綜合復(fù)習(xí)資料高中化學(xué)第4練用好基本不等式[題型分析·高考展望]基本不等式是解決函數(shù)值域、最值、不等式證明、參數(shù)范圍問題的有效工具，在高考中經(jīng)?？疾?，有時(shí)也會(huì)對(duì)其單獨(dú)考查.題目難度為中等偏上.應(yīng)用時(shí)，要注意“拆、拼、湊”等技巧，特別要注意應(yīng)用條件，只有具備公式應(yīng)用的三個(gè)條件時(shí)，才可應(yīng)用，否則可能會(huì)導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤.?？碱}型精析題型一利用基本不等式求最大值、最小值1.利用基本不等式求最值的注意點(diǎn)(1)在運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，必須保證“一正，二定，三相等”，湊出定值是關(guān)鍵.(2)若兩次連用基本不等式，要注意等號(hào)的取得條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò).2.結(jié)構(gòu)調(diào)整與應(yīng)用基本不等式基本不等式在解題時(shí)一般不能直接應(yīng)用，而是需要根據(jù)已知條件和基本不等式的“需求”尋找“結(jié)合點(diǎn)”，即把研究對(duì)象化成適用基本不等式的形式.常見的轉(zhuǎn)化方法有(1)x＋eq\f(b,x－a)＝x－a＋eq\f(b,x－a)＋a(x>a).(2)若eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，則mx＋ny＝(mx＋ny)×1＝(mx＋ny)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))≥ma＋nb＋2eq\r(abmn)(字母均為正數(shù)).例1(1)(2015·山東)定義運(yùn)算“?”：x?y＝eq\f(x2－y2,xy)(x，y∈R，xy≠0)，當(dāng)x＞0，y＞0時(shí)，x?y＋(2y)?x的最小值為________.(2)函數(shù)y＝eq\f(\r(x－1),x＋3＋\r(x－1))的最大值為________.點(diǎn)評(píng)求條件最值問題一般有兩種思路：一是利用函數(shù)單調(diào)性求最值；二是利用基本不等式.在利用基本不等式時(shí)往往都需要變形，變形的原則是在已知條件下通過變形湊出基本不等式應(yīng)用的條件，即“和”或“積”為定值.等號(hào)能夠取得.變式訓(xùn)練1(2015·重慶)設(shè)a，b＞0，a＋b＝5，則eq\r(a＋1)＋eq\r(b＋3)的最大值為________.題型二基本不等式的綜合應(yīng)用例2(1)(2015·深圳模擬)某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元，若每批生產(chǎn)x件，則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為eq\f(x,8)天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()A.60件 B.80件C.100件 D.120件(2)如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(1，eq\f(1,2))到拋物線C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線的距離為eq\f(5,4).點(diǎn)M(t,1)是C上的定點(diǎn)，A，B是C上的兩動(dòng)點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)Q(m，n)在直線OM上.①求曲線C的方程及t的值；②記d＝eq\f(|AB|,\r(1＋4m2))，求d的最大值.點(diǎn)評(píng)基本不等式及不等式性質(zhì)應(yīng)用十分廣泛，在最優(yōu)化實(shí)際問題，平面幾何問題，代數(shù)式最值等方面都要用到基本不等式，應(yīng)用時(shí)一定要注意檢驗(yàn)“三個(gè)條件”是否具備.變式訓(xùn)練2(2015·陜西)設(shè)f(x)＝lnx,0＜a＜b，若p＝f(eq\r(ab))，q＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，r＝eq\f(1,2)(f(a)＋f(b))，則下列關(guān)系式中正確的是()A.q＝r＜p B.q＝r＞pC.p＝r＜q D.p＝r＞q高考題型精練1.(2014·重慶)若log4(3a＋4b)＝log2eq\r(ab)，則a＋b的最小值是()A.6＋2eq\r(3) B.7＋2eq\r(3)C.6＋4eq\r(3) D.7＋4eq\r(3)2.(2015·濟(jì)南模擬)已知x>1，y>1，且eq\f(1,4)lnx，eq\f(1,4)，lny成等比數(shù)列，則xy()A.有最大值e B.有最大值eq\r(e)C.有最小值e D.有最小值eq\r(e)3.小王從甲地到乙地往返的時(shí)速分別為a和b(a<b)，其全程的平均時(shí)速為v，則()A.a<v<eq\r(ab) B.v＝eq\r(ab)C.eq\r(ab)<v<eq\f(a＋b,2) D.v＝eq\f(a＋b,2)4.若函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x>2)在x＝a處取最小值，則a等于()A.1＋eq\r(2) B.1＋eq\r(3)C.3 D.45.(2015·蘭州模擬)一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a、b、c∈(0,1))，已知他投籃一次得分的均值為2，則eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)的最小值為()A.eq\f(32,3) B.eq\f(28,3)C.eq\f(14,3) D.eq\f(16,3)6.(2015·北京海淀區(qū)模擬)已知a>0，b>0，若不等式eq\f(m,3a＋b)－eq\f(3,a)－eq\f(1,b)≤0恒成立，則m的最大值為()A.4 B.16C.9 D.37.已知m＝a＋eq\f(1,a－2)(a>2)，n＝x－2(x≥eq\f(1,2))，則m與n之間的大小關(guān)系為________.8.已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y，若eq\f(1,x)＋eq\f(m,y)(m>0)的最小值為3，則m的值為________.9.(2015·天津)已知a＞0，b＞0，ab＝8，則當(dāng)a的值為________時(shí)，log2a·log2(2b)取得最大值.10.(2014·湖北)某項(xiàng)研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過測(cè)量點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時(shí))與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)，平均車長(zhǎng)l(單位：米)的值有關(guān)，其公式為F＝eq\f(76000v,v2＋18v＋20l).(1)如果不限定車型，l＝6.05，則最大車流量為________輛/時(shí)；(2)如果限定車型，l＝5，則最大車流量比(1)中的最大車流量增加________輛/時(shí).11.(1)已知0<x<eq\f(2,5)，求y＝2x－5x2的最大值；(2)求函數(shù)y＝eq\f(x2＋7x＋10,x＋1)(x>－1)的最小值.12.如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn).已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y＝kx－eq\f(1,20)(1＋k2)x2(k>0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo).(1)求炮的最大射程；(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說明理由.

答案精析第4練用好基本不等式?？碱}型精析例1(1)eq\r(2)(2)eq\f(1,5)解析(1)由題意，得x?y＋(2y)?x＝eq\f(x2－y2,xy)＋eq\f(2y2－x2,2yx)＝eq\f(x2＋2y2,2xy)≥eq\f(2\r(x2·2y2),2xy)＝eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\r(2)y時(shí)取等號(hào).(2)令t＝eq\r(x－1)≥0，則x＝t2＋1，所以y＝eq\f(t,t2＋1＋3＋t)＝eq\f(t,t2＋t＋4).當(dāng)t＝0，即x＝1時(shí)，y＝0；當(dāng)t>0，即x>1時(shí)，y＝eq\f(1,t＋\f(4,t)＋1)，因?yàn)閠＋eq\f(4,t)≥2eq\r(4)＝4(當(dāng)且僅當(dāng)t＝2時(shí)取等號(hào))，所以y＝eq\f(1,t＋\f(4,t)＋1)≤eq\f(1,5)，即y的最大值為eq\f(1,5)(當(dāng)t＝2，即x＝5時(shí)y取得最大值).變式訓(xùn)練13eq\r(2)[∵a，b＞0，a＋b＝5，∴(eq\r(a＋1)＋eq\r(b＋3))2＝a＋b＋4＋2eq\r(a＋1)eq\r(b＋3)≤a＋b＋4＋(eq\r(a＋1))2＋(eq\r(b＋3))2＝a＋b＋4＋a＋b＋4＝18，當(dāng)且僅當(dāng)a＝eq\f(7,2)，b＝eq\f(3,2)時(shí)，等號(hào)成立，則eq\r(a＋1)＋eq\r(b＋3)≤3eq\r(2)，即eq\r(a＋1)＋eq\r(b＋3)最大值為3eq\r(2).]例2(1)B[平均每件產(chǎn)品的費(fèi)用為y＝eq\f(800＋\f(x2,8),x)＝eq\f(800,x)＋eq\f(x,8)≥2eq\r(\f(800,x)×\f(x,8))＝20，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(800,x)＝eq\f(x,8)，即x＝80時(shí)取等號(hào).所以每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品80件，才能使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小.](2)解①y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)，∴1－(－eq\f(p,2))＝eq\f(5,4)，p＝eq\f(1,2)，∴拋物線C的方程為y2＝x.又點(diǎn)M(t,1)在曲線C上，∴t＝1.②由①知，點(diǎn)M(1,1)，從而n＝m，即點(diǎn)Q(m，m)，依題意，直線AB的斜率存在，且不為0，設(shè)直線AB的斜率為k(k≠0).且A(x1，y1)，B(x2.y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝x1，,y\o\al(2,2)＝x2，))得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，故k·2m＝1，∴直線AB的方程為y－m＝eq\f(1,2m)(x－m)，即x－2my＋2m2－m＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2my＋2m2－m＝0，,y2＝x))消去x，整理得y2－2my＋2m2－m＝0，∴Δ＝4m－4m2>0，y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－m.從而|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·|y1－y2|＝eq\r(1＋4m2)·eq\r(4m－4m2)＝2eq\r(1＋4m2m－m2)∴d＝eq\f(|AB|,\r(1＋4m2))＝2eq\r(m1－m)≤m＋(1－m)＝1，當(dāng)且僅當(dāng)m＝1－m，即m＝eq\f(1,2)時(shí)，上式等號(hào)成立，又m＝eq\f(1,2)滿足Δ＝4m－4m2>0.∴d的最大值為1.變式訓(xùn)練2C[∵0＜a＜b，∴eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)，又∵f(x)＝lnx在(0，＋∞)上為增函數(shù)，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))＞f(eq\r(ab))，即q＞p.又r＝eq\f(1,2)(f(a)＋f(b))＝eq\f(1,2)(lna＋lnb)＝eq\f(1,2)lna＋eq\f(1,2)lnb＝ln(ab)eq\f(1,2)＝f(eq\r(ab))＝p.故p＝r＜q.選C.]高考題型精練1.D[由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(ab)>0，,ab≥0，,3a＋4b>0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,b>0.))又log4(3a＋4b)＝log2eq\r(ab)，所以log4(3a＋4b)＝log4ab，所以3a＋4b＝ab，故eq\f(4,a)＋eq\f(3,b)＝1.所以a＋b＝(a＋b)(eq\f(4,a)＋eq\f(3,b))＝7＋eq\f(3a,b)＋eq\f(4b,a)≥7＋2eq\r(\f(3a,b)·\f(4b,a))＝7＋4eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3a,b)＝eq\f(4b,a)時(shí)取等號(hào).故選D.]2.C[∵x>1，y>1，且eq\f(1,4)lnx，eq\f(1,4)，lny成等比數(shù)列，∴l(xiāng)nx·lny＝eq\f(1,4)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx＋lny,2)))2，∴l(xiāng)nx＋lny＝lnxy≥1?xy≥e.]3.A[設(shè)甲、乙兩地相距s，則小王往返兩地用時(shí)為eq\f(s,a)＋eq\f(s,b)，從而v＝eq\f(2s,\f(s,a)＋\f(s,b))＝eq\f(2ab,a＋b).∵0<a<b，∴eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)，eq\f(2ab,a＋b)>eq\f(2ab,2b)＝a，∴eq\f(2,a＋b)<eq\f(1,\r(ab))，即eq\f(2ab,a＋b)<eq\r(ab)，∴a<v<eq\r(ab).]4.C[f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)＝x－2＋eq\f(1,x－2)＋2.∵x>2，∴x－2>0.∴f(x)＝x－2＋eq\f(1,x－2)＋2≥2eq\r(x－2·\f(1,x－2))＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝eq\f(1,x－2)，即x＝3時(shí)，“＝”成立.又f(x)在x＝a處取最小值.∴a＝3.]5.D[由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，其中0<a<eq\f(2,3)，0<b<1.又eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)＝eq\f(3a＋2b,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)＋\f(1,3b)))＝3＋eq\f(1,3)＋eq\f(2b,a)＋eq\f(a,2b)≥eq\f(10,3)＋2eq\r(\f(2b,a)·\f(a,2b))＝eq\f(16,3)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2b,a)＝eq\f(a,2b)，即a＝2b時(shí)取“等號(hào)”，又3a＋2b＝2，即當(dāng)a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)時(shí)，eq\f(2,a)＋eq\f(1,3b)的最小值為eq\f(16,3)，故選D.]6.B[因?yàn)閍>0，b>0，所以由eq\f(m,3a＋b)－eq\f(3,a)－eq\f(1,b)≤0恒成立得m≤(eq\f(3,a)＋eq\f(1,b))(3a＋b)＝10＋eq\f(3b,a)＋eq\f(3a,b)恒成立.因?yàn)閑q\f(3b,a)＋eq\f(3a,b)≥2eq\r(\f(3b,a)·\f(3a,b))＝6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立，所以10＋eq\f(3b,a)＋eq\f(3a,b)≥16，所以m≤16，即m的最大值為16，故選B.]7.m≥n[m＝a＋eq\f(1,a－2)＝(a－2)＋eq\f(1,a－2)＋2≥4(a>2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝3時(shí)，等號(hào)成立.由x≥eq\f(1,2)得x2≥eq\f(1,4)，∴n＝x－2＝eq\f(1,x2)≤4即n∈(0,4]，∴m≥n.)8.4解析由2x－3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y得x＋y＝3，則eq\f(1,x)＋eq\f(m,y)＝eq\f(1,3)(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(m,y)))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋m＋\f(y,x)＋\f(mx,y)))≥eq\f(1,3)(1＋m＋2eq\r(m))，∴eq\f(1,3)(1＋m＋2eq\r(m))＝3，即(eq\r(m)＋1)2＝9，解得m＝4.9.4解析log2a·log2(2b)＝log2a·(1＋log2b)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log2a＋1＋log2b,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log2ab＋1,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log28＋1,2)))2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)log2a＝1＋log2b，即a＝2b時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)a＝4，b＝2.10.(1)1900(2)100解析(1)當(dāng)l＝6.05時(shí)，F(xiàn)＝eq\f(76000v,v2＋18v＋121)＝eq\f(76000,v＋\f(121,v)＋18)≤eq\f(76000,2\r(v·\f(121,v))＋18)＝eq\f(76000,22＋18)＝1900.當(dāng)且僅當(dāng)v＝11米/秒時(shí)等號(hào)成立，