―

39

【解答】解：因為a?+6++,當且僅當a=b=c時取等號，

所以24+2b2+2c2..2ab+2ac+2bc,

所以3/+3b2+3c12..(a+匕+c)2=1,

故〃+匕2+/的最小值J,A正確；

3

因為(a+z?)c=(l—c)c=,,~；+.)2二;,當且僅當1—c=c,即c=g時取等號，

即(a+b)c的最大值!，B正確；

同A,1=（。+人+c>..3ac+3bc+3ca,

所以必+ac+/?G,§,當且僅當a=Z?=8時取等號，C正確；

令&=x,4c=yf

所以

a\[b+h\[c=(l-h-c)\/b+b-Jc=(1-x2-y2)+x1y=x-x3+xy(x-y)?x-x3+x--=x-^—

44

3

3X

令y(x)=x-4

2

9X4

則/'(x)=l-

易得，當0,,時，f'(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當§物k1時，f'kx)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，

24

故/(X),，〃§)=§，。正確?

故選：ACD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共2()分.

13.(5分)《墨子?經(jīng)說上》上說：“小故，有之不必然，無之必不然.體也，若有端，大故，

有之必然，若見之成見也.”這一段文字蘊含著十分豐富的邏輯思想，那么文中的“小故”

指的是邏輯中的必要條件.(選“充分條件”必要條件”“充要條件”既不充分也不必要

條件”之一填空)

【解答】解：由“小故，有之不必然，無之必不然”，

知“小故”只是構(gòu)成某一結(jié)果的幾個條件中的一個或一部分條件，

故“小故”是邏輯中的必要條件.

故答案為：必要條件.

22

14.(5分)已知拋物線6:/=-2px(p>0)的準線恰好與雙曲線G：餐一4"?、佟?。/〉。)

ab

的右準線重合，雙曲線C2的左準線與拋物線C1交于尸，Q兩點，且雙曲線的右頂點到

左準線的距離等于線段PQ的長，則雙曲線C2的離心率為3.

【解答】解：拋物線G：V=-2川(p>0)的準線為x=K,

2

-7

由題意可得￡=￡,

2c

_p_

x=2可設(shè)P(—",p),<2(——>—p),

y2=-2px22

則|PQ|=2p,

即有a=3/?，

則e=￡=3.

故答案為：3.

15.（5分）《擲鐵餅者》取材于希臘現(xiàn)實生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強健的男子

在挪鐵餅的過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的

“弓”，擲鐵餅者的手臂長約為生機，擲鐵餅者雙手之間的距離約為域〃?，“弓”所在圓

44

的半徑約為1.25加，則挪鐵餅者的肩寬約為0.39m.（精確到0.01加

【解答】解：如圖，由題意得AB==03=1.25=*,

44

則OT+QB?=A32,ZAO5=2，

從而弓形所在的弧長為：/=2.3=.

248

所以其肩寬為至-工*2=工，0.39m.

848

故答案為:0.39.

16.（5分）已知正三棱柱A8C-A4G的各條梭長均為2,則以點A為球心、2為半徑的球

與正三棱柱各個面的交線的長度之和為_2萬

【解答】解：正三棱柱ABC-44G的各條棱長均為2,

則以點4為球心、2為半徑的球與正三棱柱各個面的交線如圖，

是兩個半徑為2的圓的’的弧長，如圖AB與AC,兩部分，

4

所以以點A為球心、2為半徑的球與正三棱柱各個面的交線的長度之和為：

1“c

—x4%=2萬.

2

故答案為：2萬.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）在①A,C,B成等差數(shù)列，②a,b,c成等差數(shù)列，③sinA=8sC這三個

條件中任選一個，補充到下面的問題中并作答.

問題：在AA3C中，角A,8,C的對邊分別為a,b,c,若5sinA=3sinB,且,

求sinA的值.

【解答】解：選①A,C,5成等差數(shù)列，

因為A+B+C=;zvI3-A+3=2C,

所以C=60。，B=120°-A,

因為5sinA=3sinB=3sin（120°-A）=^-cosA+—sinA,

22

整理得7sinA=34cos4,

因為sin?A+cos2A=1且sinA>0,cosA>9,

38

選②a,b,c成等差數(shù)列，2b=a+c,

因為5sinA=3sin8,

由正弦定理得5a=3),

,,,57

型匕=—a,c--a?

33

25/?49/.2

由余弦定理得cosA=」--5--=-,因為Ae(0,萬)，

2bc2x5axla14

乙x—x-----

33

所以sinA=更；

14

選③sinA=cosC=sin弓-C),

所以A=工一?；駻+&一。二乃,

22

即A+C=M或A—C=工，

22

若A+C=代，B=工則sinB=l,

22

因為5sinA=3sinb=3,

所以sinA=°,

5

若A=C+2,則8=〃一A—C=M—2A,

22

34

因為5sinA=3sin8=3sin(--2A)=-3cos2A=-3(l-2sin2A),

整理得Gsin?A-5sinA-3=0,

解得sinA=5-回＜0(舍)或sin4=5+歷＞1(舍)，此時不存在.

1212

18.(12分)已知等差數(shù)列他“｝的前”項和為5“，且4+導=20,56=254.

(1)求數(shù)列｛““｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛"｝滿足4=4,且求數(shù)歹lj｛」一｝的前一項和7；.

bjl

【解答】解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛”“｝的公差為d,?.?%+星=20,S6=2S4,

6x54x3

s.c^+d+3〃[+3J=20,6q+?d=2(4q+d),

解得：4=3,d=2.

an=3+2(〃-1)=2〃+1.

（2）設(shè)數(shù)列｛么｝滿足偽=4,且/+]-々=4。=8〃+4,

則2=(〃-%)+(%-2.2)+……+(&-4)+4=4(2九-1+2?-3+……+3)+4

心(〃—1)(2〃—1+3)

+4=4/.

2

111z11、

--------=----Z-----=—(----------------------),

bn-14/—122/?-12〃+1

...數(shù)歹(]{_1_}的前w項和z,=4(i-』+!—1+……+—!—

-----)=—(1------)=-----

bn-123352n-\2〃+122n+l2n+l

19.（12分）近年來，手機行業(yè)的競爭已經(jīng)進入白熱化階段，各大品牌手機除了靠不斷提高

手機的性能和質(zhì)量來提升品牌競爭力，在廣告投放方面的花費也是逐年攀升，用“燒錢”來

形容毫不為過.小明對某品牌手機近5年的廣告費投入（單位：億美元）進行了統(tǒng)計，具體

數(shù)據(jù)見表：

年份代號X12345

廣告費投入y5.86.67.28.89.6

并隨機調(diào)查了300名市民對該品牌手機的喜愛情況，得到的部分數(shù)據(jù)見表:

喜歡不喜歡

50歲以下市民50

50歲以上市民6040

（1）求廣告費投入y與年份代號x之間的線性回歸方程；

（2）是否有99%的把握認為市民的年齡與對該品牌手機的喜愛度具有相關(guān)性？

（3）若以這300名市民的年齡與對該品牌手機的喜愛度的情況估計整體情況，則從這300

名市民中隨機選取3人，記選到喜歡該品牌手機且50歲以上的市民人數(shù)為X.求X的分布

列及數(shù)學期望E（X）.

.一工）（y-刃

附：①回歸直線中亍=最+4,b=—.------------,a=y-bx.

Y^-x）2

?=1

②K?=-----------------------其中〃=a+6+c+d.

（a+Z?）（c+d）（a+c）（b+d）

k2.7063.8416.63510.828

P(K—k)0.1000.0500.0100.001

【解答】解：(1)由題意可知元=：x(l+2+3+4+5)=3,

》=：x(5.8+6.6+7.2+8.8+9.6)=7.6,

5

所以君=4+1+0+1+4=10,

/=1

5

Z(x，一無)(％-歹)=(-2)X(-1.8)+(-l)x(-1)+Ox(-0.4)+1X1.2+2X2=9.8,

1=1

^(x;-x)(y,.-y)

98

所以其-...........—=0.98

10

<=i

故4=9—應=7.6-0.98x3=4.66,

所以廣告費投入y與年份代號x之間的線性回歸方程為y=0.98%+4.66；

(2)補充完整的2x2列聯(lián)表如下:

喜歡不喜歡總計

50歲以下市民15050200

50歲以上市民6040100

總計21090300

所以

“2n(ad-bc)2300x(150x40-50x60)2300x3000x3000

K"=----------------------=----------------------=-----------------?/.143>O.035

(a+6)(c+d)(a+c)S+d)200x100x210x90200x100x210x90

故有99%的把握認為市民的年齡與對該品牌手機的喜愛度具有相關(guān)性;

(3)由題意可知，X的可能取值為0,1,2,3,

從這300名市民中隨機抽取1人,是喜歡該品牌手機且50歲以上的市民的概率為里=1,

3005

所以P(X=0)=(l-」)3=f^，

5125

P(X=I)=CX(TH噎,

P(X=2)=^x(l-1)x(l)2=^,

P（X=3）=*（步擊,

故X的分布列為：

X0123

P6448121

125125125125

因為X~8（3,3,

17

所以￡：（乂）=3*1=丁

20.（12分）如圖，在四棱錐產(chǎn)一中，R4_L平面A88,AD//BC,BC=2AD,

AP=AB=AD=CD=2.

（1）求證：平面R4CJ_平面E45；

（2）若E為棱尸5匕一點（不與P,3重合），二面角E-CD-P的余弦值為姮，求竺

14PB

的值.

【解答】（1）證明：取8c的中點連結(jié)AM,

因為49//BC,BC=2AD,

所以AD//MC,AD=MC,

所以四邊形AMCD為平行四邊形，

所以AM=￡>C=2,^\AM=-BC,所以AB_LAC,

2

因為P4_L平面A8C￡>,ACu平面A8C￡>,所以以_LAC,

又A8,PAu平面243,48npA=A,所以AC，平面以3,

又ACu平面A4C,所以平面上4C_L平面R4B；

（2）解：由（1）可知，AB,AC,AP兩兩互相垂直,

以點A為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，

則B(2,0,0),C(0,2^,0),D(-l,>/3,0),P(0,0,2),

設(shè)屋=4而，0<2<l,

因為力C=(l,JJ,0),無=(0,2jJ,-2),PE=^PB=(22,0,-22),

所以就=無-而=(-2/1,26-2+22),

設(shè)平面PCD的一個法向量為萬=(x,y,z),

n-DC=0fx+^3^0

則一，即《7，

n-PC=0[2-/iy-2z=0

令y=l,則工=-點z=>/5,

故萬=J5),

設(shè)平面ECO的一個法向量為ifi=(a,b,c),

a+>/3b=0

則即.

m-EC=0-2a+2辰+(2X-2)c=o'

令人=1,則a=-6,c=退?,

1—A

故沅=(-6,1，存，

1-A

令/=匕4,則：>1,

1-A

因為二面角E-8-P的余弦值為誓,

?.\n-m\14+3/15a

所以|cosvn,tn>\=------L=J'==一匚

1訓1/I"〃+3-14

化簡可得13*-321+12=0,解得，=2或，=色(舍)，

13

所以，=!±4=2,解得；i=L,

1-23

故堂的值為L

PB3

p

21.(12分)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓W+E=l(a>6>0)的離心率為且，兩

ab2

條準線之間的距離為還.

3

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)橢圓C的上頂點為5,過點的直線/與橢圓C相交于M,N兩點(點〃，

N分別位于第一、第三象限)，若直線與乳的斜率分別為勺，k2,求匕?的取值范

圍.

【解答】解：(1)因為橢圓的離心率為且，兩條準線之間的距離為還，