課時(shí)作業(yè)(六十)[第60講隨機(jī)數(shù)與幾何概型][時(shí)間：45分鐘分值：100分]eq\a\vs4\al\co1(基礎(chǔ)熱身)1．已知地鐵列車每10min(含在車站停車時(shí)間)一班，在車站停1min，則乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車的概率是()\f(1,10)\f(1,9)\f(1,11)\f(1,8)2．如圖K60－1，有一圓盤其中的陰影部分的圓心角為45°，若向圓內(nèi)投鏢，如果某人每次都投入圓內(nèi)，那么他投中陰影部分的概率為()圖K60－1\f(1,8)\f(1,4)\f(1,2)\f(3,4)3．如圖K60－2，已知正方形的面積為10，向正方形內(nèi)隨機(jī)地撒200顆黃豆，數(shù)得落在陰影外的黃豆數(shù)為114顆，以此試驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)，可以估計(jì)出陰影部分的面積約為()圖K60－2A．B．4.3C．D．4．已知Ω＝{(x，y)|3x＋y≤4，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤y}，若向區(qū)域Ω內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A的概率為()\f(3,8)\f(2,3)\f(1,4)\f(3,4)eq\a\vs4\al\co1(能力提升)5．已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是5,5,6，一只螞蟻在其內(nèi)部爬行，若不考慮螞蟻的大小，則某時(shí)刻該螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過2的概率是()A．2－eq\f(π,3)B．1－eq\f(π,6)C．2－eq\f(π,2)D．1－eq\f(π,12)6．[2022·哈爾濱九中二模]某人向平面區(qū)域|x|＋|y|≤eq\r(2)內(nèi)任意投擲一枚飛鏢，則飛鏢恰好落在單位圓x2＋y2＝1內(nèi)的概率為()\f(π,4)\f(\r(3)π,4)\f(π,8)\f(\r(3)π,6)7．已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，先向△ABC內(nèi)隨機(jī)擲點(diǎn)，則點(diǎn)落在△PBC內(nèi)的概率是()\f(1,4)\f(1,3)\f(2,3)\f(1,2)8．[2022·長(zhǎng)安一中質(zhì)檢]某人向一個(gè)半徑為6的圓形靶射擊，假設(shè)他每次射擊必定會(huì)中靶，且射中靶內(nèi)各點(diǎn)是隨機(jī)的，則此人射中靶點(diǎn)與靶心的距離小于2的概率為()\f(1,13)\f(1,9)\f(1,4)\f(1,2)9．[2022·開封模擬]在不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－4≤0，,x＋y－3≤0，,x≥0，,y≥0))所表示的平面區(qū)域內(nèi)，點(diǎn)(x，y)落在x∈[1,2]區(qū)域內(nèi)的概率是()A.eq\f(5,7)\f(2,7)\f(3,14)\f(5,14)10．利用隨機(jī)模擬方法計(jì)算y＝x2與y＝4圍成的面積時(shí)，利用計(jì)算器產(chǎn)生兩組0～1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)a1＝RAND，b1＝RAND，然后進(jìn)行平移與伸縮變換a＝a1].11．[2022·東北三省四市質(zhì)檢]在棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到正方體中心的距離大于1的概率為________．12．若不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x≤0，,－1≤y≤2，,x－y－1≥0))表示的平面區(qū)域?yàn)镸，(x－4)2＋y2≤1表示的平面區(qū)域?yàn)镹，現(xiàn)隨機(jī)向區(qū)域M內(nèi)拋一粒豆子，則該豆子落在平面區(qū)域N內(nèi)的概率是________．13．[2022·哈三中一模]已知集合M＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}表示的區(qū)域?yàn)锳，集合N＝{(x，y)|y≤x2,0≤x≤1,0≤y≤1}表示的區(qū)域?yàn)锽，向區(qū)域A內(nèi)隨機(jī)拋擲一粒豆子，則豆子落在區(qū)域B內(nèi)的概率為________．14．(10分)設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率；(2)若a是從區(qū)間[0,3]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．15．(13分)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)(x－2，x－y)．(1)在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號(hào)為1,2,3的三張卡片，現(xiàn)從此盒中有放回地先后抽到兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別記為x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；(2)若利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)在[0,3]上先后取兩個(gè)數(shù)分別記為x，y，求P點(diǎn)在第一象限的概率．eq\a\vs4\al\co1(難點(diǎn)突破)16．(12分)設(shè)AB＝6，在線段AB上任取兩點(diǎn)(端點(diǎn)A，B除外)，將線段AB分成了三條線段．(1)若分成的三條線段的長(zhǎng)度均為正整數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率；(2)若分成的三條線段的長(zhǎng)度均為正實(shí)數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率．

課時(shí)作業(yè)(六十)【基礎(chǔ)熱身】1．A[解析]試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為10min，而構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度為1min，故P(A)＝eq\f(1,10).2．A[解析]陰影部分的面積是整個(gè)圓的面積的eq\f(1,8).3．B[解析]根據(jù)隨機(jī)模擬的思想，這個(gè)面積是10×eq\f(200－114,200)＝.4．D[解析]如圖，區(qū)域Ω為三角形區(qū)域OAB，區(qū)域A為三角形區(qū)域OBC，所求的概率為△OBC與△OAB的面積之比，即P＝eq\f(2,\f(8,3))＝eq\f(3,4).【能力提升】5．B[解析]如圖，當(dāng)螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過2時(shí)，螞蟻要在圖中的空白區(qū)域內(nèi)．△ABC為等腰三角形，易知AD＝4，△ABC的面積是12，由于三角形內(nèi)角和等于π，圖中的三個(gè)扇形的面積之和等于一個(gè)半徑為2的圓的面積的一半，即三個(gè)扇形的面積之和等于2π，故空白區(qū)域的面積是12－2π，所求的概率為eq\f(12－2π,12)＝1－eq\f(π,6).正確選項(xiàng)為B.6．A[解析]區(qū)域|x|＋|y|≤eq\r(2)是邊長(zhǎng)為2的一個(gè)正方形區(qū)域(如下圖)，由圖知所求概率P為eq\f(π,4).7．D[解析]根據(jù)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))＝0知，點(diǎn)P是△ABC的BC邊上中線的中點(diǎn)，故△PBC的面積等于△ABC面積的eq\f(1,2).8．B[解析]射中區(qū)域的面積與整個(gè)圓形靶的面積的比值是eq\f(1,9).9．B[解析]如圖，題中不等式組所表示的平面區(qū)域的面積是eq\f(7,2)，在這個(gè)區(qū)域中帶形區(qū)域1≤x≤2的面積是1，故所求的概率是eq\f(2,7).10．[解析]最后兩組變換后為(－,和(－,，這兩個(gè)點(diǎn)都在所求區(qū)域內(nèi)，變換后的區(qū)域是{(x，y)|－2≤x≤2,0≤y≤4}，這個(gè)面積是16，落在所求面積區(qū)域內(nèi)的樣本點(diǎn)數(shù)為67，故所求區(qū)域的面積為16×＝.11．1－eq\f(π,6)[解析]半徑為1的球的體積是eq\f(4,3)π，正方體的體積是8，故所求的概率是1－eq\f(\f(4π,3),8)＝1－eq\f(π,6).\f(π,15)[解析]如圖所示：P＝eq\f(\f(1,2)×π×12,\f(1,2)×1＋4×3)＝eq\f(π,15).\f(1,3)[解析]根據(jù)題意這是一個(gè)幾何概型問題，所求的概率是拋物線y＝x2與直線x＝1，y＝0所圍成的區(qū)域的面積與區(qū)域M的面積的比．P＝eq\f(\i\in(0,1,)x2dx,1×1)＝eq\f(1,3)x3eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(1),\s\do5(0))))＝eq\f(1,3).14．[解答]設(shè)事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根”．當(dāng)a>0，b>0時(shí)，方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根的充要條件為a≥b.(1)基本事件共12個(gè)：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值．事件A中包含9個(gè)基本事件，事件A發(fā)生的概率為P(A)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}．構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}．所以所求的概率為eq\f(3×2－\f(1,2)×22,3×2)＝eq\f(2,3).15．[解答](1)記抽到的卡片標(biāo)號(hào)為(x，y)，所有的情況分別如下表：(x，y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)P(x－2，x－y)(－1,0)(－1，－1)(－1，－2)(0,1)(0,0)(0，－1)(1,2)(1,1)(1,0)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(OP))1eq\r(2)eq\r(5)101eq\r(5)eq\r(2)1其中基本事件是總數(shù)為9，隨機(jī)事件A“|OP|取最大值”包含2個(gè)基本事件，故所求的概率為P(A)＝eq\f(2,9).(2)設(shè)事件B為“P點(diǎn)在第一象限”．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤3，,0≤y≤3，))則其所表示的區(qū)域面積為3×3＝9.由題意可得事件B滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤3，,0≤y≤3，,x－2>0，,x－y>0，))即如圖所示的陰影部分，其區(qū)域面積為1×3－eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(5,2).∴P(B)＝eq\f(\f(5,2),9)＝eq\f(5,18).【難點(diǎn)突破】16．[解答](1)若分成的三條線段的長(zhǎng)度均為正整數(shù)，則三條線段的長(zhǎng)度的所有可能為：1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3種情況，其中只有三條線段為2,2,2時(shí)能構(gòu)成三角形，則構(gòu)成三角形的概率P＝eq\f(1,3).(2)設(shè)其中兩條線段長(zhǎng)度分別為x，y，則第三條線段長(zhǎng)度為6－x－y，則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<6，,0<y<6，,0<x＋y<6，,0<6－x－y<6，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<6，,0<y<6，,0<x＋y<6.))這個(gè)區(qū)域是坐標(biāo)平面內(nèi)以點(diǎn)O(0,0)，A(6,0)，B(0,6)為頂點(diǎn)的三角形，其面積為eq\f(1,2)×6×6＝18.若三