二十一數(shù)學分析期終考試題一敘述題：每小題5分,共15分1開集和閉集2函數(shù)項級數(shù)的逐項求導定理3Riemann可積的充分必要條件二計算題：每小題7分,共35分x1xdx91、31x(yb)2b2(0ab)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積2、求23、求冪級數(shù)1n2xn的收斂半徑和收斂域(1)nn1x2y24、limx01x2y21y0f(x,y,z)xxy2yz2,l為從點5、P2,-1,2到點-1,1,2的方向,求fP0l0三討論與驗證題：每小題10分,共30分1x2y2(xy2)sinx2y0221、已知f(x,y),驗證函數(shù)的偏導數(shù)在原點0x0,y0不連續(xù),但它在該點可微2、討論級數(shù)lnn21的斂散性;n21n13、討論函數(shù)項級數(shù)(xxn1nx[1,1]的一致收斂性;nn1)n1四證明題：每小題10分,共20分1若f(x)dx收斂,且fx在a,+∞上一致連續(xù)函數(shù),則有l(wèi)imf(x)0xa2設二元函數(shù)f(x,y)在開集f(x,y)f(x,y'')Ly'y''其中(x,y'),(x,y'')D,L為常數(shù)證明f(x,y)在D內(nèi)連續(xù)DR2內(nèi)對于變量x是連續(xù)的,對于變量y滿足Lipschitz條件：';參考答案一、1、若集合S中的每個點都是它的內(nèi)點,則稱集合S為開集；若集合S中包含了它的所有的聚點,則稱集合S為閉集;2設函數(shù)項級數(shù)u(x)滿足1()(1,2,)uxn在a,b連續(xù)可導nnn1a)b)u(x)在a,b點態(tài)收斂于S(x)nn1u'(x)在a,b一致收斂于(x)nn1則S(x)=u(x)在a,b可導,且ddu(x)u(x)dxdxnnnn1n1n13、有界函數(shù)f(x)在a,b上可積的充分必要條件是,對于任意分法,當max(x)0時Darboux大和與Darboux小和的極限相等i1in4687二、1、令t1x2分9x31xdx32(1t3)t3dt5分3102、yba2x2,yba2x2,2分所求的體積為：12aa(y2y2)dx22a2b5分12(11)n11n111]收斂半徑為4分,當een3、解：由于lim[()n1(1(1n)n1)n1n1x時,(11)n2()n(1)n10(n),所以收斂域為(,)3分1111eneeex2y2(x2y2)(1x2y21)4、limlimlim(1x2y21)27x01x2y21x0(1x2y21)(1x2y21)x0y0y0y0分5、解：設極坐標方程為f(2,1,2)2,f(2,1,2)0.f(2,1,2)4分4xyz6f(2,1,2)3分l131x2y2x2y211x2y22x(sincos)x2y20x2y20三、1、解、f4分由于x01x2y21x2y2cos當趨于0,0無極限;所以不連續(xù),同理可的f也不連續(xù),2分yn212、解：n212ln2limn15分收斂,所以原級數(shù)收斂25分n1n1n21Sxxxn113、解：部分和()3分,0,取N,nN時有n1nS(x)xx,所以級數(shù)一致收斂7分n11n1nn四、證明題每小題10分,共20分1、證明：用反證法f(x),3分又因為在fx在a,∞上一XaxX,使得000,.,0若結(jié)論不成立,則0f(x)f(x'')0,3分于'2,有xxa,只要x'x(0,1),,0致連續(xù)函數(shù),'''''0是Aa,令XA1,取上述使的點,不妨設f(x)xX,f(x)0,則對任000000022分別等于意滿足xx的x,有f(x)f(x)00取A和A0‘x0和2000xf(x)dx不收斂,矛盾4分fxdxA',則()有,由Cauchy收斂定理,020200Aa2、證明：xy(,)D,由Lipschitz條件00f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)000000Lyyf(x,y)f(x,y)1,6分又由二元函數(shù)DR2內(nèi)對于變f(x,y)在開集0000量x是連續(xù)的,1式的極限為0,f(x,y)在(x,y)連續(xù),因此f(x,y)在D內(nèi)連續(xù)4分00二十二數(shù)學分析期末考試題一敘述題：每小題5分,共15分1Darboux和2無窮限反常積分的Cauchy收斂原理3Euclid空間二計算題：每小題7分,共35分nn!1、limnn2、求由下列兩條曲線圍成的平面圖形的面積y2x22yx23、Iexnxndxn是非負整數(shù)0u24、設uf(x2yz2,xyz),f具有二階連續(xù)偏導數(shù),求2zx()的冪級數(shù)展開式fxe5、求x三討論與驗證題：每小題10分,共20分1、討論二元函數(shù)連續(xù)、偏可導、可微之間的關系;對肯定的結(jié)論任選一進行證明；對否定的結(jié)論,給出反例cosnx2、討論級數(shù)(0x)的絕對和條件收斂性;npn1四證明題：每小題10分,共30分xtf(t)dtg(x)1fx在0,+∞上連續(xù)且恒有fx>0,證明在0,+∞上單調(diào)增加0xf(t)dt0正項級數(shù)x收斂,x單調(diào)減少,證明limnx0nnn2設nn1yx2y3f(x,y)limf(x,y)不存在x0,證明：y0參考答案Pxb和記法,axx一、1、有界函數(shù)種分f(x)定義在[a,b]上,給一01nMsupf(x),[x,x],minff(x),[x,x],則ii1iii1iPmx分別稱為相應于分法的Darboux大和和iiS(P)nMx,S(P)niii1i1Darboux小和;0.2、Na使得f(x)dxmnN,成立nm3、Rn向量空間上定義內(nèi)積運算x,yxyxy構(gòu)成Euclid空間11nnn二、1、由于limlnn!lim((lni)nlnn)limlni11lnxdx171nnnnnnnnni10i1分2、解：兩曲線的交點為2,2,0,0,2分所求的面積為：2(2xx)dx5分422303、解：Iexxndxn0=xnex|+nexxdx=nI1exxndx+exxndx6分n1n10001In!1分n4、：=2fxyzf3分2u2x(2zfxyf)yfyz(2zfxyf)4分uxzx12111222122ex5、解：由于余項r(x)(n1)!xn10(n),3分所以nex1xx2!xn4分n!2三、1、解、可微必可偏導和連續(xù),證明可看課本133頁4分,可偏導不一定連續(xù)和可微例子可看課本135頁6分2、解：當p1時,級數(shù)絕對收斂,4分當0p1,由Dirichlet定理知級數(shù)收斂,但cosnxcos2nx1cos2nx2np|cosnx|發(fā)散,即級數(shù)條件收斂4分,當np,所以npnp2npn1p0時,級數(shù)的一般項不趨于0,所以級數(shù)不收斂2分四、證明題每小題10分,共30分0(xf(t)dt)2xf(x)xf(t)dtf(x)xtf(t)dtf(x)x(xf(t)tf(t))dt(xf(t)dt)21證明：()gx08分'0000所以函數(shù)單調(diào)增加2分nnm2證明：m,nm,有(nm)xxx由此得nxx,4分由級數(shù)收m1nmnmnnnmx斂,故0可取定使得m1,故使得0nnn時,有0,又lim0m00nnm2nn00nx2,4分于是當時,有,得證2分nxx0x2xx21,所以23、證明：limf(x,y)limx01limf(x,y)limx0x0x2x2yxyx2limf(x,y)不存在10分x0y0二十三數(shù)學分析期末考試題一敘述題：每小題5分,共15分1微積分基本公式2無窮項反常積分3緊幾合二計算題：每小題7分,共35分dx211x4d[dxdt]x21、1t402、求由下列兩條曲線圍成的平面圖形的面積yx2yx2n(n2)xn的收斂半徑和收斂域3、求n14、設uxeyzey,求偏導數(shù)和全微分z1xy15、limx0xyy0三討論與驗證題：每小題10分,共30分x2y2x2y2(xy)21討論f(x,y)的二重極限和二次極限dx12討論的斂散性explnx03、討論函數(shù)項f(x)xnxn1n(0x的一致收斂性;1)()()xuf(x)dxdu四證明題：每小題10分,共20分1設fx連續(xù),證明fuxudux000uuxuy(x2y2)滿足2證明yxuxyy參考答案一、1、設f(x)在[a,b]連續(xù),F(x)是f(x)在[a,b]上的一個原函數(shù),則成立bf(x)dxF(b)F(a);a2、設函數(shù)f(x)在[a,)有定義,且在任意有限區(qū)間[a,A]上可積;若極限limAf(x)dx存在,則稱反常積分收斂,否則稱反常積分發(fā)散Aa3、如果S的任意一個開覆蓋U中總存在一個有限子覆蓋,,即存在U中的有限個開集U,滿足US,則稱為緊集kSkii1i1i1x4]=dx2d二、1、[dxdtdxdt2xx227分1t41t41x8dx0102、解：兩曲線的交點為-2,4,1,1,2分所求的面積為：1(22xx2)dx925分nn,收斂半徑為14分,由于x1時,級數(shù)不收斂,所以級3：limn(2)1n數(shù)的收斂域為-1,13分uuyyz=xzeyz1u=xyeez4分4：x=eyzzdueyzdx(xzeyz1)dy(xyeyzez)dz3分1xy1lim(1xy1)(1xy1)15、解：limx07分xy(1xy1)xy2x0y0y01k10k1,所以重極限x2y2(x,kx)(0,0)x2y2(xy)2三、1、解、由于沿ykx趨于0,0時,lim不存在5分x2y2x2y2limlyim0x2y2(xy)20,limlimx2y2(xy)20,5分x0y0x01p1dx12：0p1,由于0(x0)故p1收斂4分；,由于xplnxx2explnx0收斂,1p,1px21dxdx11(x)4分故,發(fā)散2eexplnxxplnxxlnx00分;3、limf(x)0f(x)3nnnn分,limsupf(x)f(