第12章

變異數(shù)分析12-1第12章

變異數(shù)分析12-112-2目標(biāo)列出F分配的特徵。進(jìn)行兩組母體變異數(shù)是否相等的假設(shè)檢定。討論變異數(shù)分析的一般觀念。將資料組織、整理成單因子變異數(shù)分析表。進(jìn)行3個或3個以上處理的平均數(shù)間之假設(shè)檢定。建構(gòu)處理平均數(shù)間差異的信賴區(qū)間。12-2目標(biāo)列出F分配的特徵。F分配的特徵F分配是一個家族。家族特定成員是由兩個參數(shù)所決定：分子的自由度與分母的自由度。注意到，隨著自由度改變，曲線形狀也隨之改變。12-3F分配的特徵F分配是一個家族。12-3F分配的特徵F分配是連續(xù)的。F分配不可能為負(fù)值。F分配是正偏分配。F分配是漸近線。

12-4F分配的特徵F分配是連續(xù)的。12-4比較兩組母體變異數(shù)F分配使用於進(jìn)行一個常態(tài)母體之變異數(shù)是否等於另一個常態(tài)母體變異數(shù)的假設(shè)檢定，以下例子說明之：兩布條行裁剪機(jī)專門產(chǎn)長度相同之鋼條，此二部機(jī)器所生產(chǎn)之鋼條平均長度應(yīng)該相等。吾輩想確認(rèn)此二部機(jī)器所生產(chǎn)鋼條平均長度是否相等，及其變異程度是否相等。兩種股票之平均投資報酬率可能相同，但也許其中一個報酬率之變異程度很大。隨機(jī)選取十支網(wǎng)路股與十支能源股，其中此兩類股票平均報酬率相等，不過網(wǎng)路股變異程度較大。根據(jù)大型報社行銷部門研究發(fā)現(xiàn)，男性與女性每天閱讀報紙的平均時間相同，但指出男性每天閱讀報紙的平均時間之變異程度是女性的兩倍。12-5比較兩組母體變異數(shù)F分配使用於進(jìn)行一個常態(tài)母體之變異數(shù)是否等比較兩組母體變異數(shù)對於雙尾檢定。檢定統(tǒng)計量為：

與分別代表兩組樣本的變異數(shù)。較大變異數(shù)放在分母。分子的自由度為n1－1分母的自由度為n2－112-6比較兩組母體變異數(shù)對於雙尾檢定。檢定統(tǒng)計量為：12-6比較兩組母體變異數(shù)若檢定統(tǒng)計量的值大於臨界值，則拒絕虛無假設(shè)。

12-7比較兩組母體變異數(shù)若檢定統(tǒng)計量的值大於臨界值，則拒絕虛無假設(shè)範(fàn)例LammersLimos提供從俄亥俄州Toledo市中心至底特律Metro機(jī)場的小巴士接送服務(wù)。公司總裁正在考慮兩條路線：一條路線是經(jīng)由U.S.25號公路，另一條路線是經(jīng)由

I-75號公路。他想要比較此兩條路徑開車至機(jī)場所花費的時間，於是蒐集了下列資料（以分鐘為單位）。使用0.1顯著水準(zhǔn)，比較開車經(jīng)由這兩條路線到機(jī)場的時間變異是否不同？

12-8範(fàn)例LammersLimos提供從俄亥俄州To範(fàn)例continued12-9範(fàn)例continued12-9範(fàn)例continuedU.S.25號公路

12-10範(fàn)例continuedU.S.25號公路12-10範(fàn)例continuedI-75號公路

12-11範(fàn)例continuedI-75號公路12-11範(fàn)例continued步驟1：我們從建立虛無假設(shè)與對立假設(shè)開始。由於想要了解這兩條路徑之變異程度的差異，而非找出哪一條路徑的變異程度較高，可知這個檢定是雙尾檢定。

步驟2：我們選擇0.1顯著水準(zhǔn)。12-12範(fàn)例continued步驟1：我們從建立虛無假設(shè)與對立範(fàn)例continued步驟3：此題的檢定統(tǒng)計量服從F

分配。步驟4：臨界值可以從附錄B.4(p.549)中獲得，將部分機(jī)率表格整理成表12-1。因為這個檢定屬於雙尾檢定，所以單尾內(nèi)的顯著水準(zhǔn)為α/2=0.1/2=0.05。此外分子的自由度為n1－1=7－1=6，分母的自由度為n2－1=8－1=7。為了找出臨界值，自水平往表格中（表12-1或是附錄B.4）最上一列找出0.05顯著水準(zhǔn)與分子自由度為6的那一行，接著往下找到分母自由度為7的那一列，其交叉點的臨界值是3.87。因此，決策法則是：如果樣本變異數(shù)的比例超過3.87，則拒絕虛無假設(shè)。

12-13範(fàn)例continued步驟3：此題的檢定統(tǒng)計量服從F範(fàn)例continued表12-1F

分配的臨界值，其中α=0.0512-14範(fàn)例continued表12-1F分配範(fàn)例continued步驟5：最後一個步驟是計算兩樣本變異數(shù)的比例、檢定統(tǒng)計量的值，並做出關(guān)於虛無假設(shè)的決策。最後決策是拒絕虛無假設(shè)，因為檢定統(tǒng)計量

F值是4.23，大於臨界值3.87。我們的結(jié)論是，這兩條路徑在駕駛時間上的變異數(shù)有差異。12-15範(fàn)例continued步驟5：最後一個步驟是計算兩樣本檢定兩組母體變異數(shù)–ExcelExample12-16檢定兩組母體變異數(shù)–ExcelExample12-16比較三個或三個以上母體平均數(shù)F分配尚可運用於變異數(shù)分析(ANOVA)上，亦就是比較三組或三組以上母體平均數(shù)是否相等。但必須有幾點假設(shè)：所有母體皆服從常態(tài)分配所有母體之標(biāo)準(zhǔn)差均相等所有母體相互獨立12-17比較三個或三個以上母體平均數(shù)F分配尚可運用於變異數(shù)分析(AN比較三個或三個以上母體平均數(shù)虛無假設(shè)為母體平均數(shù)相等，對立假設(shè)為至少有一個平均數(shù)不同。檢定統(tǒng)計量為F分配。

決策法則為：若F統(tǒng)計量大於F分配的臨界值，則拒絕H0。

假設(shè)與決策法則： H0:μ1=μ2=…=μk

H1:母體平均數(shù)並非全相等

拒絕H0

，若F>F,k-1,n-k12-18比較三個或三個以上母體平均數(shù)虛無假設(shè)為母體平均數(shù)相等，對立假母體平均數(shù)的ANOVA檢定F分配可運用在變異數(shù)分析（ANOVA）的技巧上，亦即比較三組或三組以上的母體平均數(shù)是否相等。

12-19母體平均數(shù)的ANOVA檢定F分配可運用在變異數(shù)分析（變異數(shù)分析的步驟虛無假設(shè)為所有的母體平均數(shù)均相等。對立假設(shè)為至少有一個平均數(shù)不同。檢定統(tǒng)計量為F分配。決策法則為若檢定統(tǒng)計量的值大於F值，則拒絕虛無假設(shè)。12-20變異數(shù)分析的步驟虛無假設(shè)為所有的母體平均數(shù)均相等。12-20變異數(shù)分析的步驟若從k組母體抽取樣本，則分子自由度為k-1。若總共有n

個觀測資料，則分母的自由度為n-k。檢定統(tǒng)計量的計算公式為：12-21為每一個處理的平均數(shù)與總平均數(shù)間差異平方的總和每個觀測值與處理平均數(shù)間差異平方的總和變異數(shù)分析的步驟若從k組母體抽取樣本，則分子自由度為k變異數(shù)分析的步驟SSTotal

：每個觀測值與總平均數(shù)間差異平方的總和。12-22變異數(shù)分析的步驟SSTotal：每個觀測值與總平均數(shù)間變異數(shù)分析的步驟SST為每一個處理的平均數(shù)與總平均數(shù)間差異平方的總和。其中Tc

為行總和，nc

為每一行的觀測資料總和，

X

為所有觀測資料總和，以及n

為觀測資料的組數(shù)。12-23變異數(shù)分析的步驟SST為每一個處理的平均數(shù)與總平均數(shù)間差異變異數(shù)分析的步驟SSE每個觀測值與處理平均數(shù)間差異平方的總和。

SST=SStotal－SSE

12-24變異數(shù)分析的步驟SSE每個觀測值與處理平均數(shù)間差異平方的總範(fàn)例JoyceKuhlman為某區(qū)域金融中心經(jīng)理。她希望比較三位員工的生產(chǎn)率，也就是衡量他們服務(wù)客戶的數(shù)量?，F(xiàn)在分別隨機(jī)選取4天，這三位員工服務(wù)的客戶數(shù)量的資料，如下表所示：

這三位員工服務(wù)客戶的平均數(shù)量是否有差異？當(dāng)處理間的平均數(shù)有差異時，圖12-1描繪了其母體的形態(tài)。請注意母體服從常態(tài)分配，且每組母體的變異數(shù)皆相同，但是平均數(shù)不相同。12-25範(fàn)例JoyceKuhlman為某區(qū)域金融中心經(jīng)範(fàn)例continued

圖12-1各處理間平均數(shù)有差異的情況12-26範(fàn)例continued圖12-1各處理間平均數(shù)有範(fàn)例continued

圖12-2各處理間平均數(shù)相同的情況12-27範(fàn)例continued圖12-2各處理間平均數(shù)範(fàn)例最近航空公司改變某些服務(wù)，例如班機(jī)內(nèi)餐點及零食，對過重行李也開始收取費用。Brunner行銷調(diào)查公司針對四家航空公司的乘客滿意度做調(diào)查，25道問題的評等皆分為：極佳，好，普通，差。而以上的等級用分?jǐn)?shù)表示為4，3，2，1。再把這25道問題的分?jǐn)?shù)加總，就得到乘客滿意度的指標(biāo)。分?jǐn)?shù)越高，乘客滿意度就越高。滿分為100分。Brunner行銷調(diào)查公司對四家航空公司的乘客做調(diào)查，下頁表是樣本資料。在這四家航空公司中，乘客的平均滿意度是否有差異？請使用0.01

的顯著水準(zhǔn)。

12-28範(fàn)例最近航空公司改變某些服務(wù)，例如班機(jī)內(nèi)餐點及零食，範(fàn)例continued12-29範(fàn)例continued12-29範(fàn)例continued步驟1：建立虛無假設(shè)與對立假設(shè)

H0：μ1=μ2=μ3

=μ4

H1：這四家航空公司的平均分?jǐn)?shù)不全相等步驟2：選擇信賴水準(zhǔn)。我們使用0.01顯著水準(zhǔn)。步驟3：判斷檢定統(tǒng)計量。檢定統(tǒng)計量服從F

分配。12-30範(fàn)例continued步驟1：建立虛無假設(shè)與對立假設(shè)範(fàn)例continued步驟4：制定決策法則。首先必須找出臨界值，查閱附錄B.4找出F

分配的臨界值。為了使用這個表格，必須先求得分子與分母的自由度。分子的自由度等於處理的數(shù)量k，減去1；分母的自由度等於觀測資料的總數(shù)量n，減去處理的數(shù)量k。本題中，共有4個處理及22個觀測資料。分子的自由度=k－1=4－1=3分母的自由度=n－k=22－4=18查閱附錄B.4與0.01顯著水準(zhǔn)。水平移動找到分子自由度為3的那一行，再往下移動找出分母自由度18的那一列，得交叉點5.09為臨界值。如果檢定統(tǒng)計量F

的值超過5.09，則拒絕H0。

12-31範(fàn)例continued步驟4：制定決策法則。首先必須找範(fàn)例continued步驟5：選擇樣本，進(jìn)行計算，並做出決策。

12-32範(fàn)例continued步驟5：選擇樣本，進(jìn)行計算，並做範(fàn)例continued接下來是SStotal與SSE的詳細(xì)計算。12-33範(fàn)例continued接下來是SStotal與範(fàn)例continued

接著，求每個觀測資料與總平均的差異，把差異平方再加總。12-34範(fàn)例continued接著，求每個觀測資料與總平均範(fàn)例continued最後，把上頁表這些差異做平方再加總，例如，第一個乘客：仿照公式[12-2]把差異平方再加總，得到SStotal的值。12-35範(fàn)例continued最後，把上頁表這些差異做平範(fàn)例continued計算SSE，先求每個觀測資料與其處理平均的差異。12-36範(fàn)例continued計算SSE，先求每個觀測範(fàn)例continued

將上頁表的每個值平方再加總，所得到的值如下表：所以，SSE的值是12-37範(fàn)例continued將上頁表的每個值平方再加總，範(fàn)例continued

由於不同處理所產(chǎn)生的差異平方和。公式如下：SST=SStotal－SSE

所以，這個範(fàn)例SST的值是SStotal－SSE=1,485.09－594.41=890.68

12-38範(fàn)例continued由於不同處理所產(chǎn)生的差異平方範(fàn)例continued處理的均方和（meansquarefortreatments）為SST除以其自由度，記為MST；誤差均方和（meansquareforerror）等於SSE

除以其自由度，記為MSE。而F

值等於MST除以MSE。

計算出F

值，並代入ANOVA表格，如下表：12-39範(fàn)例continued處理的均方和（meansq範(fàn)例continued

計算出的F

值為8.99，比臨界值5.09大，