1/1《復(fù)變函數(shù)》總結(jié)復(fù)變小結(jié)

1.幅角（不贊成死記，學(xué)會(huì)分析）

y?,x?0?x????,x?0,y?0argz??2?y??,x?0,y?0?x??,x?0,y?0?

y??argtg?.2x2

-∏argz≤∏

Arg(z1z2)=Argz1+Argz2Arg(z1/z2)=Argz1-Argz2其中??

2.求根：

由z=e=r(cos?+isin?)得r(cosn?+isinn?)

當(dāng)r=1時(shí)，(cos??isin?)=(cosn??isinn?)（*1）==ni?zenin?n

當(dāng)wn?z

求方根公式(牢記!):

i??2k?

w=

?

n?cos??2

k??isin??2k??

其中k?0,1,2,?,n?1。

??icos)10

55（*2）??argz(sin例：?可直接利用（*1）式求解

可令z=1+i,利用（*2）式求解3.復(fù)函數(shù)：

a.一般狀況下：w=f(z),直接將

z=x+iy代換求解

但遇到特別狀況時(shí)：如課本P12例1.13（3）可考慮：z=ei?=r(cos?+isin?)代換。

b.對(duì)于P12例題1.11可理解為高中所學(xué)的平面上三點(diǎn)（A,B,C）共線所滿意的公式:

(向量)OC=tOA+（1-t）OB=OB+tBA

c.對(duì)于P15例題1.14中可直接轉(zhuǎn)換成X和Y的表達(dá)式后推斷正負(fù)號(hào)來確定其圖像。

d.推斷函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)是否連續(xù)可借助課本P17定義1.8

4.解析函數(shù)，指數(shù)，對(duì)數(shù)，冪、三角雙曲函數(shù)的定義及表達(dá)式，能嫻熟計(jì)算，能嫻熟解初等函數(shù)方程

a.在某個(gè)區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)與解析是等價(jià)的。但在某一點(diǎn)解析肯定可導(dǎo)，可導(dǎo)不肯定解析。

b.柯西——黎曼條件，自己牢記:（留意那個(gè)加負(fù)那個(gè)不加）c.指數(shù)函數(shù):復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)換成三角的定義。

d.只需記?。篖nz=ln[z]+i(argz+2k?)

e.冪函數(shù)：底數(shù)為e時(shí)直接運(yùn)算（一般轉(zhuǎn)換成三角形式）當(dāng)?shù)讛?shù)不為e時(shí)，w=za=eaLnz(冪指數(shù)為Ln而非ln)

i?ee?ii,?,e能夠區(qū)分：,i的計(jì)算。

f.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)：

eiz?e?izeiz?e?iz

cos只需記?。簔?,sinz?.22i

其他可自己試著去推導(dǎo)一下。?e?y?eycosiy??chy??2?(2.15)及e?y?eysiniy??ishy??2i?反三角中前三個(gè)最好自己記住，特殊Arctgz??iLn1?iz21?iz由于下一章求積分會(huì)用到

5.復(fù)變函數(shù)的積分(arctanz),?1z2?1(如第三章的習(xí)題9)

a.注：只有當(dāng)函數(shù)解析即滿意柯西-黎曼公式時(shí)求積分才與路徑無關(guān)只與出沒位置有關(guān)。（勿亂用）

例如:?zdz與路徑無關(guān)。而?zdz與路徑有關(guān)。

cc

b.柯西-古薩基本定理：當(dāng)函數(shù)f(z)在以簡潔閉曲線C為邊界的有界區(qū)域D內(nèi)解析且在閉區(qū)域上連續(xù)時(shí)：

重要公式??f(z)dz?0C

?2πi,n?0,dz

n?1??(z?z0)?0,n?0.|z?z0|?r

c.柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式及其應(yīng)用于計(jì)算積分：

1f(z)dz.(3.17)2πiz?zf(z0)?

0C0!f(f(n)(z)?nz)dz(3.20)d.調(diào)和函數(shù)：

22????n?1?2πi?(z?z)0Cn?1,2,?。

x?y?

一般與柯西-黎曼公式一起用:熟知課本P52中的例3.11中三種解法即可。

6.級(jí)數(shù)?(x,y)2?2?0

a.熟知課本P59定理4.2及其推導(dǎo)（其中1最重要）性質(zhì)。b.阿貝爾定理:推斷收斂和發(fā)散區(qū)間。

c.冪級(jí)數(shù)的收斂半徑：利用比值法和根值法。（方法同于高數(shù)級(jí)數(shù)）

d.泰勒級(jí)數(shù)：n?0f(z)??cn(z?z0)n?

1(n)成立,其中cn?f(z0),n?0,1,2,?.n!五個(gè)重要初等函數(shù)綻開式：

2znez?1?z?z?????.(4.8)2!n!

2n?1z3z5znsinz?z?????(?1)?3!5!(2n?1)!?

(4.10)

z2z4z2n

n?(cosz?1?2!?4!???1)(2n)!??

(4.11)其余可由式：

1?1?z?z2???(?1)nzn??,|z|?1.1?z

直接推導(dǎo)。（留意各綻開式的[z]取值范圍）

e.洛朗綻開式:與泰勒綻開式的主要區(qū)分在于其包含Z的負(fù)次數(shù)方冪。泰勒綻開式是洛朗綻開式的特別形式。（即當(dāng)洛朗綻開式中奇點(diǎn)為可去奇點(diǎn)時(shí)綻開式為泰勒形式）f.零點(diǎn)，奇點(diǎn)，極點(diǎn)

零點(diǎn):即使得函數(shù)f(z)=0的點(diǎn)。

奇點(diǎn)：即使得函數(shù)f(z)無意義的點(diǎn)。（P82定理4.18的三條關(guān)于孤立奇點(diǎn)的等價(jià)式實(shí)為可去奇點(diǎn)的特征）

奇點(diǎn)又分為：可去奇點(diǎn)，本性奇點(diǎn)，一般奇點(diǎn)。

可去奇點(diǎn)：即洛朗綻開式中不存在Z的負(fù)次數(shù)方冪。本性奇點(diǎn)：即綻開式中存在Z的負(fù)無窮次方冪。

一般奇點(diǎn)：即綻開式中存在Z的有限次負(fù)次數(shù)方冪。極點(diǎn)：即為奇點(diǎn)中除去可去奇點(diǎn)后的全部奇點(diǎn)。

極點(diǎn)肯定是奇點(diǎn)，但奇點(diǎn)不肯定是奇點(diǎn)。

（奇點(diǎn)簡單推斷，極點(diǎn)可借助P83定理4.19推斷同時(shí)可以學(xué)會(huì)推斷是幾階極點(diǎn)，對(duì)于第五章中求留數(shù)有用）

P84定理4.22：極點(diǎn)和零點(diǎn)的關(guān)系。

7.留數(shù)

a.留數(shù)定理：Res[f(z),z0]?1

2?i??f(z)dz

C(5.3)

利用課本P93-94三種情形及第五章中推斷極點(diǎn)的階數(shù)求留數(shù)（沒什么特別方法，盼望大家通過多練來把握）

f(z),b.z)dz?2πi?Res[zk].(5.7)f(

Ck?1n

有些狀況下利用留數(shù)和定理：

Res[f(z),?]??Res[f(z),zk]k?1n

?1

2πiC?f(z)dz?12πiCf(z)dz?0.更便于求解

??1?1?特別轉(zhuǎn)換：Res[f(z),?]??Res?f?z??z2,0?????

c.用留數(shù)計(jì)算實(shí)積分：

2π?0R(cos?,sin?)d?

形如：的積分，一般令z=ei?使用條件：R(x,y)變量x，y的有理函數(shù)，并且在單位圓上分母不為零。

形如?????R(x)dx的積分

使用條件：函數(shù)R(x)是x的有理函數(shù),而分母的次數(shù)至少比分子的次數(shù)高二次,并且R(x)在實(shí)軸上沒有孤立奇點(diǎn)時(shí),積分是存在的.

??

形如：???eixf(x)dx的積分

使用條件:其中f(z)在Imz≥0內(nèi)除可能有有限各孤立奇點(diǎn)外到處解析，并且當(dāng)z在Imz≥0上時(shí)P104引理5.3中（5.15）式成立。（詳細(xì)理解大家可參考課本中的例題）

老師所給劃題目：P22-例、P26-例、P33-3

P26-例、P33-1P55-7（1、2）、相關(guān)例子P46-例、P47例、P55-8P88-11（1-6）P79-