相交線相交線鄰補角與對頂角兩直線相交所成的四個角中存在幾種不同關系的角，它們的概念及性質如下表：對頂角

圖形 頂點有公共頂點1 2

邊的關系∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長線

大小關系對頂角相等即∠1=∠2∠1與∠2鄰補角 有公共頂點 ∠3與∠4有一

∠3+∠4=180°4 3∠3與∠4

條邊公共，另一邊互為反向延長線.留意點：對頂角是成對消滅的，對頂角是具有特別位置關系的兩個角；假設∠α與∠β是對頂角，那么確定有∠α=∠β；反之假設∠α=∠β，那么∠α與∠β不愿定是對頂角；假設∠α與∠βα+∠β=180°；反之假設∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不愿定是鄰補角；.例：如圖，三條直線交于一點，任意找出圖中的四對對頂角．錯解：如圖，1〕CD；∠AOF與∠BOD；∠COF與∠DOE；∠AOC與∠BOE．錯解分析：錯解中把有公共頂點的角誤認為是對頂角，導致〔2〕和〔4〕錯誤．假設對對頂角的概念沒有真正理解和把握，在比較簡潔的圖形識別中會產生錯誤．對頂角就是：一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線．〔1〕CD〔2〕E〔3〕∠F與∠；〔4〕E〔答案不唯一：∠E，∠CD也是對頂角〕垂線1一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.符號語言記作：C 如以以下圖：AB⊥CDOA O BD2、在同一平面內，過一點有且只有一條直線與直線垂直.3、連接直線外一點與直線上各點的全部線段中，垂線段最短.簡稱：垂線段最短.4、點到直線的距離直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離同位角、內錯角、同旁內角.如圖，直線ab被直線l所截21341、∠1與∠5在截線l的同側，同在被截直線ab的上方，叫做同位角〔位置一樣〕 6578253在截線l的兩旁〔穿插，在被截直線a,b之間〔內，叫做內錯角〔位置在內且穿插〕354在截線l的同側，在被截直線a,b之間〔內.例：A D23 4B1 567 FC 89E如圖，推斷以下各對角的位置關系：〔1〕1〔〕1與∠7〔〕1〔4〕265〕58.解：我們將各對角從圖形中抽出來〔或者說略去與有關角無關的線.1與∠2是同旁內角；∠1與∠7是同位角；∠1與∠BAD是同旁內角；∠2與∠6是內錯角；∠5與∠8對頂角.2A A A D2A D26F 1A 1 7 1 CB B C B F F 5C8EB留意：圖中∠2與∠9，它們是同位角嗎？不是，∵∠2與∠9的各邊分別在四條不同直線上，不是兩直線被第三條直線所截而成.平行線及其判定平行線1、平行線的概念：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線，直線a與直線b相互平行，記作ab.2、兩條直線的位置關系在同一平面內，兩條直線的位置關系只有兩種：⑴相交；⑵平行.因此當我們得知在同一平面內兩直線不相交時，就可以確定它們平行；反過來也一樣〔這里，我們把重合的兩直線看成一條直線〕推斷同一平面內兩直線的位置關系時，可以依據(jù)它們的公共點的個數(shù)來確定：①有且只有一個公共點，兩直線相交；②無公共點，則兩直線平行；③兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合〔∵兩點確定一條直線〕3、平行公理――平行線的存在性與惟一性經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行4、平行公理的推論：假設兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也相互平行baca∴b∥c留意符號語言書寫，前提條件是兩直線都平行于第三條直線，才會結論，這兩條直線都平行.例：同一平面內，不相交的兩條線是平行線.錯解分析：平行線是同一平面內兩條直線的位置關系，不相交的兩條線，說的不明確．假設是射線或線段有可能不相交.∴說法是錯誤的．正解：同一平面內，不相交的兩條直線是平行線．平行線的判定判定方法1兩條直線被第三條直線所截，假設同位角相等，那么這兩條直線平行簡稱：同位角相等，兩直線平行判定方法2兩條直線被第三條直線所截，假設內錯角相等，那么這兩條直線平行簡稱：內錯角相等，兩直線平行判定方法3兩條直線被第三條直線所截，假設同旁內角互補，那么這兩條直線平行簡稱：同旁內角互補，兩直線平行E 幾何符號語言：A 3 B ∵∠3＝∠214 ∴AB∥CD〔同位角相等，兩直線平行〕∵∠1＝∠2C 2 D ∴AB∥CD〔內錯角相等，兩直線平行〕∵∠4＋∠2＝180°F ∴AB∥CD〔同旁內角互補，兩直線平行〕例：推斷以下說法是否正確，假設不正確，請賜予改正：不相交的兩條直線必定平行線..過一點可以且只可以畫一條直線與直線平行〔〕.正確錯誤.正確的說法是“過直線外一點”而不是“過一點”.平行線的.例：如圖，由條件∠2＝∠B，∠1＝∠D，∠3＋∠F＝180°，可以判定哪兩條直線平行，并說明判定的依據(jù)是什么？AD123B E C F〔〕＝B可判定∥，依據(jù)是同位角相等，兩直線平行；由∠1＝∠D可判定AC∥DF，依據(jù)是內錯角相等，兩直線平行；由∠3＋∠F＝180°AC∥DF，依據(jù)同旁內角互補，兩直線平行.平行線的性質平行線的性質1：兩直線平行，同位角相等；2：兩直線平行，內錯角相等；3：兩直線平行，同旁內角互補.EA 3 B 幾何符號語言：14 ∵AB∥CD∴∠1＝∠2〔兩直線平行，內錯角相等〕C 2 D ∵AB∥CD∴∠3＝∠2〔兩直線平行，同位角相等〕F ∵AB∥CD∴∠4＋∠2＝180°〔兩直線平行，同旁內角互補〕例：∠1＝∠B，求證：∠2＝∠C A證明：∵∠1＝∠B〔〕∴DE∥BC〔同位角相等，兩直線平行〕∴∠2＝∠C〔兩直線平行，同位角相等〕例：如圖，AB∥DF，DE∥BC，∠1＝65°

D 1 2E求∠2、∠3的度數(shù) B CAD E3 2F B1 C解：∵DE∥BC∴∠2＝∠1＝65°〔兩直線平行，內錯角相等〕∵AB∥DF∴∠3＋∠2＝180°〔兩直線平行，同旁內角互補〕∴∠3＝180°－∠2＝180°－65°＝115°例：如圖，直線AB，CDMNE，F(xiàn)，EG平分∠BEN，F(xiàn)H平分∠DFN．假設AB∥CD，你能說明EGFH也平行嗎?1錯解：∵EG平分∠BEN，∴∠BEG=2∠BEN．1同理，∵FH平分∠DFN，∴∠DFH=2∠DFN．又∵AB∥CD，∴∠BEN=∠DFN；從而∠BEG=∠DFH．∴EG∥FH．對同位角、內錯角或同旁內角的關鍵是弄清截線和被截線，截線就是它們的公共邊，其余兩條邊就是被截線．而∠BEG和∠DFHEG，F(xiàn)H被某條直線所截得的同位角，∴由∠BEG=∠DFHEG∥FH．1正解：∵EG平分∠BEN，∴∠BEG=∠GEN=2∠BEN，1同理，∵FH平分∠DFN，∴∠DFH=∠HFN=2∠DFN，又∵AB∥CD，∴∠BEN=∠DFN，從而∠GEN=∠HFN．而∠GEN，∠HFNEG，F(xiàn)HMN所截得的同位角，∴EG∥FH．例：如圖，△ABC中，∠1+∠2=180°，∠3=∠B，試推斷DEBC的位置關系，并說明理由．錯解：∵∠1+∠2=180°，∴EF∥AB．∴∠3+∠BDE=180°．∵∠3=∠B，∴∠B+∠BDE=180°．∴DE∥BC．錯解分析：由∠1＋∠2=180°，不能得到EF∥AB．雖然∠1和∠2EFABDC所截得的角，但由于它們不是同旁內角，∴盡管∠1＋∠2=180°，也不能得到EF∥AB．正解：∵∠1=∠4，∠1＋∠2=180°，∴∠2+∠4=180°．∴EF∥DB(同旁內角互補，兩直線平行)．∴∠3+∠BDE=180°(兩直線平行，同旁內角互補)．∵∠3=∠B，∴∠B+∠BDE=180°．∴DE∥BC(同旁內角互補，兩直線平行)．命題、定理、證明1、命題的概念：推斷一件事情的語句，叫做命題.2、命題的組成每個命題都是題設、結論兩局部組成.題設是事項，結論是由事項推出的事項.3、假設題設成立，那么結論確定成立，這樣的命題叫真命題.假設題設成立，不能保證結論確定成立，這樣的命題叫做假命題.4、經過推理證明而得到的真命題叫做定理.5.平移1、平移變換.②圖形的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點③連接各組對應點的線段平行且相等2、平移的特征：①經過平移之后的圖形與原來的圖形的對應線段平行〔或在同始終線上〕且相等，對應角相等，圖形的外形與大小都沒有發(fā)生變化.②經過平移后，對應點所