2024朝陽區(qū)高三一模有答案北京市朝陽區(qū)高三班級第一次綜合練習

數(shù)學試卷（理工類）2024.3（考試時間120分鐘滿分150分）

本試卷分為選擇題（共40分）和非選擇題（共110分）兩部分第一部分（選擇題共40分）

留意事項：考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上答無效。

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項

中，選出符合題目要求的一項.

1.復數(shù)10i

12i

=-

A.42i-+

B.42i-

C.24i-

D.24i+2.已知平面對量,ab滿意()=3aa+b?，且2,1==ab，則向量a與b的夾角為

A.

6πB.3πC.32πD.

65π3.已知數(shù)列{}na的前n項和為nS，且21()nnSanN*=-∈，則5a=

A.16-

B.16

C.31

D.32

4.已知平面α，直線,,abl，且,abαα??，則“l(fā)a⊥且lb⊥”是“l(fā)α⊥”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

5.有10件不同的電子產(chǎn)品，其中有2件產(chǎn)品運行不穩(wěn)定.技術人員對它們進行一

一測試，

直到2件不穩(wěn)定的產(chǎn)品全部找出后測試結束，則恰好3次就結束測試的方法種數(shù)是

（）

A.16

B.24

C.32

D.486.已知函數(shù)()fx是定義在R上的偶函數(shù)，且對任意的x∈R，都有(2)()fxfx+=.

當01x≤≤時，2()fxx=.若直線yxa=+與函數(shù)()yfx=的圖象在內恰有兩個不同的公共點，則實數(shù)a的值是

A.0

B.0或12-

C.14-或12-

D.0或1

4

-

7.某工廠生產(chǎn)的A種產(chǎn)品進入某商場銷售，商場為吸引廠家第一年免收管理費，因此第一

年A種產(chǎn)品定價為每件70元，年銷售量為11.8萬件.從其次年開頭，商場對A種

產(chǎn)品

征收銷售額的%x的管理費（即銷售100元要征收x元），于是該產(chǎn)品定價每件比第一年

增加了70%

1%

xx?-元，估計年銷售量削減x萬件，要使其次年商場在A種產(chǎn)品經(jīng)營中收

取的

管理費不少于14萬元，則x的取值范圍是

A.2

B.6.5

C.8.8

D.108.已知點集{}22(,)48160Axyxyxy=+--+≤，{}

(,)4,Bxyyxmm是常數(shù)=≥-+，點集A所表示的平面區(qū)域與點集B所表示的平面區(qū)域的邊界的交點為,MN.若點(,4)Dm在點集A所表示的平面區(qū)域內（不在邊界上），則△DMN的面積的最大值是

A.1

B.2

C.

D.4其次部分（非選擇題共110分）

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡上.

9.已知雙曲線的方程為2

213

xy-=，則此雙曲線的離心率為，其焦點

到漸近線的距離為.10.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為.

（第10題圖）（第11題圖）

正視圖側視圖

11.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入k的值是4，則輸出S的值是.12.在極坐標系中，

曲線ρθ=和cos1ρθ=相交于點,AB，則線段AB的中點

E

到極點的距離是.

13.已知函數(shù)213

(),

2,()24

log,02.

xxfxxx?+≥?=??>的兩個焦點分別為1(F，2F.點

(1,0)M與橢圓短軸的兩個端點的連線相互垂直.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）已知點N的坐標為(3,2)，點P的坐標為(,)(3)mnm≠.過點M任作直線l與橢圓

C相交于A，B兩點，設直線AN，NP，BN的斜率分別為1k，2k，3k，若

1322kkk+=，試求,mn滿意的關系式.

20．（本小題滿分13分）

已知各項均為非負整數(shù)的數(shù)列001:,,,nAaaaL()n*∈N，滿意00a=，

1naan++=L．若存在最小的正整數(shù)k，使得(1)kakk=≥，則可定義變換T，變換

C

AF

E

B

M

D

T將數(shù)列0A變?yōu)閿?shù)列00111():1,1,,1,0,,,kknTAaaaaa-++++LL．設1()iiATA+=，

0,1,2i=L．

（Ⅰ）若數(shù)列0:0,1,1,3,0,0A，試寫出數(shù)列5A；若數(shù)列4:4,0,0,0,0A，試寫出數(shù)列0A；（Ⅱ）證明存在唯一的數(shù)列0A，經(jīng)過有限次T變換，可將數(shù)列0A變?yōu)閿?shù)列

,0,0,,0nn個

L14243

；（Ⅲ）若數(shù)列0A，經(jīng)過有限次T變換，可變?yōu)閿?shù)列,0,0,,0nn個

L14243

．設

1mmmnSaaa+=+++L，1,2,,mn=L，

求證(1)1mmmSaSmm=-++，

其中1

mSm+表示不超過

1

m

Sm+的最大整數(shù)．北京市朝陽區(qū)高三班級第一次綜合練習數(shù)學試卷（理工類）2024.3

（15）（本小題滿分13分）

解：（Ⅰ）由于π()cos()4fαα=-=，

所以

(cossin)210

αα+=，所以7

cossin5

αα+=

.平方得，22sin2sincoscosαααα++=

4925

，

所以24

sin225

α=

.……………6分（II）由于()π()2gxfxfx?

?=?+??

?=ππcos()cos()44xx-?+

=

(cossin)(cossin)22

xxxx+?-=221

(cossin)2xx-=1

cos22

x.……………10分當ππ,63x??∈-????時，π2π2,33x??∈-????

.

所以，當0x=時，()gx的最大值為12

；

當π3x=時，()gx的最小值為1

4-.……………13分

（16）（本小題滿分13分）

解：（Ⅰ）依題意，0.0451000200,0.025*******ab=??==??=.……………4分（Ⅱ）設其中成果為優(yōu)秀的同學人數(shù)為x，則350300100

401000

x++=

，解得：x=30，即其中成果為優(yōu)秀的同學人數(shù)為30名.(7)

分

（Ⅲ）依題意，X的取值為0，1，2，

2102403(0)52CPXC===，1110302405(1)13CCPXC===，2302

4029

(2)52

CPXC===，所以X的分布列為

350125213522EX=?

+?+?=，所以X的數(shù)學期望為2

.……………13分

（17）（本小題滿分14分）

證明：（Ⅰ）取AD的中點N，連接MN,NF.

在△DAB中，M是BD的中點，N是

AD的中點，所以1=2

MN//AB,MNAB，

又由于1

=2

EF//AB,EFAB，

所以MN//EF且MN=EF.

所以四邊形MNFE為平行四邊形，所以EM//FN.

又由于FN?

平面ADF，?EM平面ADF，

故EM//平面ADF.……………4分解法二：由于EB⊥平面ABD，ABBD⊥，故以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系-Bxyz.……………1分由已知可得(0,0,0),(0,2,0),(3,0,0),BAD

3

(3,-2,0),(,0,0)

2CEFM（Ⅰ）3=((3,-2,0)2

EM,AD=uuuruuur

，設平面ADF的一個法向量是(x,y,zn=由0,0,ADAFnn??=???=??uuur

uuur得32x-y=0,

=0.?????令y=3，則n=又由于3

(=3+0-3=02

EMn?=?uuur，

所以EMn⊥uuur

，又EM?平面ADF，所以//EM平面ADF.……………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面ADF的一個法向量是n=.由于EB⊥平面ABD，所以EBBD⊥.又由于ABBD⊥，所以BD⊥平面EBAF.

故(3,0,0)BD=uuur

是平面EBAF的一個法向量.

所以1

cos=?uuur

uuuruuur

，又二面角D-AF-B為銳角，故二面角D-AF-B的大小為60?.……………10分（Ⅲ）假設在線段EB上存在一點P，使得CP與AF所成的角為30?.

N

C

AF

E

B

M

D

不妨設(0,0,t)P

（0t≤≤

，則=(3,-2,-),=PCAFtuuuruuur

.

所以cos

==?uuuruuur

uuuruuur

uuuruuur，

=

，

化簡得35-=，

解得0t=得0x.

所以函數(shù)()fx在區(qū)間(,0)-∞單調遞增,在區(qū)間(0,)+∞單調遞減.……………6分（2）當0a≠時,設2()2gxaxxa=-+，方程2()20gxaxxa=-+=的判別式

2444(1)(1),aaa?=-=-+……………7分

①當01a.

由()0fx'>

得x；

由()0fx'.

由()0fx'>

得11xaa+.

所以當10a-≤≤-，則定義變換1T-，變換1T-將數(shù)列

A變?yōu)閿?shù)列10()

TA-：

01111,1,,1,,,,kknaaakaa-+---LL．

易知

1

T-和T是互逆變

換．………5分

對于數(shù)列,0,0,,0nL連續(xù)實施變換1T-（始終不能再作1T-變換為止）得

,0,0,,0nL1T-??→1,1,0,,0n-L1T-??→2,0,2,0,,0n-L1

T-??→3,1,2,0,,0n-L

1

T-??→L1

T

-??→01,,,naaaL，

則必有00a=（若00a≠，則還可作變換1T-）．反過來對01,,,naaaL作有限次變換

T，即可還原為數(shù)列,0,0,,0nL，因此存在數(shù)列0A滿意條件．

下用數(shù)學歸納法證唯一性：當1,2n=是明顯的，假設唯一性對1n-成立，考慮n的情形．

假設存在兩個數(shù)列01,,,naaaL及01,,,nbbbL均可經(jīng)過有限次T變換，變?yōu)?/p>

,0,,0nL，這里000ab==，1212nnaaabbbn+++=+++=LL