2026屆江西省彭澤縣一中數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，則的最小值為（）A. B.C. D.2．設(shè)，隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，隨機(jī)變量Y滿足，則當(dāng)a在上增大時(shí)，關(guān)于的表述下列正確的是（）X013PabA增大 B.減小C.先增大后減小 D.先減小后增大3．有一機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程為，(是時(shí)間，是位移)，則該機(jī)器人在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度為（）A. B.C. D.4．已知集合，集合或，是實(shí)數(shù)集，則（）A. B.C. D.5．過雙曲線的右焦點(diǎn)有一條弦是左焦點(diǎn)，那么的周長(zhǎng)為（）A.28 B.C. D.6．若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.8．“”是“直線與互相垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過左焦點(diǎn)．我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì)．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為，分別為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后（，A，B在同一直線上），滿足，則該雙曲線的離心率的平方為（）A. B.C. D.10．已知，，且，則向量與的夾角為（）A. B.C. D.11．已知命題：，；命題：，.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.12．已知滿約束條件，則的最大值為（）A.0 B.1C.2 D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知A，B為x，y正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，現(xiàn)以為邊長(zhǎng)在第一象限做正方形，則的最大值為___________.14．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，則___________.15．點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的橢圓上運(yùn)動(dòng)，則的重心的軌跡方程是___________.16．如圖，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E為PB的中點(diǎn)，cos〈，〉＝，若以DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓C過點(diǎn)，，它與x軸的交點(diǎn)為，，與y軸的交點(diǎn)為，，且.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，直線，從點(diǎn)A發(fā)出的一條光線經(jīng)直線l反射后與圓C有交點(diǎn)，求反射光線所在的直線的斜率的取值范圍.18．（12分）已知數(shù)列中，，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）已知圓：，直線：．圓與圓關(guān)于直線對(duì)稱（1）求圓的方程；（2）點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為、．求四邊形面積的取值范圍20．（12分）已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，證明，，；（2）若函數(shù)在上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）某市為加強(qiáng)市民對(duì)新冠肺炎的知識(shí)了解，面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者.現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機(jī)抽取100名按年齡分組：第1組[20，25），共5人，第2組[25，30），共35人，第3組[30，35），第4組[35，40），第5組[40，45]，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求a的值；（2）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場(chǎng)宣傳活動(dòng)，且該市決定在第3，4組的志愿者中隨機(jī)抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗(yàn)，求第3組至少有-名志愿者被抽中的概率.22．（10分）在正方體中，，，分別是，，的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）求直線與所成角的正切值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】先根據(jù)已知條件得出，再利用基本不等式求的最小值即可.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，若直線被截得弦長(zhǎng)為，說明圓心在直線：上，即，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，本題關(guān)鍵是求出，屬常規(guī)考題.2、A【解析】先求得參數(shù)b，再去依次去求、、，即可判斷出的單調(diào)性.【詳解】由得則，由得a在上增大時(shí),增大.故選：A3、B【解析】對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)意義即速度求得在時(shí)的導(dǎo)數(shù)值即可.【詳解】由題知，，當(dāng)時(shí)，，即速度為7.故選：B4、A【解析】先化簡(jiǎn)集合，再由集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算求解即可【詳解】，或，故故選：A5、C【解析】根據(jù)雙曲線方程得，，由雙曲線的定義，證出，結(jié)合即可算出△的周長(zhǎng)【詳解】雙曲線方程為，，根據(jù)雙曲線的定義，得，，，，相加可得，，，因此△的周長(zhǎng)，故選：C6、A【解析】方程化為圓錐曲線（橢圓與雙曲線）標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后由方程表示雙曲線可得不等關(guān)系【詳解】解：方程可化為，它表示雙曲線，則，解得.故選：A7、D【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由橢圓的對(duì)稱性可知，則，所以，即可得到的關(guān)系，利用橢圓的定義進(jìn)而求得離心率.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以，如圖所示，所以，設(shè)，，則，所以，故選：D.8、A【解析】根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)求出，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)橹本€與互相垂直，所以，解得或，所以“”是“直線與互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.9、D【解析】設(shè)，根據(jù)題意可得，由雙曲線定義得、，進(jìn)而求出（用表示），然后在中，應(yīng)用勾股定理得出關(guān)系，求得離心率【詳解】易知共線，共線，如圖，設(shè)，則.因?yàn)椋?，則，則，又因?yàn)?，所以，則,在中，，即，所以.故選：D10、B【解析】先求出向量與的夾角的余弦值，即可求出與的夾角.【詳解】，所以，∴，∴，∴，又∵，∴與的夾角為.故選：B.11、C【解析】利用基本不等式判斷命題的真假，由不等式性質(zhì)判斷命題的真假，進(jìn)而確定它們所構(gòu)成的復(fù)合命題的真假即可.【詳解】由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故不存在使，所以命題為假命題，而命題為真命題，則為真，為假，故為假，為假，為真，為假.故選：C12、B【解析】作出給定不等式表示的平面區(qū)域，再借助幾何意義即可求出的最大值.【詳解】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影，其中，，目標(biāo)函數(shù)，即表示斜率為2，縱截距為的平行直線系，作出直線，平移直線到直線，使其過點(diǎn)A時(shí)，的縱截距最小，最大，則，所以的最大值為1.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、32【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出角度和邊長(zhǎng)，表達(dá)出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)出，利用三角函數(shù)換元，求出最大值.【詳解】如圖，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，設(shè)，（），則由三角形全等可知，設(shè)，，則，則，，則，令，，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為32故答案為：3214、8【解析】利用計(jì)算可得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，故答案為：8.15、【解析】設(shè)出點(diǎn)和三角形的重心，利用重心坐標(biāo)公式得到點(diǎn)和三角形的重心坐標(biāo)的關(guān)系，，代入橢圓方程即可求得軌跡方程，再利用，，三點(diǎn)不共線得到.【詳解】設(shè)，，由，得，即，，因?yàn)闉榈闹匦模?，，即，，代入，得，即，因?yàn)椋?，三點(diǎn)不共線，所以，則的重心的軌跡方程是.故答案：.16、（1，1，1）【解析】設(shè)PD＝a，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E(1,1，)，∴＝(0,0，a)，＝(－1,1，)由cos〈，〉＝，∴＝a·，∴a＝2.∴E的坐標(biāo)為(1,1,1)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)圓C的一般式方程為：，然后根據(jù)題意列出方程，解出D，E，F(xiàn)的值即可得到圓的方程；（2）先求出點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)反射光線所在直線方程為，利用直線和圓的位置關(guān)系列出不等式解出k的取值范圍即可.【詳解】（1）設(shè)圓C的一般式方程為：，令，得，所以，令，得，所以，所以有，所以，①又圓C過點(diǎn)，，所以有，②，③由①②③得，，，所以圓C的一般式方程為，標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，所以有，解之得，故點(diǎn)，∴反射光線所在直線過點(diǎn)，設(shè)反射光線所在直線方程為：，所以有，所以反射光線所在的直線斜率取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求法，直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，屬于?？碱}.18、（1）證明見解析，（2）【解析】（1）由，取倒數(shù)得到，再利用等差數(shù)列的定義求解；（2）由（1）得到，利用錯(cuò)位相減法求解.【小問1詳解】證明：由，以及，顯然，所以，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以；【小問2詳解】由（1）可得，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和①所以②則由②-①可得：，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.19、（1）（2）【解析】（1）圓關(guān)于直線對(duì)稱，半徑不變，只需求出圓心對(duì)稱的坐標(biāo)即可.（2）將四邊形面積分成兩個(gè)全等的直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)，一條直角邊不變時(shí)，斜邊與另外一條直角邊的大小成正相關(guān)，從而得到面積的最小值與最大值.【小問1詳解】由題可知的圓心為，圓的半徑與之相同，圓心與之關(guān)于對(duì)稱，設(shè)的圓心為，故可根據(jù)中點(diǎn)在對(duì)稱的直線上得到①，根據(jù)斜率相乘為-1得到②，聯(lián)立①②可得，所以圓心坐標(biāo)為，且半徑為，故的方程為【小問2詳解】連接，將四邊形分割成兩個(gè)全等的直角三角形，所以有，四邊形面積的范圍可轉(zhuǎn)化為MP長(zhǎng)度的范圍，在中，根據(jù)勾股定理可知，因?yàn)榘霃介L(zhǎng)度不變，所以最大時(shí)最大；所以最小時(shí)最?。划嫵鋈缦聢D，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P移動(dòng)至在時(shí)面積最小，時(shí)面積最大；設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，所以有，解得，所以，，所以，所以；，所以.所以20、（1）證明見解析：（2）【解析】(1)代入,求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性,再的最小值即可證明.(2),若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn),則在上有根.再分,與,利用函數(shù)的零點(diǎn)存在定理討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)即可.【詳解】(1)證明：當(dāng)時(shí),,則,當(dāng)時(shí),,則,又因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),,僅時(shí),,所以在上是單調(diào)遞減,所以,即.(2),因?yàn)?所以,①當(dāng)時(shí),恒成立,所以在上單調(diào)遞增,沒有極值點(diǎn).②當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增,因?yàn)?當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,沒有極值點(diǎn).當(dāng)時(shí),,所以存在,使當(dāng)時(shí),時(shí),所以在處取得極小值,為極小值點(diǎn).綜上可知,若函數(shù)在上存在極值點(diǎn),則實(shí)數(shù).【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值,進(jìn)而證明不等式的方法.同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)極值點(diǎn)的問題,需要結(jié)合零點(diǎn)存在定理求解.屬于難題.21、（1）0.04；（2）.【解析】（1）根據(jù)頻率的計(jì)算公式，結(jié)合概率之和為1，即可求得參數(shù)；（2）根據(jù)題意求得抽樣比以及第三組和第四組各抽取的人數(shù)，再列舉所有可能抽取的情況，找出滿足題意的情況，利用古典概型的概率計(jì)算公式即可求得結(jié)果.【小問1詳解】第一組頻率為，第二組的頻率為，則第一組與第二組的頻率之和為，又，故.【小問2詳解】第3組的人數(shù)為，第4組的人數(shù)為，第5組的人數(shù)為，因?yàn)榈?，4，5組共有60名志愿者，所以利用分層抽樣的方法在60名志題者中抽收6名志愿者，每組抽取的人數(shù)分別為：第3組：；第4組：；第5組：.記第3組的3名志愿者為，第4組的2名志愿者為，則從5名志愿者中抽取2名志愿者有：，，共有10種其中第3組