線性代數(shù)第15講本講義可在網(wǎng)址或下載1第四章矩陣的特征值2在經(jīng)濟理論及其應(yīng)用的研究中,經(jīng)常需要討論有關(guān)矩陣的特征值問題.本章將對這一問題進行初步探討.有關(guān)結(jié)果在動態(tài)經(jīng)濟模型,計量經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用.特征值的討論涉及復(fù)數(shù)與多項式的理論,但限于篇幅,有些問題只能給出結(jié)論而不予證明.而且在討論過程中盡可能不涉及復(fù)數(shù),在必須涉及時只簡要給予說明3§4.1矩陣的特征值與特征向量4(一)矩陣的特征值定義4.1

設(shè)A為n階矩陣,l是一個數(shù),如果方程5Ax=lx(4.1)存在非零解向量,則稱l為A的一個特征值,相應(yīng)的非零解向量x稱為與特征值l對應(yīng)的特征向量.(注:l可能是復(fù)數(shù),A的元素和x的分量也可能是復(fù)數(shù).)(4.1)Ax=lx將(4.1)式改寫為

(lI-A)x=o(4.2)即n元齊次線性方程組6(lI-A)x=o(4.2)此方程組有解的充分必要條件為系數(shù)行列式等于零,即|lI-A|=07|lI-A|=0定義4.2

設(shè)A為n階矩陣,含有未知量l的矩

陣lI-A稱為A的特征矩陣,其行列式|lI-A|為l的n次多項式,稱為A的特征多項式,|lI-A|=0稱為A的特征方程.8Ax=lx(lI-A)x=o9(4.1)(4.2)l是矩陣A的一個特征值,則一定是|lI-A|=0的根,因此又稱特征根.若l是|lI-A|=0的ni重特征值(根),方程(lI-A)x=o的每一個非零解向量,都是相應(yīng)于l的特征向量.10以l1=4代入與特征方程對應(yīng)的齊次方程組(4.3),得11以l2=-2代入與特征方程對應(yīng)的齊次方程組(4.3),得12例2.求矩陣的特征值和特征向量.解:矩陣A的特征方程為13所以l1=2,l2=l3=1是矩陣A的特征值,"1"是矩陣A的二重特征值.14以l1=2代入特征方程對應(yīng)的齊次線性方程組(4.3),得即1516以l2=l3=1代入與特征方程對應(yīng)的齊次線性方程組,得1718例3.求矩陣的特征值與特征向量解:由19|lI-A|=(l-1)(l2+l-2)=0求解一元二次方程組l2+l-2=0得二根1和-2,因此|lI-A|=(l-1)(l2+l-2)=(l+2)(l-1)2得特征值l1=-2,l2=l3=1.20當(dāng)l1=-2有2122當(dāng)l1=l2=1有2324例4.求n階矩陣的特征值與特征向量.25解:因為=ln=a.把a代入26因此,A的特征值為l1=l2=(4.3):0x1=0,

0x2=0, ,

0xn=0這個方程的系數(shù)矩陣是零矩陣,所以任意n個線性無關(guān)的向量都是它的基礎(chǔ)解系,取單位向量組作為基礎(chǔ)解系,于是A的全部特征向量為c1e1+c2e2+

+cnen(c1,c2,

,cn不全為零)27例5.試證:n階矩陣A是奇異矩陣的充分必要條件是A有一個特征值為零.28證:必要性如果A是奇異矩陣,則|A|=0.于是|0I-A|=|-A|=(-1)n|A|=0即0是A的一個特征值.29(二)特征值與特征向量的基本性質(zhì)

定理4.1

n階矩陣A與它的轉(zhuǎn)置矩陣AT有相同的特征值.證:

由(lI-A)T=lI-AT有30|lI-AT|=|(lI-A)T|=|lI-A|得A與AT有相同的特征多項式,所以它們的特征值相同.定理4.2

設(shè)A=(aij)是n階矩陣,

如果或者有一個成立,則矩陣A的所有特征值lk(k=1,2,

,n)的模小于1,即|lk|<1

(k=1,2,

,n)31證:設(shè)l是Ａ的任意一個特征值,其對應(yīng)的特征向量為x,則Ax=lx,即設(shè)所以有32如果成立,則由l的任意性可知|lk|<1

(k=1,2,

,n)如果(2)成立,

則對矩陣AT的所有特征值,

定理成立再有A與AT有相同的特征值,

則對A

的特征值,

亦有|lk|<1

(k=1,2,

,n).33定理4.3

n階矩陣A互不相同的特征值34l1,l2,

,lm,

對應(yīng)的特征向量x1,x2,

,xm線無關(guān).證:用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)m=1時,由于特征向量不為零向量,因此定理成立.設(shè)A的m-1個互不相同的特征值l1,l2,

,lm-1,

其對應(yīng)的特征向量x1,x2,

,xm-1線性無關(guān).

現(xiàn)證明對m個互不相同的特征值l1,l2,

,lm-1,lm,

其對應(yīng)的特征向量x1,x2,xm-1,xm線性無關(guān).設(shè)

k1x1+

+km-1xm-1+kmxm=o

①35成立,以矩陣A乘①兩端,由Axi=lixi,整理后得k1l1x1++km-1lm-1xm-1+kmlmxm=o

②由①,②二式消去xm,得k1(l1-lm)x1+

+km-1(lm-1-lm)xm-1=o由歸納法所設(shè),x1,x2,ki(li-lm)=0

(i=1,2,,xm-1線性無關(guān),于是,m-1)因li-lm

0

(i=1,2,

,m-1),

因此k1=k2==km1=0,于是化為kmxm=o,又因xmo,應(yīng)有km=0,因而x1,x2,

,xm線性無關(guān).定理4.4

設(shè)n階矩陣A=(aij)n

n,A的全部特征值為l1,l2,…,ln(其中可能有重根,復(fù)根),則即A的所有特征值之和等于A的主對角線元素之和,所有特征值之積等于A的行列式.36證矩陣A的特征多項式記為f(l),則如果將|lI-A|按第一行展開,展開式中的一項為(l-a11)(l-a22)…(l-ann)而展開式中其余各項最多只含有主對角線上的n-2個元素.37因此,展開式可寫成f(l)=ln-(a11+a22+…+ann)ln-1+…+cn其中cn是f(l)的常數(shù)項.而f(0)=|0I-A|=(-1)n|A|=cn因為A的特征值為l1,l2,…,ln,又有f(l)=(l-l1)(l-l2)…(l-ln)

利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系,有

l1+l2+…+ln=a11+a22+…+ann;l1l2…ln=|A|即38§4.2相似矩陣39(一)相似矩陣及其性質(zhì)定義4.3

設(shè)A,B為n階矩陣,如果有n階非奇異矩陣P存在,使得40P-1AP=B成立,則稱矩陣A與B相似,記為A~B.例如則41所以A~B,即42定理4.4

如果n階矩陣A,B相似,則它們有相同的特征值.證:因P-1AP=B43|lI-B|=|lI-P-1AP|=|P-1(lI)P-P-1AP|=|P-1(lI-A)P|=|P-1||lI-A||P|=|lI-A|得A,B有相同的特征多項式,所以它們有相同的特征值.如上例中可見它們具有相同的特征值:l1=4,l2=-2.44利用定義4.3,我們可以證明相似矩陣還具有下述性質(zhì):45相似矩陣有相同的秩.(請自證)相似矩陣的行列式相等.證:設(shè)n階矩陣A與B相似.由定義4.3,存n,使得在非奇異矩陣PnP-1AP=B所以|P-1AP|=|B||P-1||A||P|=|B|由此可得|A|=|B|.(3)相似矩陣或都可逆或都不可逆.當(dāng)它們可逆時,它們的逆矩陣也相似.證:設(shè)n階矩陣A與B相似,由性質(zhì)2知46|A|=|