PAGE第12頁共13頁《數(shù)學(xué)建?！沸彰喊嗉墸簩W(xué)號：

一、解釋下列詞語1．模型答：模型指為了某個(gè)特定目的將原型的某一部分信息簡縮，提煉而構(gòu)造的原型代替物。模型只要求反映與某種目的有關(guān)的某些方面和層次。例如：在制作航模競賽的模型飛機(jī)要具有良好的飛行性能，則在外觀上不必苛求。而在飛機(jī)設(shè)計(jì)，試制過程中用到的數(shù)學(xué)模型和計(jì)算機(jī)模擬，則只要求在數(shù)量上真是反映飛機(jī)的動(dòng)態(tài)特性，不用涉及飛機(jī)的實(shí)體，因此模型的基本特征是由構(gòu)造模型的目的決定的。2．?dāng)?shù)學(xué)模型答：數(shù)學(xué)建模是由數(shù)字，字母或其他數(shù)學(xué)符號組成的，藐視現(xiàn)實(shí)對象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)公式，圖形或算法。一般地說，數(shù)學(xué)建?？梢悦枋鰹?，對于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)，用用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。例如：“航行問題”用數(shù)學(xué)模型簡化實(shí)際，簡化假設(shè)（航行中設(shè)的船速水速為常數(shù)）；用字母表示帶求的未知量（x,y代表船速和水速）；利用相應(yīng)的物理或其他規(guī)律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于時(shí)間乘以速度），列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；求出數(shù)學(xué)上的解答；用該答案解釋原問題，最后用實(shí)際現(xiàn)象驗(yàn)證上述結(jié)果。3．抽象模型答：概念結(jié)構(gòu)是對現(xiàn)實(shí)世界的一種抽象從實(shí)際的人、物、事和概念中抽取所關(guān)心的共同特性，忽略非本質(zhì)的細(xì)節(jié)把這些特性用各種概念精確地加以描述的模型，包括思維模型，符號模型，數(shù)學(xué)模型等。1.分類定義某一類概念作為現(xiàn)實(shí)世界中一組對象的類型，這些對象具有某些共同的特性和行為。2.聚集定義某一類型的組成成分，它抽象了對象內(nèi)部類型和成分之間關(guān)系的語義。

3.概括定義類型之間的一種子集聯(lián)，它抽象了類型之間的體系，概括有一個(gè)很重要的性質(zhì)：繼承性。子類繼承超類上定義的所有抽象。二、簡答題1．模型的分類答：按照模型替代原型的方式，模型可以簡單分為形象模型和抽象模型兩類.形象模型：直觀模型、物理模型、分子結(jié)構(gòu)模型等;抽象模型：思維模型、符號模型、數(shù)學(xué)模型等。2．?dāng)?shù)學(xué)建模的基本步驟答：1）建模準(zhǔn)備：確立建模課題的過程。2）建模假設(shè)：根據(jù)建模的目的對原型進(jìn)行抽象、簡化。有目的性原則、簡明性原則、真實(shí)性原則和全面性原則。3）構(gòu)造模型：在建模假設(shè)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析建模假設(shè)的各條款，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具和構(gòu)造模型的方法對其進(jìn)行表征，構(gòu)造出根據(jù)已知條件和數(shù)據(jù)，分析模型的特征和模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)計(jì)或選擇求解模型的數(shù)學(xué)刻劃實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型。4）模型求解：構(gòu)造數(shù)學(xué)模型之后，方法和算法，并借助計(jì)算機(jī)完成對模型的求解。5）模型分析：根據(jù)建模的目的要求，對模型求解的數(shù)字結(jié)果，或進(jìn)行穩(wěn)定性分析，或進(jìn)行系統(tǒng)參數(shù)的靈敏度分析，或進(jìn)行誤差分析等。6）模型檢驗(yàn)：模型分析符合要求之后，還必須回到客觀實(shí)際中去對模型進(jìn)行檢驗(yàn)，看它是否符合客觀實(shí)際。7）模型應(yīng)用：模型應(yīng)用是數(shù)學(xué)建模的宗旨，將其用于分析、研究和解決實(shí)際問題，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)模型在生產(chǎn)和科研中的特殊作用。3．?dāng)?shù)學(xué)模型的作用答：應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決各類實(shí)際問題，建立數(shù)學(xué)模型是把錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問題簡化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程，利用數(shù)學(xué)理論和方法分析和解決問題，通過調(diào)查、收集數(shù)據(jù)資料，觀察和研究固有特征和內(nèi)在聯(lián)系，抓住主要矛盾，建立反映實(shí)際的數(shù)量關(guān)系，來解決實(shí)際問題。數(shù)學(xué)模型的根本作用在于它將客觀原型化繁為簡、化難為易，便于人們采用定量的方法去分析和解決實(shí)際問題。正因?yàn)槿绱?，?shù)學(xué)模型在科學(xué)發(fā)展、科學(xué)預(yù)見、科學(xué)預(yù)測、科學(xué)管理、科學(xué)決策、駕控市場經(jīng)濟(jì)乃至個(gè)人高效工作和生活等眾多方面發(fā)揮著特殊的重要作用數(shù)學(xué)不僅是人們認(rèn)識(shí)世界的有力工具，而且對于人的素質(zhì)培養(yǎng)，無論是在自然科學(xué)，還是社會(huì)科學(xué)中都隨時(shí)發(fā)生著作用，使其終生受益。特別是，當(dāng)代計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展和廣泛應(yīng)用，使得數(shù)學(xué)模型的方法如虎添翼，加速了數(shù)學(xué)向各個(gè)學(xué)科的滲透，產(chǎn)生了眾多的邊緣學(xué)科。數(shù)學(xué)模型還物化于各種高新科技之中，從家用電器到天氣預(yù)報(bào)，從通信到廣播電視，從核電站到衛(wèi)星，從新材料到生物工程，高科技的高精度、高速度、高安全、高質(zhì)量、高效率等特點(diǎn)無一不是通過數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)方法并借助計(jì)算機(jī)的計(jì)算、控制來實(shí)現(xiàn)的。例如具體的應(yīng)用有如下方面：1.分析與設(shè)計(jì)例如描述藥物濃度在人體內(nèi)的變化規(guī)律以分析藥物的療效；建立跨音速流和激波的數(shù)學(xué)模型，用數(shù)值模擬設(shè)計(jì)新的飛機(jī)翼型。2.預(yù)報(bào)與決策生產(chǎn)過程中產(chǎn)品質(zhì)量質(zhì)量指標(biāo)的預(yù)報(bào)，氣象預(yù)報(bào)，人口預(yù)報(bào)，經(jīng)濟(jì)增長預(yù)報(bào)等等，都要有預(yù)報(bào)模型；使經(jīng)濟(jì)效益最大的價(jià)格策略，使運(yùn)費(fèi)最少的涉及維修方案，是決策模型的例子。3.控制與優(yōu)化電力，化工生產(chǎn)的過程的最優(yōu)控制，零件設(shè)計(jì)中的參數(shù)優(yōu)化，要以數(shù)學(xué)模型為前提。建立大系統(tǒng)控制與優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，是迫切需要和十分棘手的課題。4.規(guī)劃與管理生產(chǎn)計(jì)劃，資源配置，運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃，水庫優(yōu)化調(diào)度，以及排隊(duì)策略，物資管理等，都可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃模型解決。三、解答題國慶慶典活動(dòng)的中心廣場有數(shù)萬名學(xué)生手持花環(huán)組成大型圖案方陣，方陣前排距觀禮臺(tái)120米,方陣縱列95人，每列長度192米，試問第一、二兩排間距多大能夠達(dá)到滿意的觀禮效果？解：1）分析得：A．這個(gè)問題的關(guān)鍵在于滿意的觀禮效果，但是問題中并沒有給出明確的解釋，則由分析的：大型圖案是由圓花組成的，如果看不清某位學(xué)生手中舉起的圓花，那么圖案就不完整，但是，由于位置不同時(shí)帶來的視角差異，很難保證觀禮臺(tái)上的每個(gè)人都能看清所有學(xué)生手中舉起的圓花，因此，滿意的觀禮效果應(yīng)當(dāng)是指觀禮臺(tái)上的人至少可以看到他正前方一隊(duì)學(xué)生手中的圓花。B．由于在考慮安排方陣大小時(shí)一般會(huì)充分利用場地，因此，可以認(rèn)為方陣中縱列95人意味著恰好能保證達(dá)到滿意的觀禮效果，則如果如果各排學(xué)生間保持適當(dāng)?shù)木嚯x，那么，觀禮臺(tái)上的人恰好可以看到他正前方一隊(duì)學(xué)生手中的圓花，并且方陣中的最后一排學(xué)生恰好站到廣場的邊緣。C．學(xué)生的身高對排間距有很大的影響，如果學(xué)生的身高不同，那么，為了保證滿意的觀禮效果，不同學(xué)生站在同一個(gè)位置都會(huì)要求不同的排間距，使問題變得非常復(fù)雜，則簡化學(xué)生的生為統(tǒng)一的，并且花的大小也為統(tǒng)一的。2）形成模型假設(shè)：1、方陣中學(xué)生的身高均為，高于學(xué)生頭頂?shù)膱A花高度為，觀禮臺(tái)高度為；2、方陣中縱列95人意味著恰好能保證達(dá)到滿意的觀禮效果，即：如果如果各排學(xué)生間保持適當(dāng)?shù)木嚯x，那么，觀禮臺(tái)上的人恰好可以看到他正前方一隊(duì)學(xué)生手中的圓花，并且方陣中的最后一排學(xué)生恰好站到廣場的邊緣。3、觀禮臺(tái)前第排與第排學(xué)生之間的間距為，。根據(jù)假設(shè)我們作出如下觀禮臺(tái)示意圖：由作圖過程不難發(fā)現(xiàn)：（1）（2）由于∽，故有即（3）聯(lián)立（1）、（2）、（3）式即得觀禮臺(tái)問題模型。3）、模型求解（1）、（2）、（3）式中一共有96個(gè)變量，但是只有95個(gè)方程，因此，還需要增加條件，次時(shí)有兩種做法，一種是增加一個(gè)假設(shè)，另一種是把作為參數(shù)，先用（3）式解出所有的，然后再找出數(shù)列所滿足的條件，進(jìn)而在解出不帶參數(shù)的。方法一、增加假設(shè)條件由（1）式知，數(shù)列是嚴(yán)格單調(diào)遞增的，常見的嚴(yán)格單調(diào)數(shù)列有兩種，一種是等差數(shù)列，另一種是等比數(shù)列，我們就先從這兩種數(shù)列開始試探。依照從簡到繁的原則，先假設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，記其公差為，由（2）式知，（4）在（3）式中取得（5）由分比定律和（4）式得：解方程得，矛盾，因此，“數(shù)列是等差數(shù)列”的假設(shè)又誤。下面假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，記其公比為，則有：并且（6）將（5）代入（2）式得（7）將（6）式代入（5）式左邊的等式得：接方程得：（8）將（8）式代入（7）式得（9）將（9）式代入（8）、（6）得：（10）到此我們已經(jīng)得到個(gè)排間的間距。將（10）式代入（3）式得到高于學(xué)生頭頂?shù)膱A花高度為與觀禮臺(tái)高于學(xué)生頭頂?shù)母叨戎葹椋?。方法二、令，代入?）式得（11）當(dāng)時(shí)，（11）式為，故有（12）當(dāng)時(shí)，（11）式為，（13）當(dāng)時(shí)，（11）式為，將（11）、（12）式代入得，故有（14）一般地，如果已經(jīng)求出當(dāng)時(shí)，（11）式可以化為，將（14）式代入得，故有由數(shù)學(xué)歸納法知如下公式成立：（15）故數(shù)列是等比數(shù)列。解答：可以認(rèn)為從觀禮位置看到的縱列上每個(gè)花的部分是一樣的。設(shè)觀禮者居高a米，從觀禮位置看到的縱列上每個(gè)花的部分高度為b米。依題意，每列從第一個(gè)人到最后一個(gè)人（第95人）有94個(gè)間空，列長192米，則每列相鄰二人平均間距約2米。為簡單起見，不妨設(shè)位于192米長的隊(duì)列中點(diǎn)前后的兩人間隔是2米，則設(shè)第一、二排間距為x米，則于是有第一，二排的間距為1.1米左右能夠達(dá)到最好的觀禮效果。四、綜合題L.跑步中的數(shù)學(xué)問題跑步是基本活動(dòng)技能，是人體快速移動(dòng)的一種動(dòng)作姿勢。跑步和走路的主要區(qū)別在于兩腿在交替落地過程中有一個(gè)騰空階段。跑步是最簡便而易見實(shí)效的體育健身內(nèi)容。近二三十年來，跑步已成為國內(nèi)外千百萬人參加的群眾健身運(yùn)動(dòng)，是深受廣大群眾所歡迎的健身項(xiàng)目。人們普遍認(rèn)為跑步是最好的健身方法。每個(gè)正常人都經(jīng)歷過跑步，有人會(huì)疲憊不堪。我們的問題是：怎樣跑不能使我們消耗的能量盡可能的少？解：假設(shè)：（1）跑步所花費(fèi)的時(shí)間分成兩部分：第一部分為兩條腿同時(shí)離開地面的時(shí)間；第二部分為一條腿或兩條腿同時(shí)落地的時(shí)間。這樣人的身體重心如圖所示。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)不妨設(shè)da=hb（2）假設(shè)跑步是勻速的，速度為v.跑步所消耗的能量為Wf=(h+d)mgm為身體的質(zhì)量

1m′v22于是，跑步時(shí)所消耗的能量總和為

Ws=m′為腿部的質(zhì)量

1W=Wf+Ws=(h+d)mg+m′v22（3）用L表示人的身高，不妨設(shè)m、m′與L3成正比，a與L成正比，即m=C1L3，m′=C2L3，a=C3L.

模型求解重心離開B上升到最高點(diǎn)所需要的時(shí)間t=

因此，最高的高度為h=b2v

所以12gb2gt=228vW=(a+b)bmg21+m′v228v26

(a+b)，從而單位時(shí)間所消耗的能量為vWbmg2m′v3P==+a+b8v2(a+b)v再由第二假設(shè)，令b=ja，于是

又因?yàn)橥瓿梢粋€(gè)周期跑步的時(shí)間為

P=C4jL4v3L2+C5(1+j)v

再令dP=0，有dj(1+j)2=C5v4v4∝C4L2L2五、復(fù)述題Q.三級火箭發(fā)射衛(wèi)星模型.解答：通過天體物理學(xué)知識(shí)求解得到發(fā)人造衛(wèi)星的在軌速度。又通過動(dòng)力守恒定律求解出火箭的飛行速度與其噴氣推動(dòng)力、火箭初始質(zhì)量和飛行過程中的質(zhì)量有關(guān)，進(jìn)而分析得出提高火箭的飛行速度的簡單措施。最后問題一：由萬有引力定律及牛頓第三定律推理得到，當(dāng)時(shí)，帶入得：問題二：由式得火箭的末速度有噴氣速度及火箭在飛行中的質(zhì)量決定，為了提高火箭的末速度可以通過提高噴氣速度和減少火箭在飛行過程中的質(zhì)量。具體地說就是加大火箭推力，拋掉已經(jīng)沒用的結(jié)構(gòu)，以此來加大火箭末速度。問題三：由計(jì)算得到，當(dāng)，時(shí)：，由此得到結(jié)論：使用一級火箭不能發(fā)射人造衛(wèi)星。問題四：燃料用完時(shí)末速度為問題五：二級火箭：要使，則應(yīng)使：，而：即發(fā)射一噸重的衛(wèi)星需要148噸重的火箭。三級火箭：要使，則，而即發(fā)射一噸重的衛(wèi)星需要76噸重的火箭，由此可見三級火箭比二級火箭幾乎節(jié)省了一半。四級火箭：要使，則，而。即使用四級火箭發(fā)射1噸重的衛(wèi)星需要64噸重的火箭，比三級火箭要省。但是由于工藝的復(fù)雜性及每節(jié)火箭都需配備一個(gè)推進(jìn)器，所以使用四級或四級以上火箭是不合算的，三級火箭提供了一個(gè)最好的方案。當(dāng)然若燃料的價(jià)錢很便宜而推進(jìn)器的價(jià)錢很貴切且制作工藝非常復(fù)雜的話，也可選擇二級火箭。關(guān)鍵詞：動(dòng)量守恒定律萬有引力定律牛頓第三定律問題重述建立一個(gè)模型說明要用三級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星的道理。1設(shè)衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，證明其速度為，R為地球半徑，r為衛(wèi)星與地心距離，g為地球地面重力加速度。要把衛(wèi)星送上離地面600km的軌道，火箭末速度應(yīng)為多少？2設(shè)火箭飛行中速度為v(t),質(zhì)量為m(t),初速度為零，初始質(zhì)量為m0,火箭噴出的氣體相對于火箭的速度為u，忽略重力和阻力對火箭的影響。用動(dòng)量守恒原理證明。由此你認(rèn)為要提高火箭的末速度應(yīng)采取什么措施？3火箭質(zhì)量包括3部分：有效載荷（衛(wèi)星）mp；燃料mf結(jié)構(gòu)（外殼、燃料艙等）ms，其中ms在mf+ms中的比例計(jì)作，一般不小于10%。證明若mp=0（即火箭不帶衛(wèi)星），則燃料用完時(shí)火箭達(dá)到的最大速度為。已知目前的u=3km/s，取=10%，求vm。這個(gè)結(jié)果說明什么？4假設(shè)火箭燃料燃燒的同時(shí)，不斷丟棄無用的結(jié)構(gòu)部分，即結(jié)構(gòu)質(zhì)量與燃料質(zhì)量以和1—的比例同時(shí)減少，用動(dòng)量守恒原理證明。問燃料用完時(shí)火箭末速度為多少？與前面的結(jié)果有何不同。54是個(gè)理想化的模型，實(shí)際上只能用建造多級火箭的辦法一段段地丟棄無用的結(jié)構(gòu)部分。計(jì)mi為第i級火箭質(zhì)量（燃料和結(jié)構(gòu)部分），mi為結(jié)構(gòu)質(zhì)量（對各級是一樣的）。有效載荷仍用mp表示。當(dāng)?shù)谝患壍娜剂嫌猛陼r(shí)丟棄第一級的結(jié)構(gòu)，同時(shí)第二級點(diǎn)火。再設(shè)燃燒級的初始質(zhì)量與其負(fù)載質(zhì)量之比保持不變，比例系數(shù)為k。證明3級火箭的末速度。計(jì)算要v3=10.5km/s，發(fā)射1噸重的衛(wèi)星需要多重的火箭（u，用以前的數(shù)據(jù)）。若用2級火箭或4級火箭，結(jié)果如何？由此得出使用3級火箭發(fā)射衛(wèi)星的道理）二、基本假設(shè)1衛(wèi)星軌道為過地球中心的某一平面上的圓，衛(wèi)星在此軌道上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。2、地球是固定于空間中的均勻球體，其它星球?qū)πl(wèi)星的引力忽略不計(jì)。3、忽略重力和阻力對火箭的影響、4、假設(shè)衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)5、假設(shè)產(chǎn)生影響的各個(gè)因素相互獨(dú)立；三、符號說明：衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度：地球半徑為：衛(wèi)星與地心距離：地球地面重力加速度：火箭飛行中速度：火箭飛行中質(zhì)量：火箭初始質(zhì)量：火箭噴出的氣體相對于火箭的速度：有效載荷（衛(wèi)星）：燃料：結(jié)構(gòu)（外殼、燃料艙等），其中在中的比例計(jì)作：為第i級火箭質(zhì)量：燃燒級的初始質(zhì)量與其負(fù)載質(zhì)量的比例系數(shù)：第i級火箭的速度四、問題的分析問題一：由萬有引力定律及牛頓第三定律得：（5-1-1）在地面上：（5-1-2）由（5-1-1）和（5-1-2）聯(lián)立得：（5-1-3）當(dāng)時(shí)，帶入（5-1-3）式得：問題二：用動(dòng)量守恒原理證明由動(dòng)量守恒定律得：（5-2-1）火箭在t時(shí)刻的質(zhì)量和速度分別為m(t)和v(t)有：（5-2-2）由（5-2-1）和（5-2-2）聯(lián)立得：（5-2-3）由此解得：（5-2-4）得以證明。由（5-2-4）式得火箭的末速度有噴氣速度及火箭在飛行中的質(zhì)量決定，為了提高火箭的末速度可以通過提高噴氣速度和減少火箭在飛行過程中的質(zhì)量。具體地說就是加大火箭推力，拋掉已經(jīng)沒用的結(jié)構(gòu)，以此來加