****全等三角形問(wèn)題中常見(jiàn)的輔助線的作法（有答案）一、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等1、“希望杯”試題）已知，如圖MBC中，AB=5,AC=3，則中線AD的取值范圍是2、如圖，MBC中，E、F分別在AB、AC上，DE，DF,D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小.3、如圖，MBC中，BD=DC=AC,E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分nBAE.

二、截長(zhǎng)補(bǔ)短1、如圖，AABC中，AB=2AC,AD平分/BAC，且AD=BD,求證：1、2、2、如圖，ADllBC,EA,EB分別平分nDAB/CBA,CD過(guò)點(diǎn)E,求證;AB=AD+BC。33、如圖，已知在ABC內(nèi)，/BAC=600，/C=400，P，Q分別在BC，CA上，并且BQCAP,BQ分別是/BAC,/ABC的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP

BQC4、如圖，在四邊形ABCD中，BC>BA,AD=CD,BD平分/ABC，求證：/A+ZC=18005、如圖在^ABC中，AB>AC,N1=N2,P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-AC>PB-PC三、平移變換例2如圖，在MBC的邊上取兩點(diǎn)D、E,且BD=CE,求證:AB+AC>AD+AE.四、借助角平分線造全等D1、如圖，已知在MBC中，nB=60°「ABC的角平分線AD,CE 相交于點(diǎn)O,求證:DOE=OD2、如圖，AABC中，AD平分/BAC,DG±BC且平分BC,DE±AB于E,DF±AC于F.(1)說(shuō)明BE=CF的理由；(2)如果AB=a,AC=b，求AE、BE的長(zhǎng).

五、旋轉(zhuǎn)例1正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF,求nEAF的度數(shù).例2D為等腰RtAABC斜邊AB的中點(diǎn)，DM±DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。(1)當(dāng)/MDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。(2)若AB=2，求四邊形DECF的面積。例3如圖，AABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，曲DC是等腰三角形，且/BDC=1200,以D為頂點(diǎn)做一個(gè)600角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N,連接MN,則AAMN的周長(zhǎng)為；CC參考答案與提示

一、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等例1、“希望杯”試題）已知如圖MBC中，AB=5AC=3則中線AD的取值范圍是解：延長(zhǎng)AD至E使AE=2AD,連BE,由三角形性質(zhì)知AB-BE<2AD<AB+BE故AD的取值范圍是1<AD<4例2、如圖，MBC中，E、F分別在AB、AC上,DE±DF,D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與AEF的大小.解：（倍長(zhǎng)中線，等腰三角形“三線合一”法）延長(zhǎng)FD至G使FG=2EF,連BE，G_J\F顯然BG=FC, B工 d （在aEFG中，注意到DE^DF,由等腰三角形的三線合一知EG=EF在ABEG中，由三角形性質(zhì)知EG<BG+BE故：EF<BE+FC顯然DG=AC,zGDC=zACD由于DC=AC，故zADC=zDACffi^ADB與aADG中，BD=AC=DG,AD=AD,nADB=nADC+nACD=nADC+nGDC=nADG^△ADB^aADG，故有nBAD=nDAG，即AD平分nBAE應(yīng)用：1、（09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰AABCRtAABD和等腰RtAACE，/BAD=/CAE=90。,連接de，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn).探究：AM與口￡的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.（1）如圖①當(dāng)^ABC為直角三角形時(shí)，AM與口￡的位置關(guān)系是線段AM與口￡的數(shù)量關(guān)系是證明：延長(zhǎng)am到證明：延長(zhǎng)am到G，使MG二AM，連BG，則ABGC是平行四邊形（2）將圖①中的等腰RtAABD繞點(diǎn)人沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。。（0<°<90后，如圖②所示，???AC???AC=BG,ZABG+ZBAC=180。又丁/DAE+ZBAC=180。???ZABG:/DAE再證：ADAE=AABG??.DE=2AM,/BAG=/EDA延長(zhǎng)MN交DE于H:/BAG=/DAH=90。??/HDA+ZDAH=90?！?AM±ED(2)結(jié)論仍然成立.證明：如圖，延長(zhǎng)CA至F,使AC二FA;DA±BA，EA±AF??/BAF=90。+/DAF=/EAD??在AFAB和AEAD中'FA=AEv/BAF=/EADBA=DA「.AFAB=AEAD(SAS)?.BF=DE,/F=/AEN「./FPD+ZF=/APE+ZAEN=90。..FB±DE,FA交DE于點(diǎn)P,并連接BFFD文??CA,FA交DE于點(diǎn)P,并連接BFFD「.AM//FB,且AM=1FB2「.AM±DE,AM=1DE二、截長(zhǎng)補(bǔ)短1、如圖，^ABC中，AB=2AC,AD平分/BAC，且AD=BD,求證：CD±AC解：（截長(zhǎng)法）在AB上取中點(diǎn)F,連FD△ADB是等腰三角形，F(xiàn)是底AB中點(diǎn)，由三線合一知DF±AB，故nAFD=90°△ADF^aADC(SAS)nACD=nAFD=90°nACD=nAFD=90°即：CD±AC2、如圖，ADllBC,EA,EB分別平分nDAB/CBA,CD過(guò)點(diǎn)E,求 證;AB二AD+BC解：（截長(zhǎng)法）在AB上取點(diǎn)F,使AF二AD,連FE△ADE2AFE（SAS）nADE=nAFE,nADE+nBCE=180°nAFE+nBFE=180°故nECB=nEFB△fbe2cbe（aas）故有bf=bc從而;ab=ad+bc3、如圖，已知在aABC內(nèi)，/BAC=60。，/C=400,P,Q分別在BC,CA上，并且AAP,BQ分別是/BAC,/ABC的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP解：（補(bǔ)短法，計(jì)算數(shù)值法）延長(zhǎng)AB至D,使BD二bp,連DPBy：二 /z：在等腰aBPD中，可得nBDP=40° \/QQ從而N8口「二40。二火「 \C△adp2acp（asa）^ad=acXnQBC=40°=nQCB故BQ=QC

BD=BP從而BQ+AQ=AB+BP4、如圖，在四邊形ABCD中，BC>BA,AD=CD,BD平分/ABC,求證：/A+ZC=1800解：(補(bǔ)短法)延長(zhǎng)BA至F,使BF=BC,連FD△BDF^aBDC(SAS)故/DFB=nDCB,FD=DC又AD=CD故在等腰aRFD中nDFB=nDAF故有28人口+田口=180°5、如圖在^ABC5、如圖在^ABC中，AB>AC,N1=N2,P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-AC>PB-PC解：（補(bǔ)短法）延長(zhǎng)AC至F,使AF=AB,連PD△ABP2AFP(SAS)故BP二PF

由三角形性質(zhì)知PB-PC=PF-PC<CF=AF-AC=AB-AC應(yīng)用：如囹，在四邊用4KCZ）中，AD/此，點(diǎn)更是加上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若工仃二鼠匕二限?11DEC=5Q1判斷也九小與區(qū)的關(guān)系并誨明你的結(jié)論.分析：此題連接AC,把梯形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問(wèn)題，然后利用已知條件和等邊三角形的性質(zhì)通過(guò)證明三角形全等解決它們的問(wèn)題。

??.AADE=AFCE點(diǎn)評(píng)：此題的解法比較新穎，把梯形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問(wèn)題，然后利用全等三角形的性質(zhì)解決。三、平移變換△EBC周長(zhǎng)記為P.求證P>P.例1AD為MBC的角平分線直線MN^AD于A.E△EBC周長(zhǎng)記為P.求證P>P.AD為MBC的角平分線,MN±AD解：（鏡面反射法）延長(zhǎng)BA至F,使AFAD為MBC的角平分線,MN±AD知/FAE=nCAE故有△FAE2CAE(SAS)故EF二CE在△BEF中有：BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC從而Pb=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=Pa例2如圖，在MBC的邊上取兩點(diǎn)D、E,且BD=CE,求證：AB+AC>AD+AE.證明：取BC中點(diǎn)M,連AM并延長(zhǎng)至N,使MN=AM,連BN,DN.ANAN.BD=CE,?.DM=EM,aaDMN^aEMA(SAS),?.DN=AE,同理BN=CA.延長(zhǎng)ND交AB于P,則BN+BP>PN,DP+PA>AD,相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,各減去DP彳導(dǎo)BN+AB>DN+AD,?.AB+AC>AD+AE。四、借助角平分線造全等于點(diǎn)O,求證：C1、如圖，已知在^ABC中，nB=60°-ABC的角平分線人口（￡于點(diǎn)O,求證：COE=OD,DC+AE=AC證明六（角平分線在三種添輔助線,計(jì)算數(shù)值法）nB=60則nBAC+nBCA=120度；B

AD,CE均為角平分線,則nOAC+nOCA=60S=zAOE=zCOD;zAOC=120度.在AC上截取線段AF=AE,連接OF.XAO=AO;zOAE=zOAF.則/OAE公AOAF(SAS),oe=of；ae=af；zAOF=zAOE=60度.則nCOF=nAOC-nAOF=60度=/COD;XCO=CO;zOCD=zOCF.故/OCD空AOCF(SAS),od=of；cd=cf.oe=oddc+ae=cf+af=ac.2、如圖，AABC中，AD平分/BAC,DG±BC且平分BC,DE±AB于E,DF±AC于F.（1）說(shuō)明BE=CF的理由；（2）如果AB=a,AC=b，求AE、BE的長(zhǎng).解：（垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端）連接BD,DCDG垂直平分BC,故BD=DC由于AD平分nBAC,DE^AB于E,DF，AC于F,故有ED=DF故RTaDBE^RTaDFC(HL)故有BE=CF。AB+AC=2AEAE=(a+b)/2BE=(a-b)/2應(yīng)用：1、如圖①，OP是nMON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：(1)如圖②，在aABC中/ACB是直角，nB=60°,AD、CE分別是nBAC、nBCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖③，在SBC中，如果nACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你解：(1)FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為FE=FD(2)答：(1)中的結(jié)論FE=FD仍然成立。

證法一：如圖1,在AC上截取AG二AE，連結(jié)FG??/1=Z2,AF為公共邊,?.AAEF=AAGF??/AFE二ZAFG,FE=FG//B=60。，AD、CE分別是/BAC、/BCA的平分線「.Z2+Z3=60。?.AAFE=/CFD=ZAFG=60。??/CFG=60。/3=/4及FC為公共邊「.ACFG=ACFD?.FE=FD證法二：如圖2,過(guò)點(diǎn)F分別作FG±AB于點(diǎn)G,FH±BC于點(diǎn)H圖2??/B=60。，AD、CE分別是/BAC、/BCA的平分線圖2??可得/2+Z3=60。，F(xiàn)>AABC的內(nèi)心??/GEF=60。+/1,FH=FG又丁/HDF=/B+/1??/GEF=/HDF「?可證AEGF=ADHF?.FE=FD

五、旋轉(zhuǎn)例1正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF,求nEAF的度數(shù).證明：將三角形ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，至三角形ABG則GE=GB+BE=DF+BE=EFXAE=AE,AF=AG,所以三角形AEF全等于AEG所以nEAF=nGAE=nBAE+nGAB=nBAE+nDAF又nEAF+nBAE+nDAF=90所以nEAF=45度例2D為等腰RtAABC斜邊AB的中點(diǎn)，DM，DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。⑴當(dāng)/MDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。(2)若AB=2，求四邊形DECF的面積。

CD平分/BCA=90°,nECD=nDCA=45°由于DM^DN，有nEDN=90°由于CD±AB，有nCDA=90°從而/CDE=NFDA二故有△CDE2ADF(ASA)故有DE=DF(2)SSBC=2,S四decf二S.ACD=1例3如圖，AABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，ABDC是等腰三角形，且/BDC=1200,以D為頂點(diǎn)做一個(gè)600角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則^AMN的周長(zhǎng)為/解：（圖形補(bǔ)全法，“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”，計(jì)算數(shù)值法）^AMN的周長(zhǎng)為/解：（圖形補(bǔ)全法，“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”，計(jì)算數(shù)值法）AC的延長(zhǎng)線與BD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,在線段CF上取點(diǎn)E,使CE二BM?.?△ABC為等邊三角形，4BCD為等腰三角形，且nBDC=120°,?.nMBD=nMBC+nDBC=60°+30°=90°,zDCE=180°-zACD=180°-zABD=90°,XvBM=CE,BD=CD,?.△CDE2BDM,?.nCDE=nBDM,DE=DM,zNDE=zNDC+zCDE=zNDC+zBDM=zBDC-zMDN=120°-60°=60°,.在aDMIXI和aDEN中，DM=DEzMDN=zEDN=60°dn=dn?.△DMN2DEN,??MN=NE二?在aDMA和aDEF中,DM=DEnMDA=60°-nMDB=60°-zCDE=zEDF (zCDE=zBDM)zDAM=zDFE=30°?.△DMN2DEN(AAS),??MA=FEAAMN的周長(zhǎng)為AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6應(yīng)用：1、已知四邊形ABCD中，AB工AD,BC工CD,AB=BC,/ABC=120,/MBN=60,/MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長(zhǎng)線）于E,F.°當(dāng)/MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)（如圖1）,易證AE+CF=EF.當(dāng)/MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE豐CF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AE，CF,EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明．（圖1）（圖2）（圖1）（圖2）（圖3）解：(1);AB±AD,BC±CD,AB=BC,AE=CF?.AABE=ACBF(SAS)；??/ABE=/CBF,BE=BF.「/ABC=120。，/MBN=60。?.AABE=/CBF=30。，ABEF為等邊三角形?.BE=EF=BF,CF=AE=1BE2?.AE+CF=BE=EF(2)圖2成立，圖3不成立。證明圖2，延長(zhǎng)DC至點(diǎn)K，使CK二AE，連接BK則ABAE=ABCK??.BE=BK,AABE=/KBC.「/FBE=60。,AABC=120?！?AFBC+AABE=60。 圖2「.AFBC+AKBC=60。??.AKBF=AFBE=60?！?AKBF=AEBF??.KF=EF??.KC+CF=EF即AE+CF=EF圖3不成立，AE、CF、EF的關(guān)系是AE-CF二EF

2、(西城09年一模)已知:PA=Q,PB=4以AB為一邊作正方形ABCD/使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).(1)如圖，當(dāng)nAPB=45°時(shí)，求AB及PD的長(zhǎng)；(2)當(dāng)nAPB變化，且其它條件不變時(shí)，求PD的最大值,及相應(yīng)nAPB的大小.分析(1祚輔助線過(guò)點(diǎn)A作AE±PB于點(diǎn)E在RAPAE中，已知ZAPE,AP的值，根據(jù)三角函數(shù)可將AE,PE的值求出，由PB的值，可求BE的值，在RtAABE中，根據(jù)勾股定理可將AB的值求出；求PD的值有兩種解法解法一可將APD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AP'AB可得APAD=AP'AB,求PD長(zhǎng)即為求P'B的長(zhǎng)，在RtAAPP'中，可將PP'的值求出，在RtAPP'B中，根據(jù)勾股定理可將P'B的值求出；解法二：過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線，與DA的延長(zhǎng)線交于F,交PB于G，在RtAAEG中，可求出AG,EG的長(zhǎng)，進(jìn)而可知PG的值，在RtAPFG中，可求出PF,在RtAPDF中，根據(jù)勾股定理可將PD的值求出；(2)將APAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到AP'AB,PD的最大值即為P'B的最大值，故當(dāng)P'、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，P'B取得最大值，根據(jù)P'B=PP'+PB可求P'B的最大值，此時(shí)/APB=180o-ZAPPf=135。.解：(1)①如圖，作AE±PB于點(diǎn)E「RtAPAE中，ZAPB=45。,PA=”PEDBC（后）

2…AE=PE= =12PEDBC（后）

2…AE=PE= =12在RtAABE中，ZAEB=90。

「?AB=、：AE2+BE2=西②解法一：如圖，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，可將將WAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得至I」AP'AB，，可得APAD=AP'AB，PD=P'B，PA=P'A???/PAP'=90。,/APP'=45。，/P'PB=90。??.PP'=2,PA=相「?PD=P'B=xPP'2+PB2=v22+42=2V5；在RtAAEG中，可得ag= AEAEcosZEAGcosZABE 3,EG=1,PG=PE-EG=-3 在RtAAEG中，可得ag= AEAEcosZEAGcosZABE 3,EG=1,PG=PE-EG=-3 D3在RAPFG中，可得pf=PGcosZFPG=PGcosZABE=查,FG=5在RtAPDF中，可得PD=PFF2+(AD+AG+；—^'10 A-；10]+V10+ + 15 3JCB(2)如圖所示，將APAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AP'AB,PD的最大值，即為P'B的最大值「APF'B中，P'BYPP+PB,PP'=2FPA=2,PB=4且P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)??.當(dāng)P'、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，P'B取得最大值(如圖)止匕時(shí)P'.B=PP'+PB=6，即P'B的最大值為6此時(shí)ZAPB=180。—/APP'=135。3、在等邊AABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N,D為ABC外一點(diǎn)，且/MDN=60。，/BDC=120。,BD=DC.探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，△BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及AAMN的周長(zhǎng)Q與等邊AABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系.圖1 圖2 圖3(I)如圖1,當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是 ；此時(shí)Q= ； L (II)如圖2,點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DM豐DN時(shí)，猜想(I)問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；(III)如圖3,當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=％，則Q=(用％、L表示).分析：（1）如果DM=DN,/DMN=/DNM,因?yàn)锽D=DC,那么/DBC=/DCB=30。，也就有/MBD=/NCD=60。+30。=90。，直角三角形MBD、NCD中，因?yàn)锽D=DC,DM=DN,根據(jù)HL定理，兩三角形全等。那么BM=NC,/BMD=/DNC=60。，三角形NCD中，/NDC=30。，DN=2NC，在三角形DNM中，DM=DN，/MDN=60。，因此三角形DMN是個(gè)等邊三角形，因此MN=DN=2NC=NC+BM，三角形AMN的周長(zhǎng)Q=AM+AN+MN=AM+AN+MB+NC=AB+AC=2AB，三角形ABC的周長(zhǎng)L=3AB，因此Q:L=2:3.（2）如果DM*DN，我們可通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換。延長(zhǎng)AC至E,使CE二BM，連接DE.（1）中我們已經(jīng)得出，/MBD=/NCD=90。，那么三角形MBD和ECD中，有了一組直角，MB=CE,BD=DC，因此兩三角形全等，那么DM=DE,/BDM=/CDE，/EDN=/BDC-ZMDN=60。.三角形MDN和EDN中，有DM=DE,/EDN二ZMDN=60。，有一條公共邊，因此兩三角形全等，MN=NE,至此我們把BM轉(zhuǎn)換成了CE,把MN轉(zhuǎn)換成了NE,因?yàn)镹E=CN+CE，因此MN=BM+CN.Q與L的關(guān)系的求法同（1）,得出的結(jié)果是一樣的。（3）我們可通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換，思路同（2）過(guò)D作ZCDH二ZMDB，三角形BDM和CDH中，由（1）中已經(jīng)得出的ZDCH二ZMB=90。，我們做的角ZBD