2022-2023學(xué)年江西省撫州市高一下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合的交、并、補(bǔ)運算法則，直接進(jìn)行運算即可.【詳解】,又.故選：2．（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)根式運算求解.【詳解】由題意可得：.故選：C.3．若與的終邊互為反向延長線，則有（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，可得，，進(jìn)而求解.【詳解】因為與的終邊互為反向延長線，所以，，即，.故選：D.4．如圖所示，用符號語言可表達(dá)為（

）

A．，， B．，，C．，，， D．，，，【答案】A【分析】結(jié)合圖形及點、線、面關(guān)系的表示方法判斷即可．【詳解】如圖所示，兩個平面與相交于直線，直線在平面內(nèi)，直線和直線相交于點，故用符號語言可表達(dá)為，，，故選：A．5．在四邊形ABCD中，若，且||=||，則四邊形ABCD為（

）A．菱形 B．矩形C．正方形 D．不確定【答案】B【分析】由向量相等的定義得出四邊形邊的關(guān)系，再由向量的模相等得四邊形對角線相等，從而可得四邊形形狀．【詳解】若，則AB=DC，且AB∥DC，所以四邊形ABCD為平行四邊形.又因為||=||，即AC=BD，所以四邊形ABCD為矩形.故選：B．6．如圖，某四邊形的直觀圖是正方形，且，則原四邊形的面積等于（

）

A．2 B． C．4 D．【答案】D【分析】求出正方形的面積，根據(jù)直觀圖和原圖形面積之間的關(guān)系，即可求得答案.【詳解】由題意可知，即，故，所以，則原四邊形的面積為，故選：D7．如圖，在正方體中，截去三棱錐，若剩余的幾何體的表面積是，那么正方體的內(nèi)切球的表面積和其外接球的體積分別是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】設(shè)正方體棱長為，根據(jù)剩余幾何體的表面積可求出再由正方體的內(nèi)切球直徑為1，外接球直徑分別求出內(nèi)切球的表面積和其外接球的體積即可.【詳解】設(shè)正方體棱長為,則剩余幾何體的表面積為所以則正方體的內(nèi)切球直徑表面積，正方體的外接球直徑，體積，故選：A.8．在直角梯形ABCD中，，點E為BC邊上一點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量運算的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合配方法進(jìn)行求解即可.【詳解】建立如圖所示的直角坐角坐標(biāo)系，過作，垂足為，因為，所以有，

，設(shè)，，因此有因為，所以有，而，所以，當(dāng)時，有最大值，當(dāng)，xy有最小值，所以的取值范圍是故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量運算的坐標(biāo)表示公式是解題的關(guān)鍵.二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．終邊在y軸上的角的集合為B．若是第二象限角，則是第一或第三象限角C．三角形的內(nèi)角必是第一或第二象限角D．已知扇形的面積為4，圓心角為2弧度，則該扇形的弧長為4.【答案】BD【分析】對于選項A，根據(jù)終邊在y軸上的角的集合為，即可判斷選項A錯誤；對于選項B，先求出角的范圍，再求出的范圍，即可判斷出選項B正確；對于選項C，易知三角形為直角三角形時，選項C錯誤；對于選項D，利用扇形面積公式和弧長公式，即可求出弧長，從而判斷選項D正確；【詳解】選項A，終邊在y軸上的角的集合為，故選項A錯誤；選項B，因為是第二象限角，所以，故，當(dāng)時，，此時，是第一象限角，當(dāng)時，，此時，是第三象限角，故選項B正確；選項C，三角形為直角三角形時，因為直角不是象限角，故選項C錯誤；選項D，由扇形面積公式知，，即，所以弧長,故選項D正確.故選：BD.10．某長方體的長、寬、高分別為4，2，1，則（

）A．該長方體的體積為8 B．該長方體的體對角線長為C．該長方體的表面積為24 D．該長方體外接球的表面積為21π【答案】ABD【分析】根據(jù)長方體的結(jié)構(gòu)特征，由表面積以及體積公式即可結(jié)合選項逐一求解.【詳解】該長方體的體積為4×2×1=8，體對角線長為，表面積為，由于長方體的體對角線為其外接球的直徑，所以外接球的表面積為．故ABD正確，C錯誤，故選：ABD11．已知函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則（

）

A． B．C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．在上的值域為【答案】ACD【分析】對于A，由圖象可知，可求出，對于B，和可出的值，對于C，由可求出對稱軸，對于D，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】依題意得，因為，所以，所以A正確.因為，所以，解得.因為，所以，所以當(dāng)時，，所以B錯誤.因為，所以令，解得，則的圖象關(guān)于直線對稱，C正確.因為當(dāng)時，，所以，所以在上的值域為，所以D正確.故選：ACD12．已知三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則下列選項正確的是（

）A．的取值范圍是B．若D是AC邊上的一點，且，，則的面積的最大值為C．若三角形是銳角三角形，則的取值范圍是D．若三角形是銳角三角形，BD平分交AC于點D，且，則的最小值為【答案】AC【分析】A選項，由正弦定理和余弦定理得到，從而求出，結(jié)合三角恒等變換得到，結(jié)合，求出答案；B選項，整理得到，兩邊平方后得到，由基本不等式求出，進(jìn)而求出面積最值；C選項，變形得到，根據(jù)，得到答案；D選項，由角平分線以及面積公式得，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】A選項，因為,所以，所以，即，由余弦定理得，即，又，所以，，因為，所以，所以，所以，故A正確；B選項，因為，所以，所以，又，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，即的面積的最大值為，故B錯誤；，因為，所以，所以，所以，所以，故C正確；D選項，由題意得：，由角平分線以及面積公式得，化簡得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，而，所以，與三角形是銳角三角形矛盾，所以等號不成立,故D錯誤；故選：AC【點睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.三、填空題13．.（用“”、“”或“”填空）【答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】因為，當(dāng)時，隨著的增大而增大，因為，故.故答案為：.14．已知，，點在線段的延長線上，且，則點的坐標(biāo)為.【答案】【分析】由向量共線的坐標(biāo)運算求解.【詳解】點在線段的延長線上，與方向相反，由，則有，設(shè)，則，即，解得，故點的坐標(biāo)為.故答案為：15．已知圓錐的底面半徑為，為底面圓心，，為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用三角形面積公式求出圓錐的母線長，進(jìn)而求出圓錐的高，求出體積作答.【詳解】在中，，而，取中點，連接，有，如圖，

，，由的面積為，得，解得，于是，所以圓錐的體積.故答案為：16．已知函數(shù)，若實數(shù)滿足對任意實數(shù)恒成立，則.【答案】//【分析】化簡得到，根據(jù)中心對稱得到恒成立，對比等式得到，，且，代入計算得到，得到答案.【詳解】，，取，函數(shù)關(guān)于點對稱，其中滿足，，故恒成立，又恒成立，故，，且恒成立，即，代入整理得到：恒成立，當(dāng)，時成立，即，，此時，故.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了三角恒等變換，恒成立問題，函數(shù)的中心對稱的性質(zhì)，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)中心對稱得到恒成立是解題的關(guān)鍵.四、解答題17．已知復(fù)數(shù)，其中.(1)若且，求的值；(2)若，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)列出方程組，求出，排除不合要求的解；（2）根據(jù)得到方程組，消元得到，結(jié)合，求出答案.【詳解】（1）因為，所以，解得，因為，所以，當(dāng)時，，不符合條件，當(dāng)時，滿足，綜上，.（2）若，則，所以，即，所以，即，解得，又因為，所以.18．已知函數(shù)，其中，且.(1)求；(2)若，求的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）代入，即可求的值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，首先求的范圍，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)的值域.【詳解】（1），，得；（2），，，當(dāng)時，即，函數(shù)取得最小值，當(dāng)時，即，函數(shù)取得最大值，所以函數(shù)的值域是.19．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.(1)求的值；(2)若，角的平分線與交于點，，求的面積.【答案】(1)2(2)3【分析】（1）根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，結(jié)合正弦和角公式即可得到答案；（2）根據(jù)面積法求得，，再在兩個三角形中分別運用余弦定理，結(jié)合已知條件進(jìn)行化簡計算得到，，再根據(jù)余弦定理計算得到，進(jìn)而得到，最后根據(jù)三角形面積公式計算即可.【詳解】（1）因為，所以，由正弦定理得，，所以，由正弦定理得，（2）設(shè)，因為，，所以，.在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，將，代入，得，即，又因為，所以，，得，代入上式得，，，所以，因為，所以，所以.20．如圖，四棱錐的底面是正方形，平面，，，點是上的點，且，

(1)若，求和所成角的余弦值；(2)設(shè)二面角的大小為，直線與平面所成的角為，求出的最大值，并指出此時的取值【答案】(1)0(2)；【分析】（1）可先證明，通過平面即可得證；（2）首先利用線面角的定義，以及垂線法，找出和，再用表示出和，代入，利用基本不等式求最值，即可求解.【詳解】（1）證明：連接BE，BD，由底面ABCD是正方形可得ACBD，又SD平面ABCD，平面ABCD，所以，因為平面BCD，且，所以，平面BSD對任意的,平面BSD，都有.所以當(dāng)時，和所成角的余弦值為0.

（2）由SD平面ABCD,平面，所以，又因為，，平面，所以平面，所以，由SD平面ABCD，CD平面ABCD，SDCD；又底面ABCD是正方形，CDAD，而SDAD=D，平面SAD所以CD平面SAD.因為平面SAD所以AECD，連接AE、CE，過點D在平面SAD內(nèi)作DFAE于F，連接CFDFCF=F，平面CFD,所以AE平面CFD.因為平面CFD,因為CFAE，故是二面角C-AE-D的平面角，即.在Rt中，，BD=2a，，，；在Rt中，AD=，DE=，，從而；在Rt中，.,，當(dāng)，即時等號成立，此時的最大值為.所以，即為所求.21．某海岸的A哨所在凌晨1點15分發(fā)現(xiàn)哨所北偏東方向20nmile處的D點出現(xiàn)可疑船只，因天氣惡劣能見度低，無法對船只進(jìn)行識別，所以將該船雷達(dá)特征信號進(jìn)行標(biāo)記并上報周圍哨所．早上5點15分位于A哨所正西方向20nmile的B哨所發(fā)現(xiàn)了該可疑船只位于B哨所北偏西方向60nmile處的E點，并識別出其為走私船，立刻命令位于B哨所正西方向30nmile處C點的我方緝私船前往攔截，已知緝私船速度大小為30nmile/h．（假設(shè)所有船只均保持勻速直線航行）

(1)求走私船的速度大小；(2)緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船，并求出截獲走私船的具體時間．【答案】(1)nmile/h(2)緝私船沿北偏西方向行駛，3小時后即早上8點15分可截獲走私船．【分析】（1）利用余弦定理即可求解；（2）設(shè)在F點處截獲走私船，截獲走私船所需時間為t，利用余弦定理即可求解．【詳解】（1）點位于哨所北偏東方向nmile處，點位于哨所北偏西方向nmile處，，，nmile/h，走私船的速度大小為nmile/h.（2）設(shè)在點處截獲走私船，截獲走私船所需時間為，，，，，走私船速度為nmile/h，緝私船速度為nmile/h，，在中，根據(jù)余弦定理，，，化簡得，(舍去)，或，此時，，緝私船沿北偏西方向行駛，3小時后即早上8點15分可截獲走私船．

22．已知向量，．設(shè)函數(shù)，．(1)求函數(shù)的解析式及其單調(diào)增區(qū)間；(2)設(shè)，若方程在上有兩個不同的解，求實數(shù)的取值范圍，并求的值.(3)若將的圖像上的所有點向左平移個單位，再把所得圖像上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像．當(dāng)（其中）時，記函數(shù)的最大值與最小值分別為與，設(shè)，求函數(shù)的解析式.【答案】(1)，(2)，(3)【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積公式化簡得出，再求其單調(diào)增區(qū)間即可；（2）當(dāng)時，方程有兩個不同的解x1，x2.，結(jié)合函數(shù)圖象得出實數(shù)的取值范圍（3）根據(jù)圖象變化得出函數(shù)，在給定區(qū)間上求出函數(shù)的最大值與最小值，得到函數(shù)即可.【詳解】（1）由題意可知，.由，可得，∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；（2）∵，∵，，得，，∴在區(qū)間()上單調(diào)遞增，同理可求得在區(qū)間()上單調(diào)遞減，且的圖象關(guān)于直線，對稱，方程即，

∴當(dāng)時，方程有兩個不同的解x1，x2.，由單調(diào)性知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，，∴當(dāng)時，