第四節(jié)等腰三角形與直角三角形姓名：________班級(jí)：________用時(shí)：______分鐘1．(2020·原創(chuàng))如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD，若∠B＝40°，則∠ACD的度數(shù)為()A．40° B．45° C．50° D．55°2．(2019·天水)如圖，等邊△OAB的邊長(zhǎng)為2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()A．(1，1) B．(1，eq\r(3))C．(eq\r(3)，1) D．(eq\r(3)，eq\r(3))3．(2019·衢州)“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來(lái)的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)．C點(diǎn)固定，OC＝CD＝DE，點(diǎn)D、E可在槽中滑動(dòng)．若∠BDE＝75°，則∠CDE的度數(shù)是()A．60° B．65° C．75° D．80°4．(2019·改編)如圖，△ABC中，AC＝BC＜AB，∠1，∠2分別為∠ABC和∠ACB的鄰補(bǔ)角，則下列關(guān)系正確的是()A．∠1＜∠2 B．∠1＝∠2C．∠A＋∠2＜180° D．∠A＋∠1＞180°5．(2018·淄博)如圖，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，則BC的長(zhǎng)為()A．4 B．6 C．4eq\r(3) D．86．(2019·唐山路北區(qū)三模)如圖，△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，E在AC上，且BE⊥AC，若DE＝10，AE＝16，則BE的長(zhǎng)度為()A．10 B．11C．12 D．137．(2019·蘭州)在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，則∠B＝________°.8．(2019·綏化)如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在AC上，且BD＝BC＝AD，則∠A＝________度．9．(2019·鄂州)如圖，已知線段AB＝4，O是AB的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，∠1＝60°，P點(diǎn)是直線l上一點(diǎn)，當(dāng)△APB是直角三角形時(shí)，BP＝________.10．(2019·哈爾濱)如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，點(diǎn)E為AD邊上一點(diǎn)，連接BD，CE，CE與BD相交于點(diǎn)F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)_______．11．(2018·天津)如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊△ABC中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，EF⊥AC于點(diǎn)F，G為EF的中點(diǎn)，連接DG，則DG的長(zhǎng)為_(kāi)_______．12．(2020·原創(chuàng))如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：DC＝CF.13．(2019·重慶A卷)如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊的中點(diǎn)，連接AD，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交AB于點(diǎn)F.(1)若∠C＝36°，求∠BAD的度數(shù)；(2)求證：FB＝FE.14．(2019·攀枝花)如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE是AC邊上的中線，且BD＝CE.求證：(1)點(diǎn)D在BE的垂直平分線上；(2)∠BEC＝3∠ABE.1．(2019·黃石)如圖，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于點(diǎn)D，∠BCD和∠BDC的平分線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)為邊AC的中點(diǎn)，CD＝CF，則∠ACD＋∠CED＝()A．125° B．145° C．175° D．190°2．(2019·保定二模)點(diǎn)P是正方形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且△PAB，△PCD，△PAD，△PBC都是等腰三角形，這樣的點(diǎn)P有()A．1個(gè)B．9個(gè) C．10個(gè) D．12個(gè)3．(2019·畢節(jié))三角板是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好幫手，將一對(duì)直角三角板按如圖方式放置，點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，則CD的長(zhǎng)度是________．4．(2020·原創(chuàng))如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)D以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B即停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M，N分別是AD，CD的中點(diǎn)，連接MN，設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.(1)MN與AC的數(shù)量關(guān)系是________；(2)求點(diǎn)D由點(diǎn)A向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段MN所掃過(guò)區(qū)域的面積；(3)若△DMN是等腰三角形，求t的值．參考答案基礎(chǔ)訓(xùn)練1．C2.B3.D4.C5.B6.C7.708.369．2或2eq\r(3)或2eq\r(7)10．2eq\r(7)【解析】如解圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，∵AB＝AD，BC＝DC，∠BAD＝60°，∴AC垂直平分BD，△ABD是等邊三角形，∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AD＝BD＝AB＝8，∴BO＝DO＝4，∵CE∥AB，∴∠ACE＝∠BAO＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°，∴∠DAO＝∠ACE＝30°，∴AE＝CE＝6，∴DE＝2.∵∠CED＝∠ADB＝60°，∴△DEF是等邊三角形，∴DF＝EF＝2，∴OF＝OD－DF＝2，在Rt△OFC中，∠OFC＝∠DFE＝60°，∴OC＝eq\r(3)OF＝2eq\r(3)，∴在Rt△BOC中，BC＝eq\r(BO2＋CO2)＝2eq\r(7).11.eq\f(\r(19),2)【解析】如解圖，連接DE.∵D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴CE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×4＝2，DE是△ABC的中位線，∴DE∥AC，DE＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×4＝2，∴∠DEB＝∠C＝60°.∵EF⊥AC，∴∠EFC＝90°，∴∠FEC＝180°－90°－60°＝30°，∴∠DEG＝180°－∠DEB－∠FEC＝180°－60°－30°＝90°.在Rt△EFC中，EF＝CE·sinC＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).∵G是EF的中點(diǎn)，∴EG＝eq\f(\r(3),2).在Rt△DEG中，根據(jù)勾股定理，得DG＝eq\r(DE2＋EG2)＝eq\r(22＋（\f(\r(3),2)）2)＝eq\f(\r(19),2).12．證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEC＝∠A＝60°，∴∠CDE＝∠CED，∴CD＝CE.∵EF⊥DE，∴∠CEF＝90°－∠DEC＝30°，∠F＝90°－∠EDC＝30°，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴CD＝CF.13．(1)解：∵AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∵∠C＝36°，∴∠BAD＝∠CAD＝90°－∠C＝54°.(2)證明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE，∴∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE.14．證明：(1)如解圖，連接DE，∵CD是AB邊上的高，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵BE是AC邊上的中線，∴AE＝CE＝DE，∵BD＝CE，∴BD＝DE，∴點(diǎn)D在BE的垂直平分線上．(2)∵DE＝AE，∴∠A＝∠ADE，∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∵∠ADE＝∠DBE＋∠DEB，∴∠ADE＝2∠ABE，∵∠BEC＝∠A＋∠ABE，∴∠BEC＝3∠ABE.拔高訓(xùn)練1．C2.B3．15－5eq\r(3)【解析】如解圖，分別過(guò)點(diǎn)B，A作FC的垂線，垂足分別記為G，H，∴BG∥AH，∵AB∥GH，∴四邊形BGHA是矩形，∴∠BAH＝90°，BG＝AH，GH＝AB.∵∠BAC＝60°，∴∠CAH＝90°－∠CAB＝30°，∠ABC＝30°，∵AC＝10，∴AH＝BG＝eq\f(\r(3),2)AC＝5eq\r(3)，∵GC∥AB，∴∠GCB＝∠ABC＝30°，∴GC＝eq\r(3)BG＝15，∵∠E＝45°，∠EFD＝90°，∴∠FDB＝45°，∵BG⊥FD，∴DG＝BG＝5eq\r(3)，∴CD＝GC－DG＝15－5eq\r(3).4．解：(1)MN＝eq\f(1,2)AC.【解法提示】∵M(jìn)，N分別是AD，CD的中點(diǎn)，∴MN是△DAC的中位線，∴MN∥AC，MN＝eq\f(1,2)AC.(2)點(diǎn)D從A向B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，MN掃過(guò)的圖形是平行四邊形，其中底邊長(zhǎng)MN＝eq\f(1,2)AC＝3，高為BC的一半，即4，則MN掃過(guò)的面積為3×4＝12.(3)在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，由勾股定理得AB＝10.若△DMN是等腰三角形，則需分三種情況討論．①DM＝DN，此時(shí)∠DMN＝∠DNM，∵M(jìn)N∥AC，∴∠DMN＝∠A，∠DNM＝∠DCA，∴∠A＝∠DCA，∴DA＝DC，∵∠B＝90°－∠A，∠DCB＝90°－∠DCA，∴∠B＝∠DCB，∴DB＝DC，∴點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則t＝5；②DM＝M