2.3.1

等比數(shù)列的概念(二)2.3.2

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式(二)【學(xué)習(xí)要求】靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式．熟悉等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)．系統(tǒng)了解判斷是否成等比數(shù)列的方法．【學(xué)法指導(dǎo)】

等差數(shù)列與等比數(shù)列聯(lián)系十分緊密，既有諸多相似之處，又有不同的地方，充分準(zhǔn)確地把握它們之間的聯(lián)系，會(huì)為我們解題帶來(lái)諸多便利．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是研究等比數(shù)列各種性質(zhì)的關(guān)鍵所在.填一填·知識(shí)要點(diǎn)、記下疑難點(diǎn)1．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：a

＝n，推廣形式：a

＝amn(n，m∈N*)．·

qn－m2．如果一個(gè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝aqn，其中a，q都是不為0

的常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列一定是等比數(shù)列，首項(xiàng)為

aq

，公比為

q

.a1qn－1填一填·知識(shí)要點(diǎn)、記下疑難點(diǎn)即a1·an＝a2·am·an＝ak·ala2一般地，如果

m，n，k，l為正整數(shù)，且

m＋n＝k＋l，則 有

，特別地，當(dāng)

m＋n＝2k

時(shí)，am·an＝

k

.若{an}是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)的積相等，an－1＝…＝ak·

an＋1－k

.研一研·問(wèn)題探究、課堂更高效探究點(diǎn)一

等比數(shù)列的單調(diào)性探究

觀察下面幾個(gè)等比數(shù)列中項(xiàng)的變化趨勢(shì)：①1,2,4,8,16，…1

1

1

1

②－1，－2，－4，－8，－16，…1

1③9,3,1，3，9，…④－1，－2，－4，－8，－16，…1

1

1

1

⑤1，－2，4，－8，16，…通過(guò)上面的例子，可以得出下列結(jié)論：研一研·問(wèn)題探究、課堂更高效當(dāng)

q＜0時(shí)，等比數(shù)列既不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列，而是

擺動(dòng)

數(shù)列；當(dāng)

a1＞0，q＞1

時(shí)，等比數(shù)列是

遞增

數(shù)列；當(dāng)

a1＞0,0＜q＜1

時(shí)，等比數(shù)列是

遞減

數(shù)列；當(dāng)

a1＜0，q＞1

時(shí)，等比數(shù)列是

遞減

數(shù)列；當(dāng)

a1＜0,0＜q＜1

時(shí)，等比數(shù)列是

遞增

數(shù)列．

綜上所述，等比數(shù)列單調(diào)遞增?

q＞1

等比數(shù)列單調(diào)遞減?

0＜q＜1或

a1＞0

a1＜0

0＜q＜1；或

a1＞0

a1＜0

q＞1

.研一研·問(wèn)題探究、課堂更高效探究點(diǎn)二 等比數(shù)列的性質(zhì)探究

1

在等比數(shù)列{an}中，若

m＋n＝s＋t，證明

am·an＝as·at(m，n，s，t∈N*)．m

1證明

∵a

＝a

q—m

1n1，a

＝a

q—n

1，∴a

·a

＝a

·q＋

－2

m

n

2m

n

1

s

t

1＋

－2

s

t

2，同理，a

·a

＝a

q

，k∵m＋n＝s＋t，∴am·an＝as·at.探究

2

在等比數(shù)列{an}中，若

m＋n＝2k，證明

am·an＝a2(m，n，k∈N*)．證明

∵a

＝a

q—m

1n

1，a

＝a

q—n

1，m

n

1∴a

·a

＝a

q＋

－m

12

m

n

2，—k

1

2k

1

k

1∵a

＝a

q

，∴a

＝a

·q—2

2k

2.k∵m＋n＝2k，∴am·an＝a2.研一研·問(wèn)題探究、課堂更高效問(wèn)題

在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若

a3a5＝4，則a1a2a3a4a5a6a7＝

128

.解析

∵a3a5＝a2＝4，a

>0，∴a

＝2.4

n

4∴a1a2a3a4a5a6a7＝(a1a7)·(a2a6)·(a3a5)·a4＝43×2＝128.研一研·問(wèn)題探究、課堂更高效探究點(diǎn)三 等比數(shù)列的判斷方法探究

1

判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的常用方法有哪些？答

(1)

an＋1＝q(常數(shù))；定義法：an(2)等比中項(xiàng)法：a＋＋2n

1

n

n

2

n＝a

a

(a

≠0，n∈N*)；—

*(3)通項(xiàng)法：an＝a1qn

1(a

q≠0，n∈N

)．1研一研·問(wèn)題探究、課堂更高效探究

2

如何判斷或證明一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列？答

如果判斷或證明一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，只要找到連續(xù)的三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可，即存在

an

，an

+1

，an

+2，且0

0

0.問(wèn)題

1

若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差為

d，bn＝can(c>0

且c≠1)，試問(wèn)數(shù)列{bn}是什么數(shù)列？并證明你的結(jié)論．答

數(shù)列{bn}是等比數(shù)列．∴{bn}為等比數(shù)列．∵b

bnn＋1＝=can+1

-an

＝cd(常數(shù))．cancan+1研一研·問(wèn)題探究、課堂更高效問(wèn)題

2

若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，公比為

q，且

an>0，bn＝lg

an，試問(wèn)數(shù)列{bn}是什么數(shù)列？并證明你的結(jié)論．答

數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．∵bn＋1－bn＝lg

an＋1－lg

an＝lg∴{bn}為等差數(shù)列．

a＋n

1

an

＝lg

q(常數(shù))．問(wèn)題

3

已知

an＝2n＋3n，判斷數(shù)列{an}是否是等比數(shù)列？答

不是等比數(shù)列．∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35，2∴a1a3≠a2，∴數(shù)列{an}不是等比數(shù)列．研一研·問(wèn)題探究、課堂更高效【典型例題】例

1

已知{an}為等比數(shù)列．若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10

的值．解

(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a2＋2a3a5＋a23

5＝(a3＋a5)2＝25，∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.(2)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9.∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95.∴l(xiāng)og3a1

＋log3a2

＋…

＋

log3a10

＝log3(a1a2…a9a10)

＝

log395

＝5log39＝10.研一研·問(wèn)題探究、課堂更高效跟蹤訓(xùn)練

1

設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比

q＝2，且

a1·a2·a3·…·a30＝215，求

a2·a5·a8·…·a29

的值．解

a1·a2·a3·…·a30＝(a1a30)·(a2a29)·…·(a15·a16)＝(a1a30)15＝215，∴a1a30＝2.a2·a5·a8·…·a29

＝

(a2a29)·(a5a26)·(a8a23)·(a11a20)·(a14a17)

＝

(a2a29)5＝(a1a30)5＝25＝32.研一研·問(wèn)題探究、課堂更高效例

2

已知數(shù)列{an}滿足

a1＝1，an＋1＝2an＋1，(1)求證：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；

(2)求{an}的通項(xiàng)公式．(1)證明

∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，an＋1＋1na

＋11∴

＝2，且a

＋1＝2.∴{an＋1}是以2

為首項(xiàng)，2

為公比的等比數(shù)列．(2)解

由(1)知{an＋1}是等比數(shù)列．公比為2，首項(xiàng)為2.∴an＋1＝2n.∴an＝2n－1.anan＋1小結(jié)

利用等比數(shù)列的定義 ＝q(q≠0)是判定一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列的基本方法．要判斷一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，舉一組反例即可，例如a2≠a

a

.2

1

3研一研·問(wèn)題探究、課堂更高效跟蹤訓(xùn)練

2

設(shè){an}、{bn}是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，cn＝an＋bn，證明數(shù)列{cn}不是等比數(shù)列．證明

設(shè){an}、{bn}的公比分別為

p、q，p≠0，q≠0，p≠q，cn＝an＋bn.要證{cn}不是等比數(shù)列，只需證

c2≠c

·c

成立即可．2

1

3事實(shí)上，c2＝(a

p＋b

q)2＝a2p2＋b2q2＋2a

b

pq，2

1

1

1

1

1

1c1c3＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)＝a2p2＋b2q2＋a

b

(p2＋q2)．1

1

1

1由于c1c3－c2＝a

b

(p－q)2≠0，因此c2≠c

·c

，2

1

1

2

1

3故{cn}不是等比數(shù)列．研一研·問(wèn)題探究、課堂更高效例

3

某制糖廠

2011

年制糖

5萬(wàn)噸，如果從

2011年起，平均每年的產(chǎn)量比上一年增加

20%，那么到哪一年，該糖廠的年制糖量開(kāi)始超過(guò)

30

萬(wàn)噸(保留到個(gè)位)？(lg

6＝0.778，lg

1.2＝0.079)解

記該糖廠每年制糖產(chǎn)量依次為

a1，a2，a3，…，an，….則依題意可得a1＝5，an－1an

＝1.2(n≥2

且n∈N*)，從而an＝5×1.2n－1，這里an＝30，故1.2n－1＝6，即n－1＝log1.26＝

lg

6

＝0.778≈9.85.lg

1.2

0.079故n＝11.答

從

2021

年開(kāi)始該糖廠年制糖量開(kāi)始超過(guò)

30

萬(wàn)噸．研一研·問(wèn)題探究、課堂更高效小結(jié)等比數(shù)列應(yīng)用問(wèn)題，在實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中較為常見(jiàn)，解題的關(guān)鍵是弄清楚等比數(shù)列模型中的首項(xiàng)a1，項(xiàng)數(shù)n

所對(duì)應(yīng)的實(shí)際含義．研一研·問(wèn)題探究、課堂更高效跟蹤訓(xùn)練

3

在利用電子郵件傳播病毒的例子中，如果第一輪感染的計(jì)算機(jī)數(shù)是80

臺(tái)，并且從第一輪起，以后各輪的第一臺(tái)計(jì)算機(jī)都可以感染下一輪的20

臺(tái)計(jì)算機(jī)，到第5

輪可以感染到多少萬(wàn)臺(tái)計(jì)算機(jī)？解

每一輪被感染的計(jì)算機(jī)臺(tái)數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為

a1＝80，公比為q＝20

的等比數(shù)列．則a5＝a1q4＝80×204＝1

280×104＝1

280(萬(wàn)臺(tái))．答

到第

5

輪可以感染到

1

280

萬(wàn)臺(tái)計(jì)算機(jī).1．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，則a1·a15的值為

10

000

．練一練·當(dāng)堂檢測(cè)、目標(biāo)達(dá)成落實(shí)處8解析

∵lg(a3a8a13)＝lg

a3＝6，∴a3＝106?a

＝102＝100.8

88又a1a15＝a2＝10

000.2．在

1與

2之間插入

6個(gè)正數(shù)，使這

8個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的

6

個(gè)數(shù)的積為

8

．解析

設(shè)這

8

個(gè)數(shù)組成的等比數(shù)列為{an}，則

a1＝1，a8＝2.插入的6

個(gè)數(shù)的積為a2a3a4a5a6a7＝(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)＝(a