IIrr最優(yōu)控制實(shí)驗(yàn)報(bào)告二零一五年一月目錄TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"第1章一級(jí)倒立擺實(shí)驗(yàn) 3\o"CurrentDocument"一級(jí)倒立擺動(dòng)力學(xué)建模 3一級(jí)倒立擺非線性模型建立 3一級(jí)倒立擺線性模型建立 5\o"CurrentDocument"一級(jí)倒立擺匚狀態(tài)調(diào)節(jié)器仿真 5\o"CurrentDocument"一級(jí)倒立擺匚狀態(tài)調(diào)節(jié)器實(shí)驗(yàn) 10\o"CurrentDocument"一級(jí)倒立擺匚輸出調(diào)節(jié)器仿真 12\o"CurrentDocument"一級(jí)倒立擺匚輸出調(diào)節(jié)器實(shí)驗(yàn) 14\o"CurrentDocument"一級(jí)倒立擺非零給定調(diào)節(jié)器仿真 16\o"CurrentDocument"一級(jí)倒立擺非零給定調(diào)節(jié)器實(shí)驗(yàn) 17\o"CurrentDocument"第2章二級(jí)倒立擺實(shí)驗(yàn) 18\o"CurrentDocument"二級(jí)倒立擺動(dòng)力學(xué)模型 18二級(jí)倒立擺非線性模型建立 18二級(jí)倒立擺線性模型建立 19\o"CurrentDocument"二級(jí)倒立擺匚狀態(tài)調(diào)節(jié)器仿真 20\o"CurrentDocument"二級(jí)倒立擺匚狀態(tài)調(diào)節(jié)器實(shí)驗(yàn) 23\o"CurrentDocument"二級(jí)倒立擺匚輸出調(diào)節(jié)器仿真 24\o"CurrentDocument"二級(jí)倒立擺匚輸出調(diào)節(jié)器實(shí)驗(yàn) 24\o"CurrentDocument"二級(jí)倒立擺非零給定調(diào)節(jié)器仿真 25\o"CurrentDocument"二級(jí)倒立擺非零給定調(diào)節(jié)器實(shí)驗(yàn) 26第1章一級(jí)倒立擺實(shí)驗(yàn)1.1一級(jí)倒立擺動(dòng)力學(xué)建模在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖所示圖1-1圖1-1直線一級(jí)倒立擺模型M小車質(zhì)量1.096kg；m擺桿質(zhì)量0.109kg；b小車摩擦系數(shù)0.1N/m/sec；l擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度0.25m；I擺桿慣量0.0034kg-m2；。擺桿與垂直向上方向的夾角，規(guī)定角度逆時(shí)針方向?yàn)檎?x小車運(yùn)動(dòng)位移，規(guī)定向右為正。1.1.1一級(jí)倒立擺非線性模型建立采用拉格朗日方法，系統(tǒng)的拉格朗日方程為：(1.1)L(q,q)=T(q,q)-V(q,q)

(1.1)其中，L為拉格朗日算子，q為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，T為系統(tǒng)的動(dòng)能，V為系統(tǒng)的勢(shì)能。拉格朗日方程由廣義坐標(biāo)q和L表示為：i(1.2)dd.L d.L 豈(1.2) - -f

dtdqdq i

iif為系統(tǒng)沿該廣義坐標(biāo)方向上的外力，在本系統(tǒng)中，系統(tǒng)的兩個(gè)廣義坐標(biāo)分i別為。和X。系統(tǒng)動(dòng)能：T-T+T-T+TM m1Mx2+mx2+ml2 2iiiX^cos￡)+mml2。23ii(1.3)系統(tǒng)的勢(shì)能(1.4)V-mglcos。(1.4)ii由于在廣義坐標(biāo)0上應(yīng)用拉格朗日方程，由于此廣義坐標(biāo)上無廣義力，則i(1.5)得到：mlxcosin。(1.6)在mlxcosin。(1.6)在simulink中建立非線性仿真動(dòng)力學(xué)模型圖1-2一級(jí)倒立擺非線性動(dòng)力學(xué)模型其中MATLABFunction模塊中代碼如下:functiondw=fcn(u,phi)I=0.0034;m=0.109;

l=0.25;g=9.8;dw=(m*g*l*sin(phi)+m*l*u*cos(phi))/(I+m*l*l);1.1.2一級(jí)倒立擺線性模型建立由（1.6），且對(duì)于質(zhì)量均勻分布的擺桿有I=1ml2，將l=0.25m代入有^3(1.7)將其在平衡位置0=0°處進(jìn)行線性化，cos0=1,sin0=0，且有g(shù)=9.831m/s2得到(1.8)。=29.4930+3x(1.8)輸入u=x，將系統(tǒng)寫為如下狀態(tài)空間描述.形式x0??

a0000x0??

a0000100000029.49300100103(1.9)000010在simulink中建立線性仿真動(dòng)力學(xué)模型，只需將1.1.1里建立的非線性模型中MATLABFunction模塊代碼更改為dw=29.493*phi+3*u;1.2一級(jí)倒立擺tg狀態(tài)調(diào)節(jié)器仿真對(duì)于線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為(1.10)x(t)=Ax(t)+Bu(t)(1.10)給定初始條件x（［）=x0,終端時(shí)間『。求最優(yōu)控制u*0）使系統(tǒng)的二次型性能指標(biāo)(1.11)J=1卜[xt(t)Qx(t)+u工(t)Ru(t)]dt(1.11)210L 」取極小值。式中A,B,Q,R——常數(shù)矩陣;

Q——半正定對(duì)稱陣；R——正定對(duì)稱矩陣?？刂撇皇芗s束，最優(yōu)控制存在且唯一，即u*(t)=—R-1BtPx(t)=一Kx(t) (1.12)式中，P為nxn維正定常數(shù)矩陣，滿足里卡提矩陣代數(shù)方程PA+AtP—PBR-1BtP+Q=0 (1.13)對(duì)于線性定常系統(tǒng)無限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題，要求系統(tǒng)完全能控。求解出上方程，即可得到最優(yōu)控制u*(t)。試驗(yàn)中的一級(jí)倒立擺模型可以線性化為定常系統(tǒng)，其中系數(shù)矩陣為0000100010000000010001000029.493Q4x4公式(1.11)中選定不同的Q,R值，000.0一0為半正定矩陣，R為正定矩陣，通過求解代數(shù)黎卡提方程(利用Matlab里面的lqr函數(shù))K=lqr(A,B,Q,R)1x1可以得到最優(yōu)控系數(shù)(1.14)(1.15)控制率為(1.15)u(t)=-Kx(t)Q、R的形式可設(shè)計(jì)為Q11Q22Q33Q44Q22Q33Q44」因?yàn)槎涡妥顑?yōu)控制是使得二次型性能指標(biāo)取極小值(1.16)故只需改變Q矩陣中元素的值即可，不用改變R的取值，即只要保證Q與R的相對(duì)大小即可。其中，Q矩陣中Q11代表小車位置的權(quán)重，Q22代表小車速度的權(quán)重，Q33代表擺桿角度的權(quán)重，Q44為擺桿角速度的權(quán)重。仿真實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ腿缦?/p>

設(shè)定角度初始值為10°，角速度與小車速度初值均為0。下面按照一定的依據(jù)選取Q中非零元素的值進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，并進(jìn)行分析。取一組標(biāo)準(zhǔn)值方便對(duì)比Q11=Q22=Q33=Q44=2。響應(yīng)曲線如下圖，在后續(xù)研究中，若無特殊說明Q中元素分別取此標(biāo)準(zhǔn)值。考慮到實(shí)際系統(tǒng)中小車軌道長(zhǎng)度有限，取上述參數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)位置相對(duì)零點(diǎn)波動(dòng)的絕對(duì)值最大達(dá)到了0.3m以上，這在實(shí)際系統(tǒng)中是難以正常進(jìn)行試驗(yàn)的，所以要對(duì)參數(shù)進(jìn)行調(diào)整改進(jìn)，下面分別研究各個(gè)參數(shù)變化時(shí)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響。圖1-4Q11=Q22=Q33=Q44=2時(shí)角度與位置變化曲線分析小車位置的權(quán)重對(duì)于響應(yīng)曲線的影響。其他參數(shù)不變的情況下，小車位置權(quán)重Q11分別取為2、20、200、1000時(shí)觀察角度與位置變化曲線如圖1-1圖1-5所示。

圖1-5位置權(quán)重對(duì)響應(yīng)的影響由圖1-5可以看出，隨著Q”的增加，角度變化曲線的穩(wěn)態(tài)時(shí)間縮短，但超調(diào)量有所增大；位置變化曲線特性改進(jìn)明顯，穩(wěn)態(tài)時(shí)間與絕對(duì)的超調(diào)值都顯著減小，可見增大Q”的值會(huì)改進(jìn)系統(tǒng)特性。分析小車速度的權(quán)重對(duì)響應(yīng)曲線的影響小車速度權(quán)重Q22分別取為2、20、200、1000時(shí)得到角度與位置隨時(shí)間變化曲線如圖1-6所示圖1-6小車速度權(quán)重對(duì)響應(yīng)曲線的影響隨著q22的增大，角度曲線特性得到一定改善，絕對(duì)超調(diào)減小，且穩(wěn)態(tài)時(shí)間減??；但對(duì)于小車位置曲線來說，雖然絕對(duì)超調(diào)變小了，但很明顯穩(wěn)態(tài)時(shí)間大大增加了，由于q22代表的是小車的速度權(quán)重，可以類比為引入了阻尼項(xiàng)，減小超調(diào)的同時(shí)會(huì)增大穩(wěn)態(tài)時(shí)間，這是我們并不希望的。故而q22的值不能太大，要保證Q22取值不超過Q”。分析擺桿角度的權(quán)重對(duì)響應(yīng)曲線的影響小車速度權(quán)重Q33分別取為2、20、200、1000時(shí)得到角度與位置隨時(shí)間變化曲線如圖1-7所示

圖1-7擺桿角度權(quán)重對(duì)響應(yīng)曲線的影響隨著Q33的增大，角度曲線的絕對(duì)超調(diào)減小，但是相應(yīng)的導(dǎo)致了穩(wěn)態(tài)時(shí)間的增加；小車位置相應(yīng)曲線超調(diào)減小，同樣的也是穩(wěn)態(tài)時(shí)間增加了。而且可以看出，Q33對(duì)小車位置曲線的影響遠(yuǎn)不如Q11和Q22對(duì)小車位置響應(yīng)的影響。分析擺桿角速度的權(quán)重對(duì)響應(yīng)曲線的影響小車速度權(quán)重Q44分別取為2、20、200、1000時(shí)得到角度與位置隨時(shí)間變化曲線如圖1-8所示由圖1-8可知，隨著Q44的增大，角度變化曲線穩(wěn)態(tài)時(shí)間有一定程度的增加，曲線變化稍見平緩，即曲線斜率的最大值變小了，但絕對(duì)超調(diào)基本沒變；小車位置的響應(yīng)特性隨Q的增大而變壞，絕對(duì)超調(diào)大幅上升，穩(wěn)態(tài)時(shí)間也明顯變長(zhǎng)。44所以Q44的值不能取的太大。要注意的是，Q44取值變化過程中Q矩陣其他元素取的均為上文所提標(biāo)準(zhǔn)值，標(biāo)準(zhǔn)值取的是很小的，所以在確定參數(shù)時(shí)，只要保證Q44的值不能比Q33大即可，圖1-8只是提供了分析的依據(jù)，不能直接根據(jù)上圖的曲線進(jìn)行選擇。位置變化曲線位置變化曲線圖1-8擺桿角速度權(quán)重對(duì)響應(yīng)曲線的影響以上分析為Q矩陣中非零元素的選取提供了一定的依據(jù)，總的來說Q11與Q的值越大越好，但過大的話可能會(huì)對(duì)執(zhí)行器即電機(jī)提出過高的要求，而Q33 22與Q44的取值盡量不能比其他兩個(gè)元素值大。一級(jí)倒立擺L狀態(tài)調(diào)節(jié)器實(shí)驗(yàn)根據(jù)以上分析，選取幾組實(shí)物實(shí)驗(yàn)Q矩陣中的元素值，并將仿真結(jié)果與之對(duì)比如圖1-9至圖1-11所示，對(duì)比仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的異同，分析產(chǎn)生此現(xiàn)象的原因。由于仿真與實(shí)物實(shí)驗(yàn)的初始條件很難做到完全一致，如對(duì)于實(shí)物實(shí)驗(yàn)來說，由于編碼器為一相對(duì)式碼盤，所以倒立擺穩(wěn)定狀態(tài)為-兀而不是仿真實(shí)驗(yàn)中的0rad，而且由于實(shí)物實(shí)驗(yàn)中倒立擺是由下垂?fàn)顟B(tài)人為慢慢上擺至滿足倒立擺穩(wěn)定系統(tǒng)起控條件的，在緩慢移動(dòng)過程中，很難做到倒立擺起控時(shí)擺桿的角速度為0，即初始條件難以精確確定。所以只需比較仿真與實(shí)物實(shí)驗(yàn)得到的曲線特性中如絕對(duì)超調(diào)，穩(wěn)態(tài)時(shí)間即可。此外，在實(shí)驗(yàn)過程中，可以發(fā)現(xiàn)倒立擺擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)到大概為平衡位置附近10°時(shí)，倒立擺起控，這樣在處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)可以將起控之前的無控狀態(tài)去掉，只將有效的部分畫出來即可，方便觀察曲線特性。表1-1狀態(tài)調(diào)節(jié)Q矩陣中非零元素不同取值11 22 33 44一組000 000 00 00二組00 00 000 000三組000 000 000 000位置變化曲線(仿真)t(s) t(s)圖1-9第一組狀態(tài)調(diào)節(jié)器參數(shù)下響應(yīng)圖t(s) t(s)圖1-10第二組狀態(tài)調(diào)節(jié)器參數(shù)下響應(yīng)圖位置變化曲線（仿真角度隨時(shí)間變化曲線位置隨時(shí)間變化曲線圖1-11第三組狀態(tài)調(diào)節(jié)器參數(shù)下響應(yīng)圖第一組參數(shù)下，仿真與實(shí)物實(shí)驗(yàn)得到的曲線特性吻合較好，穩(wěn)態(tài)時(shí)間與絕對(duì)超調(diào)量都比較相近；但第二組參數(shù)位置曲線的超調(diào)相差較大，分析原因可能是在將倒立擺扶至起控位置左右時(shí)沒有緩緩轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)致起控時(shí)擺桿有一定的角速度，初始條件相差較大導(dǎo)致曲線相差較大；第三組參數(shù)下實(shí)物實(shí)驗(yàn)得到的角度與位置曲線都存在穩(wěn)態(tài)誤差，尤其是位置誤差為5cm左右，誤差比較大，分析原因可能是系統(tǒng)的硬件問題，因?yàn)榫退惴▉碚f，狀態(tài)調(diào)節(jié)器是不可能將末態(tài)穩(wěn)定在非零點(diǎn)出的?！?jí)倒立擺tg輸出調(diào)節(jié)器仿真對(duì)于線性定常系統(tǒng)(1.17)x=Ax(t)+Bu(t)y=Cx(t)(1.17)給定初始條件x（t）=x，終端時(shí)間t=g。求最優(yōu)控制u*（t），使系統(tǒng)的二次00 f型性能指標(biāo)為

1J[2L2t0j1J[2L2t0j。(t)Q(t)y(t)+如(t)R(t)u(t)dt(1.18)PA+AtP—PBR-1BtP+CtQC=0最優(yōu)控制存在且唯一u*(t)=-R-iB。Px(t)此時(shí)倒立擺系統(tǒng)的Q為2X2階的，若設(shè)計(jì)Qii330000i0Qii(1.19)(1.20)(1.21)(1.19)(1.20)(1.21)(1.22)CtQC=330所以在給定Q的上述形式后可以發(fā)現(xiàn)，輸出調(diào)節(jié)器和的代數(shù)黎卡提方程的形式與狀態(tài)調(diào)節(jié)器時(shí)是一致的，只需將狀態(tài)調(diào)節(jié)器中Q的第二行第二列和第四行第四列的元素值設(shè)置為零，調(diào)節(jié)Q11和Q33計(jì)算出的反饋比例系數(shù)既是輸出調(diào)節(jié)器下的反饋系數(shù)。設(shè)定標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)為Q^nQs：］。。，選取不同的參數(shù)進(jìn)行仿真并對(duì)比曲線特性。如至所示角度變化曲線位置變化曲線圖1-12角度變化曲線位置變化曲線圖1-12輸出調(diào)節(jié)器下小車位置權(quán)重對(duì)曲線的影響上圖為當(dāng)Q33=100,時(shí)Q”分別取10、100和1000時(shí)的響應(yīng)曲線，可以看出，增大小車位置的權(quán)重可有效縮短穩(wěn)態(tài)時(shí)間，并減小小車位置變化曲線的絕對(duì)超調(diào)，但是會(huì)增加擺桿變化曲線的絕對(duì)超調(diào)。第一組參數(shù)1000100第一組參數(shù)1000100圖1-13輸出調(diào)節(jié)器下擺桿角度權(quán)重對(duì)曲線的影響Q11=100,Q33分別取10、100、1000時(shí)擺桿角度和小車位置的響應(yīng)曲線如上圖，提高q33的值可減響應(yīng)曲線的超調(diào)，對(duì)角度曲線的穩(wěn)態(tài)時(shí)間無大的影響，但會(huì)增加位置響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)時(shí)間。一級(jí)倒立擺tg輸出調(diào)節(jié)器實(shí)驗(yàn)選取幾組實(shí)物實(shí)驗(yàn)Q矩陣中的元素值，如表1-2所示。得到各組參數(shù)下擺桿角度和小車位置響應(yīng)如至所示。表1-2輸出調(diào)節(jié)實(shí)驗(yàn)選定參數(shù)Q33Q3311第二組參數(shù) 100 1000第三組參數(shù) 1000 1000角度變化曲線（實(shí)驗(yàn)）圖1-14輸出調(diào)節(jié)器第一組參數(shù)下響應(yīng)曲線角度變化曲線（第二組參數(shù) 100 1000第三組參數(shù) 1000 1000角度變化曲線（實(shí)驗(yàn)）圖1-14輸出調(diào)節(jié)器第一組參數(shù)下響應(yīng)曲線角度變化曲線（實(shí)驗(yàn)）圖1-15輸出調(diào)節(jié)器第二組參數(shù)下響應(yīng)曲線角度變化曲線（實(shí)驗(yàn)）圖1-16輸出調(diào)節(jié)器第三組參數(shù)下響應(yīng)曲線由圖1-14至圖1-16可以看出，各組參數(shù)下響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)時(shí)間與絕對(duì)超調(diào)指標(biāo)都相當(dāng)好，對(duì)比發(fā)現(xiàn)甚至優(yōu)于仿真結(jié)果，分析原因與上相同即在手動(dòng)將擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)至起控位置時(shí)可能沒有把握好擺桿角速度的變化，導(dǎo)致角速度初值過大，分析可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)擺桿角速度有一定初值且方向與手動(dòng)擺起的旋向一致時(shí)，是利于倒立擺的擺起的，所以響應(yīng)曲線性能變好。一級(jí)倒立擺非零給定調(diào)節(jié)器仿真從本質(zhì)上來說，非零給定點(diǎn)調(diào)節(jié)器是基于傳統(tǒng)的傳遞函數(shù)的角度來分析的。非零給定調(diào)節(jié)器指的是給定一個(gè)位置信息，使得倒立擺穩(wěn)定后小車穩(wěn)定在給定的位置上。則可以將小車位置作為輸出，小車加速度作為輸入，系統(tǒng)要做的是使輸出值與輸入值相等。引入狀態(tài)反饋后的系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣為①(①(s)=C(sI—A+BK)-1B(1.23)注意到其為一2x1的矩陣，對(duì)應(yīng)的為單輸入雙輸出系統(tǒng)，輸入是小車加速度，輸出是小車位置及擺桿角度。當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定即時(shí)間趨于無窮時(shí)，由拉普拉斯終值定理可知傳遞函數(shù)變?yōu)?1.24)①(0)=C(-A+BK)-1B(1.24)此可以視作閉環(huán)系統(tǒng)的直流增益，簡(jiǎn)單的說就是一比例系數(shù)，第一行第一列為輸出到小車位置的直流增益，一般情況下是不為1的，這就引出了非零給定調(diào)節(jié)器的問題。當(dāng)利用lqr算法求出反饋系數(shù)矩陣K時(shí)，計(jì)算出①(0),并將第一行第一列的元素取倒數(shù)表示為①-1(0)，將給定的位置與此數(shù)相乘后再作為輸入來控制小車，這樣既可以達(dá)到非零給定的目的，圖1-3已經(jīng)simulink模塊實(shí)現(xiàn)展示，①-1(0)即為圖1-3中的Wc(0)八-1。由上文中對(duì)狀態(tài)調(diào)節(jié)器和輸出調(diào)節(jié)器的仿真及實(shí)物實(shí)驗(yàn)可以看出，當(dāng)改變Q矩陣中代表小車速度和擺桿角速度元素的值為非零時(shí)，可以改善響應(yīng)的阻尼特性，但同時(shí)會(huì)使穩(wěn)態(tài)時(shí)間特性受到較大影響。非零給定點(diǎn)的仿真中采用輸出調(diào)節(jié)器的形式。選取Qii=10OO,Q33=200,期望小車穩(wěn)定位置yd=0.2m。計(jì)算出狀態(tài)反饋矩陣K=[-31.6228-20.130472.821013.1537]，代入公式(1.24)求得①(0)二①(0)二-0.031600-1(0)=—31.622811仿真結(jié)果如圖1-17所示。圖1-17非零給定輸出調(diào)節(jié)器響應(yīng)曲線小車位置穩(wěn)定在距離原點(diǎn)0.2m處。可以發(fā)現(xiàn)求出的①(0)中①(0)為零，且已知①(s)代表輸入為加速度，輸212121出為擺桿角度的傳遞函數(shù)，傳遞函數(shù)有零點(diǎn)，02-11(0)沒有意義，這在實(shí)際物理系統(tǒng)中也是明確的，即不能使二次型最優(yōu)控制下的倒立擺系統(tǒng)擺桿穩(wěn)定在不平衡的位置。細(xì)心觀察還可以發(fā)現(xiàn)，①-11(0)就等于反饋矩陣K中的第一個(gè)元素。1.7一級(jí)倒立擺非零給定調(diào)節(jié)器實(shí)驗(yàn)參數(shù)與仿真中一致，得到實(shí)物實(shí)驗(yàn)下非零給定調(diào)節(jié)器的小車位置及擺桿角度曲線如圖1-18所示圖1-18非零給定調(diào)節(jié)器實(shí)物實(shí)驗(yàn)響應(yīng)曲線第2章二級(jí)倒立擺實(shí)驗(yàn)2.1二級(jí)倒立擺動(dòng)力學(xué)模型為簡(jiǎn)化系統(tǒng)，我們?cè)诮r(shí)忽略了空氣阻力和各種摩擦，并認(rèn)為擺桿為剛體。二級(jí)倒立擺的組成如圖2-1所示。圖2-1直線兩級(jí)倒立擺物理模型倒立擺參數(shù)定義如下：M——小車質(zhì)量；m1——擺桿1的質(zhì)量，為0.05kg；m2——擺桿2的質(zhì)量，為0.13kg;m3——質(zhì)量塊的質(zhì)量，為0.236kg;l——擺桿1中心到轉(zhuǎn)動(dòng)中心的距離，為0.0775m；1l——擺桿2中心到轉(zhuǎn)動(dòng)中心的距離，為0.25m；20——擺桿1與豎直方向的夾角，規(guī)定逆時(shí)針為正;10——擺桿2與豎直方向的夾角，規(guī)定逆時(shí)針為正；2F——作用在系統(tǒng)上的外力；2.1.1二級(jí)倒立擺非線性模型建立利用拉格朗日方程推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：拉格朗日方程為：l(q,q)=t(q,q)-v(q,q)TOC\o"1-5"\h\zd3Ld.L￡ ⑵1) ?-——二f ?dt3q3q iii其中，L為拉格朗日算子，q為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，T為系統(tǒng)的動(dòng)能，V為系統(tǒng)的勢(shì)能。i=1,2,…,n,f為系統(tǒng)沿該廣義坐標(biāo)方向上的外力，在本系統(tǒng)中，設(shè)系統(tǒng)i的三個(gè)廣義坐標(biāo)分別是羽0,0。12系統(tǒng)動(dòng)能TOC\o"1-5"\h\zT=T+T+T+T (2.2)Mm1m2m3其中，T為小車動(dòng)能，T為擺桿1的動(dòng)能，T為擺桿2動(dòng)能，T為質(zhì)量塊動(dòng)M m1 m2 m3能。系統(tǒng)勢(shì)能V=V+V+V=mglcos0+2mglcos0+mg(2lcos0+1cos0) (2.3)m1m2 m3 11 1 31 1 2 1 12 2經(jīng)過推導(dǎo)，可得用0,0,0,0,X表示的0,0如下：1122 1 20=3[-2mgsin0一4mgsin0一4mgsin0+3mgcos(0-0)sin01 1 1 2 1 3 1 2 21 2(2.4).. +6m1cos(0-0)sin(0-0)02+4m1sin(0-0)02-2mxcos0(2.4)21 2 1 1 2 1 22 1 2 2 1 1-4mxcos0-4mxcos0+3mcos(0-0)cos0]/2 13 1212 2 ,,[21(-4m-12m-12m+9mcos2(0-0))]??1 2?? 3 2 1 24=-{—-m[m+3(m+m)]121[-3gsin0-6102sin(0-0)-3xcos0]92 1 2 312 2 11 1 2 2+2m+2m)(gsin0+xcos0)]}/

23 1 1+—m121cos(0+2m+2m)(gsin0+xcos0)]}/

23 1 13 212 1 2 222 1 2 1[--m(m+3m+3m)1212+4m21212cos2(0-0)]9 2 1 2 312 212 1 2(2.5)2.1.2二級(jí)倒立擺線性模型建立將其在平衡位置處進(jìn)行泰勒展開并線性化，可以得到狀態(tài)空間方程如下

Xe,1ea%ee：」2」XeeXe,1ea%ee：」2」Xee12K12K220000K13K23001001100一X一0010e1e20001+0000X1000e,1K17000_e.」2」KL27X.000000000e1e2Xee120

+0"(2.6)K=3(-2ggm2一4”二86,6912 2(-4m-3m-12m)lTOC\o"1-5"\h\z1 2 31K= 9mg =-21.6213 2(-4m-3m-12m)l1 2 31“ 3(-2m-m-4m)K= 1——2 3—=6.6417 2(-4m-3m-12m)l1 2 31(2.7)K= 2g(m1+2m2+22)=-40.31(2.7)22 16 一一4ml- (m+3m+3m)/122 9 1 2 3 24g(m+3m+3m)K= = = =39.4523 163[4ml- (m+3m+3m)/1]22 9 1 2 3 242(m+2m+2m)-—(m+3m+m)K= 1 2-—^—31 2-=-0.08827 164ml--(m+3m+3m)l22 9 1 2 32二級(jí)倒立擺tg狀態(tài)調(diào)節(jié)器仿真二級(jí)倒立擺的狀態(tài)調(diào)節(jié)器在原理上是與一級(jí)倒立擺相同的，故在此不再贅述。關(guān)鍵還是求解代數(shù)黎卡提方程P,進(jìn)而求得反饋矩陣K。二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程已由公式(2.6)給出。狀態(tài)調(diào)節(jié)器的二次型最優(yōu)性能指標(biāo)中的Q矩陣與R矩陣形式如為

Q11Q22Q33(2.8)Q44Q11Q22Q33(2.8)Q44Q55只需改變Q矩陣中非零元素的值，即可求得不同性能指標(biāo)下的反饋矩陣。其中Qw代表小車位置的權(quán)重，Q22代表擺桿1角度的權(quán)重，Q33代表擺桿2角度的權(quán)重，Q代表小車速度的權(quán)重，Q代表擺桿1角速度的權(quán)重，Q代表擺4466554466桿2角速度的權(quán)重。1020速度即擺桿1、2角速度初值均為0。其中動(dòng)力學(xué)子模塊如下圖2-3動(dòng)力學(xué)子模塊系統(tǒng)的仿真模型如圖2-2所示，設(shè)定角度初值0=31020速度即擺桿1、2角速度初值均為0。其中動(dòng)力學(xué)子模塊如下圖2-3動(dòng)力學(xué)子模塊lip2_lqr_fcn.m為用m文件建立的動(dòng)力學(xué)方程，即公式(2.4)、(2.5)。容如下：functiondw=lip2_lqr_fcn(par)m1=0.05;m2=0.13;m3=0.236;l1=0.0775;l2=0.25;g=9.831;theta1=par(1);d_theta1=par(2);theta2=par(3);d_theta2=par(4);u=par(5);cl=(2*11*(-4*m1-12*m2-12*m3+9*m2*cos(theta1-theta2)八2));a1=-2*m1*g*sin(theta1);a2=-4*m2*g*sin(theta1);a3=-4*m3*g*sin(theta1);a4=3*m2*g*cos(theta2-theta1)*sin(theta2);a5=6*m2*11*cos(theta1-theta2)*sin(theta1-theta2)*d_theta1八2;a6=4*m2*12*sin(theta1-thetQ2)*d_theta2八2;a7=-2*m1*u*cos(theta1);a8=-4*m2*u*cos(theta1);a9=-4*m3*u*cos(theta1);a10=3*m2*u*cos(theta1-theta2)*cos(theta2);dw(1)= 3*(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10)/c1;c2=-16/9*m2*(m1+3*(m2+m3))*1]八2*12八2+4*(m2*11*12)八2*cos(theta1-theta2)八2;b1=—4/9*m2*(m]+3*m2+3*m3)*1]八2*12*(-3*g*sin(theta2)-6*1]*d_thetQ]八2*sin(theta]-theta2)-3*u*cos(theta2));b2=2/3*m2*1]八2*12*cos(thetQ]-thetQ2)*(6*m2*12*d_theta2八2*sin(theta]-theta2));b3=2/3*m2*1]八2*12*cos(thetQ]-theta2)*(-3*(m]+2*m2+2*m3)*(g*sin(thetQ])+u*cos(thetQ])));dw(2)=-(b1+b2+b3)/c2;由于在一級(jí)倒立擺時(shí)已經(jīng)對(duì)Q矩陣中各個(gè)非零元素取值不同對(duì)響應(yīng)曲線造成的影響進(jìn)行了充分的分析，二級(jí)擺與一級(jí)擺原理相同，也遵循同樣的結(jié)論?？?/p>

以確定的是速度項(xiàng)權(quán)重應(yīng)比位置或角度的權(quán)重要小，在更看重穩(wěn)態(tài)時(shí)間而對(duì)超調(diào)相對(duì)放松的情況下，Q44~Q66可以比Q11~Q33小一個(gè)量級(jí)。而且擺桿角度的權(quán)重取值過大對(duì)響應(yīng)特性影響不大，故而可以不取太大的值。綜上，可取Q11=600，Q22=200，Q33=200，Q44=10，Q55=10，Q66=10。計(jì)算得到反饋矩陣K=[14.1421 126.2368-209.390816.68074.0884-34.0530]。響應(yīng)曲線如圖2-4所示：圖2-4二級(jí)倒立擺狀態(tài)調(diào)節(jié)器仿真可以看出，即使在初始值設(shè)定比較小時(shí)，角度的超調(diào)也是比較大的，而且擺桿1即下面的擺桿角度絕對(duì)超調(diào)很大，這意味著在進(jìn)行實(shí)物實(shí)驗(yàn)時(shí)，將擺桿豎起至起控這個(gè)過程實(shí)現(xiàn)的可能比一級(jí)倒立擺時(shí)更加困難些，而且擺桿1的豎起狀況對(duì)實(shí)驗(yàn)成功與否有很大影響。所以在進(jìn)行實(shí)物實(shí)驗(yàn)時(shí)，應(yīng)盡量將擺桿1先豎直，然后再緩緩轉(zhuǎn)動(dòng)擺桿2至系統(tǒng)起控。二級(jí)倒立擺狀態(tài)調(diào)節(jié)器實(shí)驗(yàn)將2.2中計(jì)算出的反饋矩陣K應(yīng)用于實(shí)物實(shí)驗(yàn)，得到角度與位置變化曲線如圖2-5所示。可以看出，最終角度和位置都穩(wěn)定下來。擺桿1到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)仍有1~2°的角度波動(dòng)，相比而言擺桿2的角度波動(dòng)就很小了。這是由二級(jí)擺本身復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性及實(shí)驗(yàn)硬件條件