群的定義及其證明摘要群在我們的自然科學(xué)研究中扮演者越來越重要的角色，從發(fā)現(xiàn)群到現(xiàn)在，它被廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域的研究，無論是在數(shù)學(xué)上還是在物理化學(xué)等學(xué)科了，它的規(guī)律被人們廣泛認(rèn)可。由此，肯定了我們對群的研究是有必要的，只有深刻地認(rèn)識群的本質(zhì)，才能讓它在其他學(xué)科中的作用越來越突出。所以，本文從群的發(fā)展演變，群的定義以及一些常見的群：循環(huán)群、有限群、同構(gòu)群、子群、不變子群、置換群、直積群、線性群、二面體群、四元數(shù)群的定義，群的應(yīng)用來進行闡述，讓我們對群的定義有一定的把握和對群的應(yīng)用有簡單的認(rèn)識。關(guān)鍵詞：集合、運算、群、群的定義群的定義比較及其應(yīng)用AbstractGroupinourstudyofthenaturalscienceswhoplaysanincreasinglyimportantrole,fromthediscoveryofthegroupuntilnow,ithasbeenwidelyusedinvariousfieldsofresearch,whetherinmathematicsorinphysicalchemistryandotherdisciplines,anditslawsareitiswidelyrecognized.Thus,recognitionofourresearchgroupisnecessary,onlyaprofoundunderstandingofthenatureofthegroup,tomakeitinotherdisciplinesbecomeincreasinglyprominent.Therefore,thisarticlefromtheevolutionofthedevelopmentgroup,thedefinitionofthegroupaswellassomecommongroup:cyclicgroup,finitegroupisomorphicgroups,subgroups,invariantsubgroup,permutationgroup,directproductgroup,lineargroup,dihedralgroup,quaterniongroupdefinition,applicationgrouptoelaborate,letusdefinethegroupadegreeofcertaintyandcomplexapplicationhasasimpleunderstanding.Keywords:definitionofset,operations,group,definitionofgroup目錄第一章群的由來…………………1第二章基本概念及預(yù)備知識……………42.2群的定義及其等價證明………………42.2.1群的定義……………52.2.2群的定義的等價證明……………5第三章幾種常見的群……………102.3.1循環(huán)群……………………102.3.2有限群……………………102.3.3同構(gòu)群……………………122.3.4子群……………………122.3.5交換群……………………132.3.6直積群……………………132.3.7線性群……………………132.3.8二面體群…………………142.3.9四元素群…………………14第四章群的應(yīng)用…………………154.1群在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用……………154.2群在其他學(xué)科的應(yīng)用…………16參考文獻……………17謝辭…………………18群的定義比較及其應(yīng)用第二章、基本概念及預(yù)備知識2.1預(yù)備知識集合的定義：若干個（有限或無限）有明確定義的事物的全體叫做一個集合，簡稱集．組成一個集合的事物叫做這個集合的元素，簡稱元．沒有任何元素的集合成為空集合．兩個集合的關(guān)系：如果集合中的每一個元素都屬于集合，就稱是的子集．集合是的集合的子集，而且至少有一個的元不屬于，就稱是的真子集．集合和集合的共同元素所組成的集合叫做和的交集．由至少屬于集合和集合之一的一切元素組合的集合叫做和的并集．映射的定義：通過一個法則，集合里的任何一個元都能在集合中得到一個唯一的元，那么這個法則叫做集合到集合的一個映射，元稱為元在映射之下的象，元稱為元在映射之下的一個逆元．代數(shù)運算的定義：一個到的映射叫做一個到的代數(shù)運算，常用表示．變換的定義：一個到的映射叫做的一個變換．一個到的滿射，單射或與之間的一一映射稱為Ａ的一個滿射變換、單射變換或一一變換．同態(tài)和同構(gòu)的定義：【1】=1\*GB3①、一個到的映射，叫做一個對于代數(shù)運算。和來說的，到的同態(tài)映射，假如，在之下，不管和是的哪兩個元，只要，就有．=2\*GB3②、一個到的一一映射是一個對于代數(shù)運算。和來說的，到的同構(gòu)映射，簡稱同構(gòu)，假如，在之下，不管和是的哪兩個元，只要就有．假如在與間，對于代數(shù)運算和來說，存在一個同構(gòu)映射，我們就稱，對于代數(shù)運算和來說，與同構(gòu)，且用符號來表示．假如，對于代數(shù)運算和來說，與同態(tài)，那么，=1\*GB3①、若適合結(jié)合律，也適合結(jié)合律；=2\*GB3②、若適合交換律，也適合交換律．證明：假設(shè)一個到的映射是一個同態(tài)滿射.=1\*GB3①、，，是的三個元，那么，里至少找得出三個元來，在之下，.于是，，.但由題設(shè)，于是，和是里同一元的象，因此，.=2\*GB3②、，是的任意兩個元，在之下，.其中，.那么，但；因此，.群的定義比較及其應(yīng)用2.2群的定義第一定義：設(shè)一個非空集合定義了一個叫做乘法的代數(shù)運算，且滿足:(1)乘法封閉，即都有；(2)結(jié)合律成立，即都有；(3)，方程和在里都有解；則稱對于這個乘法的代數(shù)運算作成一個群．例1：代數(shù)系統(tǒng)是一個群（這里的為群體整數(shù)的集合，這里的+為普通數(shù)的加法）．證明：=1\*romani、，有；=2\*romanii、，有；=3\*romaniii、，方程，在內(nèi)有解，；所以，代數(shù)系統(tǒng)是一個群．第二定義：設(shè)一個非空集合定義了一個叫做乘法的代數(shù)運算，且滿足:(1)乘法封閉，即都有；(2)結(jié)合律成立，即都有；(3)在中至少存在一個左單位元，使得都有；(4)中的每一個元至少都存在一個左逆元，使得,則稱對于這個乘法的代數(shù)運算作成一個群．例2、代數(shù)系統(tǒng)不構(gòu)成一個群（這里的為群體整數(shù)的集合，這里的為普通的乘法）．證明：因為，但是在集合里2沒有左逆元，所以代數(shù)系統(tǒng)不構(gòu)成一個群．第三定義：設(shè)一個非空集合定義了一個叫做乘法的代數(shù)運算，且滿足:(1)乘法封閉，即都有；(2)結(jié)合律成立，即都有；(3)在中至少存在一個右單位元，使得都有；(4)中的每一個元至少都存在一個右逆元，使得,則稱對于這個乘法的代數(shù)運算作成一個群．例3：群的一個左逆元一定也是一個右逆元，群的一個右逆元一定也是一個左逆元．證明：=1\*GB3①、由可得；根據(jù)群的第二定義里的（4），使得；所以，但所以【1】．=2\*GB3②、一個左逆元一定也是一個右逆元，即：，對群的任何元成立．因為，，所以【1】．=3\*GB3③、我們證明可解．我們?nèi)?，由群的第二定義的（4）得，存在；由群的第二定義的（1）得，；在里，的這個元顯然是以上方程的解，由群的第二定義的（2），（4）和1）得，；同樣地，是的解【1】．所以，群的一個左逆元一定也是一個右逆元，群的一個右逆元一定也是一個左逆元．第四定義：設(shè)一個非空集合定義了一個叫做乘法的代數(shù)運算，且滿足:(1)乘法封閉，即，都有；(2)結(jié)合律成立，即，都有；(3)在中至少存在一個單位元，使得，都有；(4)中的每一個元至少都存在一個逆元，使得,則稱對于這個乘法的代數(shù)運算作成一個群．有限群定義：由有限個元素構(gòu)成的群成為有限群．性質(zhì)1：一個有限個元素構(gòu)成的群，滿足：(1)乘法封閉，即都有；(2)結(jié)合律成立，即都有；（3）可以進行右消和左消，即若及，這兩個式子意味著；（4）每個群都有一個有限的階，而且，是一個順序為1的元素，而其他元素的順序高于一號元素．（5）用中的任一個元素乘遍中的每一個元素，及，這樣在再生出的群，通常有不同的順序．這也稱“重排定理”，可用群的乘法表的性質(zhì)來證明．【5】性質(zhì)2：群的乘法表的性質(zhì)=1\*GB2⑴、一個給定的元素在指定的行或列中出現(xiàn)一次而且只能出現(xiàn)一次．=2\*GB2⑵、對于一個交換群來說，其乘法表穿過主對角線是對稱的．證明：在群里，假如用來表示一個六階群的各元素，那么，它的乘法表表示法如下：表1從表中我們可以知道，對角線是不隊稱的，由此，我們可以得，在群中，因此，群不是一個交換群．但是，我們可以對乘法表中的行和列進行重排，重排并不會影響乘法表的本質(zhì)．在重排時，指定的列中我們用元素的逆元來替換它本身來達到我們重排的目的．就生成一個新的乘法表，如表2所示：表2在表2中，對角線的位置全都被恒等元素所占據(jù)，且關(guān)于對角線對稱，即，因此，表2中所表示的群是一個交換群．我們可以在行上取出兩個元素和，使得，用來乘這兩個等式得，，因此，我們可以得到和是相同的元素．同理可證其他的行列中的元素，所以，所有行或列中的所有元素只能出現(xiàn)一次且都出現(xiàn)一次．那么，我們也可以用同樣的方法來證明一階群到五階群全是交換群，而六階群不全是交換群.2.3群的四個定義的等價證明命題：群的上述四個定義是相互等價的．證明:=1\*GB3①、證明第一定義與第二定義等價．由第一定義中(3)知方程在中有解，設(shè)解，則，．又因為在中有解，設(shè)解為，有．從而,即在中至少存在一個左單位元，使得對任一,都有得證．現(xiàn)來證有左逆元存在．由第一定義中(3)知方程有解，解為．即．從而第一定義等價于第二定義．=2\*GB3②、第一定義與第四定義等價．先來證明第一定義可以推導(dǎo)出第四定義．由第一定義知第四定義中(1)，(2)成立.現(xiàn)在來證明第四定義中(3)，(4)成立.事實上，設(shè)，由第一定義中(3)知方程有解，設(shè)其解，即方程成立．可以證明為中的單位元．事實上，由第一定義中(3)知方程在中有解，設(shè)其解為，即,于是．又由第一定義中(3)知方程在中有解，設(shè)其解為，即，于是．從而，，故．即都有.即中存在單位元，第四定義中(3)成立．下證中有逆元．由第一定義中(3)知方程與在中有解，設(shè)其解為，即.從而于是，即第四定義中(4)成立【11】．再證第四定義可以推導(dǎo)出第一定義．對第四定義中(4)知存在，使得.設(shè)，且，則.所以.即在中有解．同理可證在中有解．故第一定義等價于第四定義．=3\*GB3③、證明第二定義等價第三定義．首先證明左單位元也是右單位元．設(shè)是群的左單位元，,有，使,從而即左單位元也是右單位元．下證群中元素的左逆元也是的右逆元．根據(jù)第二定義中(4)有.設(shè)，于是．從而,即左逆元等于右逆元．故第二定義等價與第三定義．=4\*GB3④、證明第三定義與第四定義等價．因為已證明第一定義等價第四定義，第一定義等價第二定義，第二定義等價第三定義，所以顯然第三定義等價第四定義．因此，群的四個定義都相互等價．例1、【5】兩個或多個元素乘積的逆元等于各個逆元按相反次序的乘積．證明：兩個或多個元素乘積的逆元等于各個逆元按相反次序的乘積，即；為了方便證明，我將對一個三個元乘積的逆元等于的乘積來證明這個定理，即若，我們用右乘這個等式的左右兩邊，得因為乘等于，所以是的逆元；又因為，所以我們可以得到；這就可以證明，同理可證明多個元相乘的逆元等于各個逆元按相反次序的乘積，于是．第三章、幾種常見的群群的四個定義比較抽象，我將給出幾種常見的群：循環(huán)群、有限群、同構(gòu)群、子群、變換群、直積群、線性群、二面體群、四元數(shù)群等的定義來對上一節(jié)所論述的四個群的定義更進一步的說明和補充，以便我們更好的理解群的四個定義．下面，將簡明扼要地對這幾種群的定義和性質(zhì)進行闡述．循環(huán)群定義：設(shè)是群，是的子集，則稱的所有包含的子群的交為由生成的子群，記作，如果，我們稱是的一個生成系，僅由一個元素生成的群叫做循環(huán)群．性質(zhì)1：由一個元能生成整個群的個元素，可記為，、、、…、．其中為群的階，每一個循環(huán)群都是交換群(群)，但交換群(群)不一定都是循環(huán)群．下面將介紹特殊的循環(huán)群——交換群(群)．交換群定義：設(shè)是一個群，若都滿足，則稱為群(交換群)，群是具有交換律的群．在群中，每一個元素都自成一類．性質(zhì)2：設(shè)為集合，為從到其自身的一一映射的集合．假如把這種映射當(dāng)做上的乘法運算，那么就構(gòu)成群．特別地，當(dāng)時，這個群變成所有次置換的群．在這種情況下，它叫做次對稱群，記作，群是有限的，但當(dāng)時，群是非交換群．同構(gòu)群定義：假如和兩個群的元素之間能夠建立一一對應(yīng)的關(guān)系，例如和，或者用符號表示為時，這兩個群就稱為同構(gòu)群．同態(tài)群定義：假如和兩個群的元素之間能夠建立一對多對應(yīng)的關(guān)系，就稱為同態(tài)群．子群定義：一個群的一個子集叫做的一個子群，H對于群的運算也構(gòu)成一個群．不變子群定義：當(dāng)?shù)囊粋€子群是完全由的完整的類所構(gòu)成時，這就稱為不變子群．性質(zhì)1：在一個不變子群中的算法有這樣的性質(zhì)，對于中的全部來說，假如在中，那么也必在中．變換群定義：一個集合上的若干個一一變換對于規(guī)定的乘法作成的一個群叫做這個集合的一個變換群．變換群的一種特例就是置換群．置換群定義：一個有限集合的若干個置換作成的一個群叫做一個置換群．物體可以用字母來表示，或者簡單地用數(shù)字來表示．假如置換是用替換，用替換2…用替換，這里的有相同的順序，我們就可以寫成：，這表明，第一行中的每一個數(shù)字都可以用緊接在下面的第二行中與之相對應(yīng)的字符來替換．度的對稱群定義：對于上述這種類型的排列，個物體就有個不同的置換．個物體全部置換的集合．構(gòu)成一個階的群，它也稱為度的對稱群【5】．直積群定義：假如和滿足：兩個群有相同的組合法則；中的元素可以與中的元素相交換；兩個群間除了恒等元素外，不存在別的共同元素．那么，當(dāng)而構(gòu)成一個群時，這個就稱為和的直積群．可記為：．線性群的定義：設(shè)是域上維線性空間，則的所有可逆線性變換對乘法組成一個群，它同構(gòu)于上全體階可逆方陣組成的乘法群．這個群記作，叫做上的級全線性群．記為所有行列式為1的階方陣組成的集合，則是的子群，叫做上的級特殊線性群．顯然可知，是的正規(guī)子群，并且由同構(gòu)定理得，．設(shè)為所有階非零純量陣組成，所以稱為上級射影線性群;又稱為上級特殊射影線性群．設(shè)為包含個元素的有限域，那么上述的群即可分別記為．二面體群的定義：平面上正邊形的全體對稱的集合，其中它包含個旋轉(zhuǎn)和個反射(沿條不同的對稱軸)，對于變換的乘法，即對于變換的連續(xù)施加來說作成一個群，叫做二面體群，其中它包含個元素．為了弄清楚二面體群的構(gòu)造，以表示繞這個正邊形的中心沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)的變換，則中所有旋轉(zhuǎn)都可以表示成的形式，其中．它們組成的一個階正規(guī)子群，再以表示沿某指定的對稱軸所坐的反射變換，于是有(1)最后一式表示為先作反射，接著旋轉(zhuǎn)，又作反射，也就是相當(dāng)于向反方向旋轉(zhuǎn)．于是容易得出．其中中的乘法仍然滿足：.事實上，由生成并且滿足關(guān)系(1)即可以唯一確定群.所以(1)就叫做群的定義關(guān)系【15】．四元數(shù)群的定義：哈密頓四元數(shù)的單位在乘法下組成一個8階群，，叫做四元數(shù)群，記作．中元素的乘法滿足：，，，若令，則，且滿足這是的定義關(guān)系．【15】第四章、群的簡單應(yīng)用4.1群在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用現(xiàn)在群論是代數(shù)學(xué)發(fā)展最充分的分支之一．群的應(yīng)用不僅僅用于數(shù)學(xué)中的偏微分方程、拓?fù)鋵W(xué)、函數(shù)論、伽羅瓦理論。在方程F(x,y)=0里，若以-x代x而方程不變，則它的曲線關(guān)于y軸對稱；若對-y代y而方程不變，則它的曲線關(guān)于x軸對稱；若以-x代x,同時以-y代y而方程不變,則它的曲線關(guān)于原點對稱.數(shù)學(xué)上，這些對稱性由群論來表述。上述例子中的群分別對應(yīng)著伽利略群，洛倫茲群和U(1)群。4.2群在其他學(xué)科中的應(yīng)用群在化學(xué)和物理的研究中有著不可替代的作用，特別是在解決分子軌道理論、分子振動、分子光譜學(xué)、化學(xué)反應(yīng)選擇規(guī)律、晶體學(xué)與相對論等問題時．群所涉及的抽象數(shù)學(xué)實體，用多種方式來形象好．群的性質(zhì)是通過有關(guān)的特定物理系統(tǒng)所呈現(xiàn)出的各種性質(zhì)來引入計算的，例如：對稱性．群是認(rèn)識對稱性最有利的武器．群的定義以準(zhǔn)確的術(shù)語刻畫了這個或那個幾何圖形的對稱性，正是從這個立場出發(fā)，費多羅夫解決了正規(guī)空間點系的分類問題，這是晶體分類的基本問題之一，平面費多羅夫群共有17個，它們是被直接得到的；空間費多羅夫群共有230個，并且只有群論能夠?qū)λ鼈冞M行詳盡無遺的分類，這是歷史上將群論直接用于自然科學(xué)的第一個例子【3】．群在物理研究有著重要的應(yīng)用，下面以量子力學(xué)中物理系統(tǒng)的狀況和分子振動問題為例．量子力學(xué)中物理系統(tǒng)的狀況有無窮維矢量空間點的描繪；如果物理系統(tǒng)由一種狀態(tài)過渡到另一種狀態(tài)，那么描述它的點就會受到一線性變換，對稱性的設(shè)想與群用線性變換來表示的理論在這里有頭等的意義．【3】群論可用基矢作為表示的基．【5】最早是在1913年，布雷斯特將分子的對稱性應(yīng)用到分子的振動問題中去的，在1939年，微格納第一次將群論方法應(yīng)用來研究分子振動．群論應(yīng)用到分子振動問題中去是與這樣的事實相關(guān)聯(lián)的，即分子的簡正方式及簡正坐標(biāo)有一定的對稱性【5】．假如把分子中的原子人為地看作是靜止時，那么分子可以有許多對稱元素；然而分子中的原子決不是真的處于靜止?fàn)顟B(tài)，因此對稱元素被認(rèn)為是存在于分子的平衡構(gòu)型中．群不僅用于分子和原子的振動中去，同時，也在晶體的振動中被廣泛應(yīng)用．從晶體的一個廣義的定義來說，它的對稱操作是包括和平移相結(jié)合的操作在內(nèi)．假如略去平移操作，那么每一個點是與一組點操作相聯(lián)系，而這組點操作構(gòu)成一個群．對于晶體中的所有點來說，情況都是相同的．這就有可能發(fā)現(xiàn)一個唯一的點群，用此點群來對整個晶體作出局部的描述，這種點群就稱為結(jié)晶學(xué)點群．【6】這種群是系統(tǒng)的一個子群，也可以是較低對稱性的其他系統(tǒng)的一個子群．但是，假如這種晶體學(xué)點群是該系統(tǒng)的一個子群；這種晶體學(xué)點群不包括在一個較低對稱性的系統(tǒng)中；那么，習(xí)慣上就把晶類看作為與晶體有關(guān)．【6】群的定義比較及其應(yīng)用參考文獻[1]張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)(修訂本)[Ｍ].北京：高等教育出版社，1978[2]李文林.數(shù)學(xué)史概論(第三版)[Ｍ].北京：高等教育出版社,2011[3]M.H.KAPAOOB.群論基礎(chǔ)[Ｍ].北京：高等教育出版社，1994[4]郭文彬.群類論.[Ｍ].北京：科學(xué)出版社，1997[5]P.G.Puranik.群論對分子振動的應(yīng)用[Ｍ].北京：高等教育出版社，1979[6]F.AlbertCotton.群論在化學(xué)中的應(yīng)用[Ｍ].北京：科學(xué)出版社，1971[7]章璞.伽羅瓦理論（天才的激情）[Ｍ].北京：高等教育出版社，2013[8]包芳勛，付夕聯(lián)，張玉峰.群的概念及其思想方法[J].曲阜師范大學(xué)學(xué)報，1994,20(4):101-105[9]馮進.群概念的演變與發(fā)展[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報，2002,31(4):414-420[10]賈正華.群的幾種等價定義[J].巢湖學(xué)院學(xué)報，2010,12(3):123-125[11]王順國.關(guān)于群定義中封閉性的獨立性問題[J].重慶師范大學(xué)學(xué)報，1989,1(6):11-14[12]李克正.抽象代數(shù)基礎(chǔ)[Ｍ].北京：清華大學(xué)出版社，2007[13]牛鳳文.抽象代數(shù)(第二版)[Ｍ].武漢：武漢大學(xué)出版社，2008[14]楊勁根.近世代數(shù)講義[Ｍ].北京：科學(xué)出版社，2009[15]徐明曜.有限群導(dǎo)引(上冊)(第二版)[Ｍ].北京：科學(xué)出版社，1999