《第一章空間向量與立體幾何》章末綜合一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建二、典型例題【例1】【答案】A【解析】連接，如圖，則.故選A.（2）【答案】【解析】由，則，所以，，所以向量與的夾角為.【鞏固訓(xùn)練1】【答案】A【解析】因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅危?,,,，，即.故選A.【例2】【解析】（1）在直三棱柱中，平面ABC，又平面ABC，∴.∵平面平面,且平面平面，且平面,∴平面，又平面，∴.（2）直三棱柱中，∵平面，而平面，∴，又，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則.∵M(jìn)為的中點(diǎn)，則，所以.因?yàn)?，所以，又平面，∴平?【鞏固訓(xùn)練2】【解析】由題意得AB，BC，B1B兩兩垂直．以B為原點(diǎn)，BA，BC，BB1分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E，則＝(0，0，1)，＝(－2，2，0)，＝(－2，2，1)，＝.設(shè)平面AA1C1C的一個(gè)法向量為＝(x1，y1，z1),則令x1＝1，得y1＝1,∴＝(1，1，0)．設(shè)平面AEC1的一個(gè)法向量為＝(x2，y2，z2)．則?令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1.∴＝(1，－1，4)．∵＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0.∴，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.【例3】【解析】(1)證明：取線段中點(diǎn)，連接、，由圖1可知，四邊形EBCF是矩形，且，∴O是線段BF與CE的中點(diǎn)，且.在圖1中知且，且，所以在圖2中，且，且，∴四邊形是平行四邊形，則.由于平面，平面，∴平面.(2)解：由圖1，，折起后在圖2中仍有，，∴即為二面角的平面角，∴，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸和軸正向建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，∴.設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由，得，取，則,于是平面的一個(gè)法向量,點(diǎn)B到平面的距離為.【鞏固訓(xùn)練3】【解析】(1)作，交于點(diǎn)，由，則.∵，∴，即，∴且，連接，所以四邊形為平行四邊形，∴.∵平面，且平面，∴平面．(2)取中點(diǎn)，連接、.∵，，，根據(jù)余弦定理得，∴，則，又平面平面，平面平面，∴平面.∵是等邊三角形，∴，如圖,建立空間直角坐標(biāo)系，則，∴，∴，∴點(diǎn)到直線的距離為.【例4】【解析】(Ⅰ)由條件可知，，，滿足，.，，滿足，.又，平面.(Ⅱ)以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，.，.設(shè)平面的法向量為，，取，得.易得平面的一個(gè)法向量為，，由圖可知，二面角的平面角是，夾角的補(bǔ)角，故二面角的余弦值為.【鞏固訓(xùn)練4】【解析】（1）作交于，連接.,.又且且,四邊形為平行四邊形,.平面，平面,平面.（2）平面，平面,.又，.則可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則，，，,，，.設(shè)平面的法向量則，令，則，,.設(shè)直線與平面所成角為,.【例5】【解析】(1)在中,，，所以.在中,，，，由余弦定理有,，所以，所以①又因?yàn)棰?，由①②，，所以面，所以?在中：，，，所以④，由③④，，所以面.以為原點(diǎn)，以，，豎直向上分別為、、軸建立直角坐標(biāo)系.則有，，，，，設(shè)，則，，.設(shè)為面的法向量，則有：，解得，設(shè)所求線面角為，則有，解得，所以.所以點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，滿足條件.【鞏固訓(xùn)練5】【解析】直三棱柱中，，，，則、、兩兩垂直,如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線、、分別為軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．（1）假設(shè)在AB上存在點(diǎn)D，使得，則，其中，則，于是.由于，且，所以，得，所以在AB上存在點(diǎn)D，使得，且這時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合．(2)假設(shè)在AB上存在點(diǎn)D，使得平面，則，其中，則，．又，，平面，所以存在實(shí)數(shù)，使成立，∴，，．所以，所以在上存在點(diǎn)使得平面，且是的中點(diǎn)．三．操作演練素養(yǎng)提升1.【答案】A【解析】，，．又，，，所以，，，所以，所以.故選A．2.【答案】D【解析】∵，∴與不共線，又∵三向量共面，則存在實(shí)數(shù)m，n使即，解得．故選D．3.【答案】C【解析】由條件，知．，，即，所以二面角的大小為故選C．4.【解析】(1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，設(shè)AB