1第一章

質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)1第一章2§1-1質(zhì)點(diǎn)和參考系§1-2描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量§1-3描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系§1-4牛頓運(yùn)動(dòng)定律§1-5力學(xué)中常見的力§1-6伽利略相對(duì)性原理

第一章質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)2§1-1質(zhì)點(diǎn)和參考系第一章質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)3力學(xué)中的一些基本概念

力學(xué)的研究對(duì)象是物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的規(guī)律及其應(yīng)用，是研究物理學(xué)其它部分的基礎(chǔ)。力學(xué)內(nèi)容分為運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)和靜力學(xué)三部分。

運(yùn)動(dòng)學(xué)：在研究物體位置變動(dòng)時(shí)，不涉及引起運(yùn)動(dòng)變化的原因。

動(dòng)力學(xué)：研究物體之間的相互作用時(shí)，對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的影響。

靜力學(xué)：研究一個(gè)靜止不動(dòng)或以等速度移動(dòng)之系統(tǒng)。3力學(xué)中的一些基本概念力學(xué)的研究對(duì)象是物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的4

機(jī)械運(yùn)動(dòng)(mechanicalmotion)指物體的位置隨時(shí)間改變，或一個(gè)物體內(nèi)部某部分相對(duì)其它部分的位置隨時(shí)間變化的過程，是最簡(jiǎn)單又最基本的運(yùn)動(dòng)。

經(jīng)典力學(xué)（牛頓力學(xué)）的研究對(duì)象是大量原子組成的宏觀客體，被研究的物體的速度不能與光速相比擬（V<<C）。（1）物體之間的相對(duì)位置的變更；（2）物體各組成部分之間相對(duì)位置的變更。4機(jī)械運(yùn)動(dòng)(mechanicalmotion)指5

§1-1

質(zhì)點(diǎn)和參考系

一、質(zhì)點(diǎn)(masspoint)

質(zhì)點(diǎn)：沒有體積和形狀,只具有一定質(zhì)量的理想物體。

注意：（1）質(zhì)點(diǎn)是一種理想的力學(xué)模型，任何物體都有一定的形狀和大小。

（2）質(zhì)點(diǎn)是一種物理上的抽象，是為了討論問題的方便而引入的。5§1-1質(zhì)點(diǎn)和參考系一、質(zhì)點(diǎn)(masspoi6

（3）對(duì)于同一物體，由于研究問題的不同，有時(shí)可以看作質(zhì)點(diǎn)，有時(shí)則不能。

如果不能看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，可把物體看作由多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的結(jié)論，疊加起來得到該物體的運(yùn)動(dòng)情況。

注意：當(dāng)兩物體之間的距離（l）大于大于物體自身線度（r）時(shí)，物體可以視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)；否則就不能視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。

由于所有物體都可以視為質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)的集合體，因此質(zhì)點(diǎn)力學(xué)是整個(gè)力學(xué)的基礎(chǔ)。6（3）對(duì)于同一物體，由于研究問題的不同，有時(shí)可以看作質(zhì)7

質(zhì)點(diǎn)是沒有大小和形狀、但具有宏觀物體質(zhì)量的理想模型，是對(duì)實(shí)際物體的抽象，并不是真實(shí)的存在；注意：不要把質(zhì)點(diǎn)與微觀粒子混同起來

微觀粒子，如原子、質(zhì)子和中子等都具有一定的大小，但質(zhì)量微小。也正是因?yàn)槲⒂^粒子的質(zhì)量微小，因而在一般情況下卻遵從量子力學(xué)規(guī)律。7質(zhì)點(diǎn)是沒有大小和形狀、但具有宏觀物體質(zhì)量的理想8二、參考系(referencesystem)

1.運(yùn)動(dòng)絕對(duì)性：物體都在運(yùn)動(dòng)沒有絕對(duì)靜止的。

3.為了描述物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，必須選擇另一個(gè)物體或者物體系作參照物，被選作參照的物體或者物體系稱為參考系。只有選擇了參考系，才能明確地表示被研究物體的運(yùn)動(dòng)情形。4.參考系原則上可任意選擇。選擇使問題的處理盡量簡(jiǎn)化的參考系。同一運(yùn)動(dòng)，選擇不同參考系，對(duì)運(yùn)動(dòng)的描述不同的。2.一個(gè)物體的位置及其變更,總是相對(duì)于其它物體而言的,否則沒有意義,機(jī)械運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性。8二、參考系(referencesystem)1.運(yùn)動(dòng)9三.坐標(biāo)系

(coordinatesystem)

坐標(biāo)系是指固定在參考系上的數(shù)學(xué)坐標(biāo)，它的作用是把運(yùn)動(dòng)物體在每一時(shí)刻相對(duì)于參考系的位置定量地表示出來。

在建立坐標(biāo)系的問題上應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。(1)首先應(yīng)注意不要把坐標(biāo)系與參考系混淆了。

參考系是指為描述物體運(yùn)動(dòng)而選作參考標(biāo)準(zhǔn)的物體或物體群，利用它來判斷物體是否在運(yùn)動(dòng)和如何運(yùn)動(dòng)。但是，只有參考系還不能把物體運(yùn)動(dòng)時(shí)的確切位置表示出來。

在描述物體運(yùn)動(dòng)的問題中，坐標(biāo)系必須依附于參考系。在研究物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，若選取不同的參考系，所得的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式和結(jié)果一般是不同的。9三.坐標(biāo)系(coordinatesystem)10

在同一個(gè)參考系上建立不同的坐標(biāo)系，對(duì)同一物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和結(jié)果不會(huì)產(chǎn)生多大變化，只會(huì)影響計(jì)算的繁簡(jiǎn)。(2)坐標(biāo)系的建立，可以幫助我們分析和解決問題。(3)在物理學(xué)中，坐標(biāo)系的建立還有更加廣泛的意義。

物理學(xué)中的方程式在很多情況下都是矢量方程,而矢量方程的求解,特別是矢量的積分,必須先化為分量式才可以進(jìn)行。要將矢量式化為標(biāo)量式，必須建立坐標(biāo)系。

求解質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的問題，而質(zhì)點(diǎn)一般是受多個(gè)力作用的。力的正負(fù)，對(duì)于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是至關(guān)重要的，是在列方程時(shí)必須明確的。當(dāng)建立了坐標(biāo)系后，把這些力投影到坐標(biāo)軸上來，與坐標(biāo)軸同方向的為正，與坐標(biāo)軸反方向的為負(fù)，運(yùn)動(dòng)方程很容易地就列出來了。10在同一個(gè)參考系上建立不同的坐標(biāo)系，對(duì)同一物體的111、直角坐標(biāo)系

(rectangularcoordinate)

通常采用的直角坐標(biāo)系屬右旋系,當(dāng)右手四指由x軸方向轉(zhuǎn)向y軸方向時(shí),伸直的拇指則指向z軸的正方向。

在參考系上取一固定點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)O,過點(diǎn)O畫三條相互垂直的帶有刻度的坐標(biāo)軸,即x軸、y軸和z軸,就構(gòu)成了直角坐標(biāo)系

O-xyz。

xyzOP(x,y,z)共有三個(gè)單位矢量：111、直角坐標(biāo)系(rectangularcoordi12*2、平面極坐標(biāo)系(planarpolarcoordinates)

取參考系上一固定點(diǎn)O作為極點(diǎn),過極點(diǎn)所作的一條固定射線OA稱為極軸。用平面極坐標(biāo)系處理圓周運(yùn)動(dòng)一類的平面運(yùn)動(dòng)。

質(zhì)點(diǎn)處于點(diǎn)P,連線OP稱為點(diǎn)P的極徑,用

表示；自O(shè)A到OP轉(zhuǎn)過的角

稱為點(diǎn)P的極角。點(diǎn)P位置可用(

,

)來表示,這兩個(gè)量就稱為點(diǎn)P的極坐標(biāo)。A

O是極徑方向的單位矢量,長(zhǎng)度為1,沿

增大的方向。是沿極角增大方向的單位矢量12*2、平面極坐標(biāo)系(planarpolarcoord133、自然坐標(biāo)系(naturalcoordinates)

沿著質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道所建立的坐標(biāo)系。

一個(gè)是指向質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向的切向單位矢量,用

表示,另一個(gè)是垂直于切向并指向軌道凹側(cè)的法向單位矢量,用n表示。法線切線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)τn自然坐標(biāo)系由運(yùn)動(dòng)曲線上任一點(diǎn)的法線和切線組成133、自然坐標(biāo)系(naturalcoordinates14一、時(shí)間和時(shí)刻(timeandmoment)

某一瞬時(shí)稱為時(shí)刻（t），質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，與質(zhì)點(diǎn)某一位置對(duì)應(yīng)的為某一時(shí)刻，在時(shí)間坐標(biāo)上是一個(gè)點(diǎn)。

秒（s）:銫－133原子基態(tài)的兩個(gè)超細(xì)能級(jí)之間的電子躍遷所對(duì)應(yīng)的輻射的9192631770個(gè)周期的持續(xù)時(shí)間。

在坐標(biāo)系中考察質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí),質(zhì)點(diǎn)位置與時(shí)刻相對(duì)應(yīng),質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過的路程與時(shí)間相對(duì)應(yīng)?！?-2描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量P2P1t

時(shí)間（

t）表示一個(gè)過程對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔，是重要的物理量，國際單位制（SI）中七個(gè)基本物理量之一。時(shí)間具有單方向性，是標(biāo)量，在時(shí)間坐標(biāo)上是線段，單位是s(秒)。

t1t214一、時(shí)間和時(shí)刻(timeandmoment)15

二、位置矢量(positionvector)

位矢包含兩方面信息：質(zhì)點(diǎn)P相對(duì)參考系固定點(diǎn)O的方位；質(zhì)點(diǎn)P相對(duì)參考系固定點(diǎn)O的距離大小。OP

用黑體字母或帶箭頭的字母表示矢量。

質(zhì)點(diǎn)P在任意時(shí)刻的位置,可用從原點(diǎn)O到質(zhì)點(diǎn)P所引的有向線段OP來表示，或用矢量來代表，這個(gè)矢量就稱為質(zhì)點(diǎn)P的位置矢量,簡(jiǎn)稱位矢。位置矢量是描述質(zhì)點(diǎn)在空間位置的物理量。1.定義15二、位置矢量(positionvector)16可用方向余弦來表示位置矢量方向。位矢大小其中

、和

分別是x、y和z方向的單位矢量。在直角坐標(biāo)系中

xyzOP(x,y,z)

16可用方向余弦來表示位置矢量方向。位矢大小其中、和17zXYOzyxr

隨時(shí)間變化r

質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng),位置在變化,位置矢量必定隨時(shí)間改變。該式稱為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道參量方程，即質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程位置矢量是時(shí)間的函數(shù)：2.運(yùn)動(dòng)方程

寫成分量形式:運(yùn)動(dòng)軌跡方程xyz0f,,()17zXYOzyxr隨時(shí)間變化r質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng),18三、位移(displacement)和路程(distance,path)

1.位移：描述質(zhì)點(diǎn)位置的變化的物理量。

質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)P1到點(diǎn)P2所完成的位移等于點(diǎn)P2的位置矢量與點(diǎn)P1的位置矢量

之差。

位移是矢量，既表示質(zhì)點(diǎn)位置變更的大小(點(diǎn)P1與點(diǎn)P2之間的距離)，又表示這種變更的方向(點(diǎn)P2相對(duì)于點(diǎn)P1的方位)。zXYOr1P1()t1r22P()t2rrtrsr18三、位移(displacement)和路程(distan19位移在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式：因?yàn)?9位移在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式：因?yàn)?02.

路程

s是一定時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過路線的總長(zhǎng)度。

t時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程是曲線P1P2的長(zhǎng)度，是標(biāo)量。

注意：質(zhì)點(diǎn)的位移和路程的區(qū)別和聯(lián)系

（1）位移是矢量，路程是標(biāo)量；

（2）一般位移矢量的模不等于路程。

（3）對(duì)于任何運(yùn)動(dòng)形式來說，無限的縮短，則：zXYOr1P1()t1r22P()t2rrtrsr202.路程s是一定時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過路線的21米（m）:氪-86原子的2p10和5d5能級(jí)之間的躍遷所對(duì)應(yīng)的輻射在真空中的1650763.73個(gè)波長(zhǎng)的長(zhǎng)度。位移和路程單位相同,在國際單位制中為m(米)。21米（m）:氪-86原子的2p10和5d5能級(jí)之間的躍遷所22四、速度(velocity)和速率(speed)

1.平均速度與平均速率:質(zhì)點(diǎn)的平均速度

平均速度是矢量，大小決定于位移的模與時(shí)間間隔的比值；方向與位移矢量方向相同。

平均速度的大小和方向在很大程度上依賴于所取時(shí)間間隔的大小。當(dāng)使用平均速度來表征質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，總要指明相應(yīng)的時(shí)間間隔。大致描述運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某段時(shí)間內(nèi)的平均快慢情況22四、速度(velocity)和速率(speed)1.23

平均速率是標(biāo)量,等于單位時(shí)間內(nèi)所通過的路程。平均速率

平均速率和平均速度的區(qū)別：1.標(biāo)量與矢量；2.數(shù)值上不一定相等,曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)

s≠r

。沿閉合曲線運(yùn)行一周,則質(zhì)點(diǎn)的平均速度等于零,而相應(yīng)的平均速率卻不等于零。平均速率與平均速度的關(guān)系和路程與位移的關(guān)系相似。23平均速率是標(biāo)量,等于單位時(shí)間內(nèi)所通過的路程。平均速242.瞬時(shí)速度和瞬時(shí)速率

描述運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某一時(shí)刻（某一位置）的快慢情況

如果

t→0，平均速度的極限就表示質(zhì)點(diǎn)某一時(shí)刻的真實(shí)速度，此極限即質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度。

瞬時(shí)速度等于質(zhì)點(diǎn)的位置矢量對(duì)時(shí)間的微商。所說的物體運(yùn)動(dòng)速度,通常指它的瞬時(shí)速度。242.瞬時(shí)速度和瞬時(shí)速率描述運(yùn)動(dòng)質(zhì)25直角坐標(biāo)系：

該時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)所在處沿運(yùn)動(dòng)軌跡的切線并指向質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)的方向。方向：25直角坐標(biāo)系：該時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)所在處沿運(yùn)動(dòng)軌跡的切線并指向質(zhì)點(diǎn)26瞬時(shí)速率為t

→0時(shí)平均速率的極限,簡(jiǎn)稱速率。

t→0時(shí)路程的極限等于質(zhì)點(diǎn)位移矢量的模的極限。速率等于速度的模,等于速度的大小,總是正值。

速度和速率的單位為m

s

1

(米/秒)。26瞬時(shí)速率為t→0時(shí)平均速率的極限,簡(jiǎn)稱速率。27上式稱為位移公式。如果已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系,代入上式積分可算得位移。

質(zhì)點(diǎn)在從t0到t時(shí)間內(nèi)完成的位移,可通過對(duì)上式在此時(shí)間內(nèi)的積分得到，即可得位移的微分形式根據(jù)速度的定義式27上式稱為位移公式。如果已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系,28五、加速度(acceleration)加速度是描述速度變化快慢的物理量。OLBA

在

t時(shí)間內(nèi),速度的增量為可用平行四邊形法則或三角形法則求得。

是速度大小的變化和方向的變化共同引起的。28五、加速度(acceleration)加速度是描述速度變29根據(jù)加速度的定義（描述速度變化快慢的物理量）平均加速度若，則：瞬時(shí)加速度

加速度等于速度對(duì)時(shí)間的微商,或等于位置矢量對(duì)時(shí)間的二階微商。29根據(jù)加速度的定義（描述速度變化快慢的物理量）平均加速度若30加速度的方向與

t趨于零時(shí)的極限方向一致。曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，加速度a總是指向軌跡曲線凹的一邊。

直線運(yùn)動(dòng)中，a與v的方向在同一直線上，但有同向與反向兩種情況。30加速度的方向與t趨于零時(shí)的極限方向一致31加速度的單位是m

s

2(米/秒2)。

加速度大小31加速度的單位是ms2(米/秒2)。加速度大小32加速度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式加速度大小32加速度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式加速度大小33討論：（1）當(dāng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)；

(2)當(dāng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)作勻變速直線運(yùn)動(dòng)或二維拋體運(yùn)動(dòng)；(4)當(dāng)?shù)拇笮『头较蚨几淖儠r(shí)，質(zhì)點(diǎn)一般作曲線運(yùn)動(dòng)。(3)當(dāng)?shù)拇笮「淖?方向和速度平行時(shí)，質(zhì)點(diǎn)作變速直線運(yùn)動(dòng)。33討論：（1）當(dāng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)作勻速直線34根據(jù)加速度的定義式可得若求在t0到t時(shí)間內(nèi)速度的變化,可對(duì)上式積分：速度公式位矢的一般表達(dá)式代入位移公式34根據(jù)加速度的定義式可得若求在t0到t時(shí)間內(nèi)速度的變化35思考題:什么是質(zhì)點(diǎn)，什么情況可以視物體為質(zhì)點(diǎn)；位移和路程有何區(qū)別；在曲線運(yùn)動(dòng)中與是否不同；和有何區(qū)別。35思考題:363637§1-3質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾種形式

一、勻速直線運(yùn)動(dòng)勻速直線運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)：如取運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閤軸，則：x?Xot=0?Xt積分軌跡方程37§1-3質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾種形式

一、勻速直線運(yùn)動(dòng)勻速38二、勻變速直線運(yùn)動(dòng)1.一般情況：質(zhì)點(diǎn)以恒定的加速度，沿直線運(yùn)動(dòng)設(shè)t=0時(shí)，v=vo,x=xo該方程為質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)方程38二、勻變速直線運(yùn)動(dòng)1.一般情況：質(zhì)點(diǎn)以恒定的加速度，392.自由落體運(yùn)動(dòng)取地面為坐標(biāo)原點(diǎn)，向上為y軸的正方向，則a=-g設(shè)t=0時(shí)，y=yo,vo=vyo則：y392.自由落體運(yùn)動(dòng)取地面為坐標(biāo)原點(diǎn)，向上為y軸的正方向，40運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性與疊加性運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性：如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與幾個(gè)分運(yùn)動(dòng)，其中任何一個(gè)運(yùn)動(dòng)都不受到其他運(yùn)動(dòng)的影響，就好像只有自己存在一樣。運(yùn)動(dòng)的疊加性：質(zhì)點(diǎn)的一般運(yùn)動(dòng)可以看做由幾個(gè)相互獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)的合成，且合成的物理量滿足平行四邊形法則。40運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性與疊加性41三、拋體運(yùn)動(dòng)

拋體運(yùn)動(dòng)具有兩個(gè)特點(diǎn):(1)運(yùn)動(dòng)平面是豎直平面，恒與地面垂直，（2）不計(jì)空氣阻力時(shí)，加速度就是重力加速度。41三、拋體運(yùn)動(dòng)拋體運(yùn)動(dòng)具有兩個(gè)特點(diǎn):(1)42

假設(shè)物體以初速度v0沿與水平方向成角方向被拋出,求物體運(yùn)動(dòng)的軌道方程、射程、飛行時(shí)間和物體所能到達(dá)的最大高度。

拋體運(yùn)動(dòng)可以看作為x方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和y方向的勻變速直線運(yùn)動(dòng)相疊加。xyO

首先必須建立坐標(biāo)系,取拋射點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,x軸水平向右,y軸豎直向上,如圖。運(yùn)動(dòng)疊加原理是求解復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的有力工具。

42假設(shè)物體以初速度v0沿與水平方向成角43xyO由（1）、（2）得：——拋體運(yùn)動(dòng)軌道方程

(1)(2)討論：令y=0，得

43xyO由（1）、（2）得：——拋體運(yùn)動(dòng)軌道方程(1)44解得：（射程）物體的飛行時(shí)間拋射角

0=

/4時(shí),最大射程xyO將x2代入上式，得44解得：（射程）物體的飛行時(shí)間拋射角0=/4時(shí),最大45

實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌道是彈道曲線，射程和最大高度都比上述值要小。最大高度:當(dāng)物體到達(dá)最大高度時(shí),必有物體達(dá)最大高度的時(shí)間xyO將上式代入45實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌道是彈道曲線，射程和最大高度都比上述值46四.曲線運(yùn)動(dòng)

一般的運(yùn)動(dòng)都是曲線運(yùn)動(dòng)，即質(zhì)點(diǎn)沿空間任意一條曲線運(yùn)動(dòng)。1.曲線的曲率和曲率半徑

在曲線運(yùn)動(dòng)中，速度的大小和方向都在不斷地變化。速度方向的變化與軌道的形狀有關(guān)。這是因?yàn)樗俣鹊姆较蚴乔€的切線方向。在曲線彎曲厲害的地方，速度方向變化大；曲線的這個(gè)彎曲程度用曲率來表示；??P1P2?令曲線

曲線上p1和p2

之間的平均曲率46四.曲線運(yùn)動(dòng)一般的運(yùn)動(dòng)都是曲線運(yùn)動(dòng)，即質(zhì)點(diǎn)47當(dāng)△s趨近0時(shí)，p1和p2

兩點(diǎn)無限靠近，這個(gè)比值的極限稱為曲線在p1點(diǎn)的曲率其倒數(shù)稱為該點(diǎn)的曲率半徑

曲率半徑?jīng)Q定的圓稱為曲率圓，曲率圓的中心稱為曲率中心。圓：說明圓的曲率半徑即圓的半徑，是一個(gè)恒量。??P1P2?47當(dāng)△s趨近0時(shí)，p1和p2兩點(diǎn)無限靠近，這個(gè)比值的極482.法向加速度和切向加速度動(dòng)軌跡平面運(yùn)質(zhì)點(diǎn)的T切向N法向t切向單位矢量n法向單位矢量M時(shí)刻位置t0M初始位置自然坐標(biāo)系482.法向加速度和切向加速度動(dòng)軌跡平面運(yùn)質(zhì)點(diǎn)的T切向N法49LBAO’B′

A′

VAVB49LBAO’B′A′VAVB50VAVB50VAVB51VAVB切向加速度法向加速度大?。悍较颍?1VAVB切向加速度法向加速度大?。悍较颍?2討論：1.若，則物體作直線加速運(yùn)動(dòng)；2.若，則物體作勻速圓周運(yùn)動(dòng)關(guān)于自然坐標(biāo)系的說明：

（1）在自然坐標(biāo)系中表示質(zhì)點(diǎn)速度，是非常簡(jiǎn)單的，因?yàn)闊o論質(zhì)點(diǎn)處在什么位置上速度都只有切向分量，而沒有法向分量。

（2）自然坐標(biāo)系不僅適用于平面運(yùn)動(dòng)，也可以用于三維空間的運(yùn)動(dòng)。不過在三維情況下，應(yīng)該引入兩個(gè)法向單位矢量52討論：1.若53五、圓周運(yùn)動(dòng)1.平面極坐標(biāo)A

OP的位置矢量表示為

根據(jù)速度的定義式：式中是單位矢量的方向隨時(shí)間的變化率。

53五、圓周運(yùn)動(dòng)1.平面極坐標(biāo)AOP的位置矢量表示為54OL

在時(shí)間內(nèi),質(zhì)點(diǎn)沿任意平面曲線L由點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B,極角的增量為。

O′

A′

B′

BA

等腰三角形O

A

B,當(dāng)t→0時(shí),底邊趨于與腰垂直,的方向趨于極角增大的方向,引入該方向的單位矢量。（）54OL在時(shí)間內(nèi),質(zhì)點(diǎn)沿任意平面曲線L由55O′

A′

B′

（）徑向速度橫向速度速度大小55O′A′B′（）徑向速度橫向速度速度大小561.質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)時(shí),取該直線為極徑，極角為常量2.質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),極徑是圓周的半徑,為常量圓周運(yùn)動(dòng)角速度橫向速度是質(zhì)點(diǎn)沿圓周切向速度討論561.質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)時(shí),取該直線為極徑，極角為常量2.57線量角量57線量角量58質(zhì)點(diǎn)加速度:OB′

A′

OLAB

等腰

O

A

B

,當(dāng)

t→0時(shí),趨于與垂直,即指向的方向,大小^^58質(zhì)點(diǎn)加速度:OB′A′OLAB等腰OA59于是有將和代入59于是有將和代入60徑向加速度橫向加速度60徑向加速度橫向加速度612.質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng),極徑

是圓周半徑,為常量,有1.質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng),取該直線為極徑，極角為常量：討論繼續(xù)推算

612.質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng),極徑是圓周半徑,為常量,有62引入角加速度,定義為avrr=-2avtq=dd向心加速度切向加速度線量角量62引入角加速度,定義為avrr=-2avtq=dd向心63角量線量63角量線量642.圓運(yùn)動(dòng)方程（1）勻速圓周運(yùn)動(dòng)設(shè)：（2）勻變速圓周運(yùn)動(dòng)642.圓運(yùn)動(dòng)方程（1）勻速圓周運(yùn)動(dòng)設(shè)：（2）勻變速圓周運(yùn)65積分得：

形式上與直線運(yùn)動(dòng)的三個(gè)方程是相同的，只是線量與角量的區(qū)別65積分得：形式上與直線運(yùn)動(dòng)的三個(gè)方程是相同的66rrt()運(yùn)動(dòng)學(xué)方程vt()速度任一時(shí)刻的at()加速度已知求第一類第二類vvt()rrt()運(yùn)動(dòng)學(xué)方程或速度方程或速度方程vvt)()0r)及加速度方程a()0vat))及求導(dǎo)vrdtda2dtd2r方法,積分方法-0vvdtat0r-r0dtt0v由初始條件定積分常量r00v,兩類基本問題質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)中的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)中的兩類基本問題66rrt()運(yùn)動(dòng)學(xué)方程vt()速度任一時(shí)刻的at()加67

例1：通過絞車?yán)瓌?dòng)湖中小船拉向岸邊,如圖。如果絞車以恒定的速率u拉動(dòng)纖繩,絞車定滑輪離水面的高度為h,求小船向岸邊移動(dòng)的速度和加速度。解：以絞車定滑輪處為坐標(biāo)原點(diǎn),x軸水平向右,y軸豎直向下,如圖所示。xlhyoxxlh67例1：通過絞車?yán)瓌?dòng)湖中小船拉向岸邊,如圖。如果68

設(shè):小船到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為l,任意時(shí)刻小船到岸邊的距離x總滿足x

2

=l

2

h

2

兩邊對(duì)時(shí)間t

求導(dǎo)數(shù),得

絞車?yán)瓌?dòng)纖繩的速率,纖繩隨時(shí)間在縮短,故;是小船向岸邊移動(dòng)的速率。xlhyox

負(fù)號(hào)表示小船速度沿x軸反方向。68設(shè):小船到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為l,任意時(shí)刻小船到岸69根據(jù)數(shù)學(xué)公式：69根據(jù)數(shù)學(xué)公式：70小船的加速度隨著到岸邊距離的減小而急劇增大70小船的加速度隨著到岸邊距離的減小而急劇增大71例2：細(xì)棒以恒定角速度

繞其端點(diǎn)O

旋轉(zhuǎn),棒上套一小球,小球以恒定速度u沿棒向外滑動(dòng)。初始時(shí)刻小球處于點(diǎn)O,求t時(shí)刻小球的速度和加速度。

解：根據(jù)速度的定義式：O71例2：細(xì)棒以恒定角速度繞其端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),棒上套一小72

可見小球的徑向速度就是它沿棒滑動(dòng)的速度,橫向速度則是t

的線性函數(shù)。

求得小球的速度

根據(jù)72可見小球的徑向速度就是它沿棒滑動(dòng)的速度,橫向速73

由上式可以看到,徑向加速度是時(shí)間的線性函數(shù),橫向加速度則為常量。

小球的加速度可表示為

：73由上式可以看到,徑向加速度是時(shí)間的線性函數(shù),74

解：質(zhì)點(diǎn)的切向加速度和法向加速度分別為

例3:質(zhì)點(diǎn)以初速沿半徑為R

的圓周運(yùn)動(dòng),其加速度方向與速度方向夾角

為恒量,求質(zhì)點(diǎn)速率與時(shí)間的關(guān)系。分離變量74解：質(zhì)點(diǎn)的切向加速度和法向加速度分別為例3:質(zhì)點(diǎn)以75這就是所要求的速率與時(shí)間的關(guān)系。得積分75這就是所要求的速率與時(shí)間的關(guān)系。得積分例4.

一質(zhì)點(diǎn)由靜止開始作直線運(yùn)動(dòng)，初始加速度為

a0

，以后加速度均勻增加，每經(jīng)過τ

秒增加

a0，求：經(jīng)過

t

秒后質(zhì)點(diǎn)的速度和運(yùn)動(dòng)的距離。解：據(jù)題意知，加速度和時(shí)間的關(guān)系為：例4.一質(zhì)點(diǎn)由靜止開始作直線運(yùn)動(dòng)，初始加速度為a0，以77解：此類問題從a與x的關(guān)系，求v與x的關(guān)系即：積分：例題5一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)，其加速度和位置關(guān)系為a=2+6x。質(zhì)點(diǎn)在x=0處的速度為。求物體的速度和位置的關(guān)系。77解：此類問題從a與x的關(guān)系，求v與x的關(guān)系即：積分：例題78

習(xí)題1-4現(xiàn)有一矢量R是時(shí)間t的函數(shù)，問與在一般情況下是否相等？為什么？

解:

與在一般情況下是不相等的。因?yàn)榍罢呤菍?duì)矢量R的絕對(duì)值(大小或長(zhǎng)度)求導(dǎo)，表示矢量R的大小隨時(shí)間的變化率；而后者是對(duì)矢量R的大小和方向兩者同時(shí)求導(dǎo)，再取絕對(duì)值，表示矢量R大小隨時(shí)間的變化和矢量R方向隨時(shí)間的變化兩部分的絕對(duì)值。如果矢量R方向不變只是大小變化，那么這兩個(gè)表示式是相等的。78習(xí)題1-4現(xiàn)有一矢量R791-12設(shè)質(zhì)點(diǎn)的位置與時(shí)間的關(guān)系為x=x(t)，y=y(t)，在計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度時(shí)，如果先求出，然后根據(jù)和求得結(jié)果；還可以用另一種方法計(jì)算：先算出速度和加速度分量，再合成，得v=和。你認(rèn)為哪一組結(jié)果正確？為什么？791-12設(shè)質(zhì)點(diǎn)的位置與時(shí)間的關(guān)系為x=x(t)，80解第二組結(jié)果是正確的。而在一般情況下第一組結(jié)果不正確，這是因?yàn)樵谝话闱闆r下

速度和加速度中的r是質(zhì)點(diǎn)的位置矢量，不僅有大小而且有方向，微分時(shí)，既要對(duì)大小微分也要對(duì)方向微分。第一組結(jié)果的錯(cuò)誤就在于，只對(duì)位置矢量的大小微分，而沒有對(duì)位置矢量的方向微分。80解第二組結(jié)果是正確的。而在一般情況下第一組結(jié)果不正確811-21質(zhì)點(diǎn)從傾角為

=30

的斜面上的O點(diǎn)被拋出，初速度的方向與水平線的夾角為

=30

，如圖所示，初速度的大小為v0=9.8m

s

1

。若忽略空氣的阻力，試求：(1)質(zhì)點(diǎn)落在斜面上的B點(diǎn)離開O點(diǎn)的距離；(2)在t=1.5s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度、切向加速度和法向加速度。811-21質(zhì)點(diǎn)從傾角為=30的斜面上的O點(diǎn)被拋82解建立如圖所示的坐標(biāo)系(1)設(shè)B點(diǎn)到O點(diǎn)的距離為l，則B點(diǎn)的坐標(biāo)可以表示為如果質(zhì)點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)的時(shí)間為

，則可以列出下面的方程式(1)82解建立如圖所示的坐標(biāo)系(1)設(shè)B點(diǎn)到O點(diǎn)的距83以上兩式聯(lián)立，可解得(3)

(2)將式(3)代入式(1)，得83以上兩式聯(lián)立，可解得(3)(2)將式(3)代入式84(2)設(shè)在t=1.5s時(shí)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)，此時(shí)所以速度的大小為速度與y軸負(fù)方向的夾角為84(2)設(shè)在t=1.5s時(shí)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)，此時(shí)858586

例題6：在傾角為

的山坡上安放一尊大炮，大炮相對(duì)山坡的仰角為

，所發(fā)射炮彈的初速為v0。忽略了空氣阻力，求炮彈擊中目標(biāo)的位置、最大射程和對(duì)應(yīng)最大射程的仰角。解:取炮口為坐標(biāo)原點(diǎn)，取x軸沿水平向右、y軸豎直向上，建立坐標(biāo)系。

該題與拋體運(yùn)動(dòng)無本質(zhì)差異，只是炮彈的著地點(diǎn)P不是在水平面上，而是在傾角為

的山坡上。另外，炮彈著地點(diǎn)P不是在水平面上86例題6：在傾角為的山坡上安放一尊大炮，大炮相對(duì)山坡的87根據(jù)拋物線方程：山坡的直線方程為(1)(2)（1）、（2）聯(lián)立得：