專題2.3零點歸類一、知識梳理與二級結論二、熱考題型歸納【題型一】二分法【題型二】冪指對圖像基礎【題型三】水平線法求零點【題型四】水平線法：對數絕對值型【題型五】水平線法：指數型【題型六】復合二次型零點求參：因式分解型【題型七】復合二次型零點求參：根的分布型【題型八】雙函數內外復合求參【題型九】函數自復合內外零點求參【題型十】解析式含參型【題型十一】分段函數定義域分界處含參【題型十二】切線型零點求參【題型十三】切線型折線零點求參【題型十四】類周期型函數零點求參三、高考真題對點練四、最新?？碱}組練知識梳理與二級結論一、二分法及其應用（1）二分法的概念對于在區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數，通過不斷地把它的_零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．（2）用二分法求函數零點近似值的步驟給定精確度，用二分法求函數零點的近似值的一般步驟如下：①確定零點的初始區(qū)間，驗證．②求區(qū)間的中點c．③計算，并進一步確定零點所在的區(qū)間：a．若（此時），則c就是函數的零點．b．若（此時），則令b．c．若（此時，則令a．④判斷是否達到精確度：若，則得到零點近似值a（或b）；否則重復步驟②～④．二、函數零點存在性定理：如果函數在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有_，那么函數在區(qū)間內至少有一個零點，即存在，使得_，這個也就是方程的解.三、指數運算公式(a>0且a≠1)：①a＝eq\r(n,am) ②am·an＝am＋n ③am÷an＝am－n ④(am)n＝amn.圖象定義域__R_______R___值域____________性質過定點___________，即______0_____時，____0_______減函數增函數指數函數的底數規(guī)定大于0且不等于1的理由：（1）如果，當（2）如果，如，當時，在實數范圍內函數值不存在．（3）如果，是一個常量，對它就沒有研究的必要．為了避免上述各種情況，所以規(guī)定且．四、對數運算公式(a>0且a≠1，M>0，N>0)(1)指對互化：x＝logbN.(2)對數的運算法則：①loga(MN)＝logaM＋logaN ②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④logamMn＝eq\f(n,m)logaM．(3)對數的性質：①a＝N； ②logaaN＝N(a>0且a≠1)．(4)對數的重要公式①換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)； ②換底推廣：logab＝eq\f(1,logba)，logab·logbc·logcd＝logad.五、圖形變換(1)平移變換：上加下減，左加右減(2)對稱變換①y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關于x軸對稱))y＝－f(x)； ②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關于y軸對稱))y＝f(－x)；③y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(關于原點對稱))y＝－f(－x)； ④y＝ax(a>0且a≠1)eq\o(→,\s\up7(關于y＝x對稱))y＝logax(a>0且a≠1)．⑤y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x軸上方圖象),\s\do5(將x軸下方圖象翻折上去))y＝|f(x)|. ⑥y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留y軸右邊圖象，并作其),\s\do5(關于y軸對稱的圖象))y＝f(|x|)．(3)伸縮變換y＝f(ax)②y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>1，縱坐標伸長為原來的a倍，橫坐標不變),\s\do5(0<a<1，縱坐標縮短為原來的a倍，橫坐標不變))y＝af(x)六、常見圖像變換平移變化翻折變換：絕對值內外型對稱變換復合變換復合變換：絕對值，平移帶系數：系數不為1，類比正弦余弦的系數，提系數平移熱點考題歸納【題型一】二分法【典例分析】1.（2023·遼寧大連·統(tǒng)考一模）牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法．對于非線性可導函數在附近一點的函數值可用代替，該函數零點更逼近方程的解，以此法連續(xù)迭代，可快速求得合適精度的方程近似解．利用這個方法，解方程，選取初始值，在下面四個選項中最佳近似解為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出迭代關系為，結合逐項計算可得出結果.【詳解】令，則，令，即，可得，迭代關系為，取，則，，故選：D.2.（河南省南陽市第一中學校2022-2023學年高三上學期第一次月考數學（理）試題）已知函數的零點位于區(qū)間內，則整數（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據函數的單調性的性質及函數零點的存在性定理即可求解.【詳解】因為函數與在上均為增函數，所以函數在上為增函數，因為，，，所以函數的零點位于區(qū)間內，故.故選：B.【提分秘籍】二分法的一般步驟（精確度為）（1）確定零點所在區(qū)間為，驗證；（2）求區(qū)間的中點；（3）計算；①若則就是函數的零點；②若，則，令；③若，則，令；（4）判斷是否達到精確度：若，則得到零點近似值（或），否則重復步驟（2）-（4）.【變式演練】1.已知函數，則下列區(qū)間中含零點的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別求出、、、的值，即可判斷其正負號，利用零點存在定理則可選出答案.【詳解】由題意知：，，，.由零點存在定理可知在區(qū)間一定有零點.故選：C.2.（遼寧省鐵嶺市昌圖縣第一高級中學2022-2023學年）用二分法求函數的零點可以取的初始區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二分法的定義，驗證各選項端點即可.【詳解】因為，，且單調遞增，即當時，，所以零點在內，故選：A3.（2023·高三階段測試）若函數的零點與的零點之差的絕對值不超過，則函數可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】可先對四個選項的零點求值，再用二分法進一步判斷的零點區(qū)間，即可求解【詳解】對A，的零點為；對B，的零點為；對C，的零點為；對D，的零點為；，，，故零點在之間，再用二分法，取，，，故的零點，由題的零點之差的絕對值不超過，則只有的零點符合；故選：B【題型二】冪指對圖像基礎【典例分析】1.已知函數，若函數在R上有兩個零點，則m的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】當時，有一個零點，只需當時，有一個根，利用“分離參數法”結合函數圖像求解即可.【詳解】因為函數,當時，令可得，解得，所以在上有一個零點，又函數在R上有兩個零點，所以當時，方程有一個根，所以方程在上有一個根，即函數與函數的圖象在時有且只有一個交點，作函數的圖象如下：觀察圖象可得，所以，所以m的取值范圍是.故選：D.2.（2023·全國·模擬預測）使函數的值域為的一個a的值為．【答案】1（答案不唯一）【分析】由指數函數值域性質求解【詳解】令，由題意得的值域為，又的值域為，所以，解得，所以的取值范圍為．故答案為：.(答案不唯一)【提分秘籍】函數，：（1）當，時，圖象恒過和_兩點；其中當時，冪函數圖象在圖象的下方；當時，冪函數圖象在圖象的上方．（2）當，時，圖象也恒過__和兩點；其中當時，冪函數圖象在圖象的上方；當，冪函數圖象在圖象的下方．（3）當，時，圖象恒過點___．【變式演練】1.（2023·云南·校聯(lián)考模擬預測）已知，設，則函數的最大值為.【答案】8【分析】由求出的定義域為，然后換元，令，，得，根據二次函數的單調性可求出最大值.【詳解】，由得，即的定義域為，令，因為，所以，所以在上為增函數，所以時，.故答案為：.2.（2023·四川綿陽·三臺中學?？家荒＃┮阎瘮担瑒t不等式的解集為．【答案】【分析】分別在和的情況下，結合指數和對數函數單調性可解不等式求得結果.【詳解】當，即時，，，解得：（舍）；當，即時，，，解得：，；綜上所述：不等式的解集為.故答案為：.3.（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學?？寄M預測）已知函數的零點為，函數的零點為，則．【答案】2【分析】根據零點的定義，等價轉化為兩個函數求交點，根據反函數的定義，結合對稱性，可得答案.【詳解】由，得，函數與互為反函數，在同一坐標系中分別作出函數，，的圖象，如圖所示，則，，由反函數性質知A，B關于對稱，則，.故答案為：.【題型三】求零點基礎方法：水平線法【典例分析】1.已知函數，且，當時，函數存在零點，則實數m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據條件算出參數，函數存在零點等價于方程有解，即有解，故只需要求在上的值域即可.【詳解】由題意得，，則，，令，因為，所以，因此可轉化為，，其對稱軸為，，，所以在上的值域為．函數存在零點，等價于方程有解，所以實數的取值范圍是．故選：B2.（天津市津衡高級中學2022屆高三下學期4月月考數學試題）已知函數，若函數有4個零點，則m的取值范圍是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】將問題轉化為方程有4個根，當時，可得是方程的根，當時，可得然后畫出函數圖象，根據圖象求解即可【詳解】的零點即方程的根，當時，容易驗證為方程的根．當時，由，可得畫出函數的圖象，如圖所示．當有4個零點時，直線與函數的圖象有3個交點，由圖可得或．故選：C【變式演練】1.（湘鄂冀三省益陽平高學校、長沙市平高中學等七校2021-2022學年上學期聯(lián)考數學試題）已知函數，若函數有三個不同的零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結合的單調性畫出的圖象，結合的零點個數來求得的取值范圍.【詳解】在上遞增，且，當時，，任取，，其中，當時，，遞增；當時，，遞減；，由此畫出的大致圖象如下圖所示，有三個不同的零點，即與有三個交點，由圖可知，的取值范圍是.故選：B2.（河南省2021-2022學年上學期階段性考試（三）數學試題）已知函數函數有三個不同的零點，，，且，則（

）A． B．的取值范圍為C．a的取值范圍為 D．的取值范圍為【答案】D【分析】有三個不同的零點，轉化為方程有三個不同的解，然后畫出函數的圖象和直線，結合圖象求解.【詳解】有三個不同的零點，即方程有三個不同的解，的圖象如圖所示，結合圖象可得，，，由二次函數的對稱性，可得，故的取值范圍為，故選：D.【題型四】水平線法：對數絕對值型【典例分析】1.（重慶市璧山來鳳中學校九校2023屆高三上學期聯(lián)考模擬（二）數學試題）已知函數，則函數的零點個數為（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】解方程可得結果.【詳解】當時，由可得，解得（舍去）；當時，由可得，即或，解得或.綜上所述，函數的零點個數為.故選：C.2.已知函數（，且）在區(qū)間上為單調函數，若函數有三個不同的零點，則實數a的取值范圍為（

）A．B．． D．【答案】D【分析】由函數在在上為單調函數，且當時單調遞減，則滿足，可得到的范圍；再將有三個不同的零點問題轉化為函數和有三個交點問題，畫出兩個函數的圖象，可先判斷當時存在兩個交點，則只需滿足時有且僅有一個交點即可，進而求解，綜合得到的范圍.【詳解】由題，因為在上為單調函數，且時，單調遞減，所以，解得，在同一坐標系中畫出和的圖象，如圖所示：由圖象可知當時，和的圖象有兩個交點，故只需當時，和的圖象有且只有一個交點，當，即，即時，滿足題意；當，即時，只需與相切，聯(lián)立可得，則，解得，綜上，的取值范圍是故選：D【提分秘籍】對數函數的圖象與性質圖象性質（1）定義域：_.（2）值域：（3）過定點，即x=_1_時，y=0（4）在_上增函數（4）在上是減函數（5）；（5）；【變式演練】1.（吉林省長春市第五中學2021-2022學年數學試題）已知函數，函數有四個不同的零點，，，，且滿足：，則下列結論中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出函數圖象，根據函數圖象得出4個零點的關系及范圍，進而得出結論.【詳解】函數的四個不同的零點，，，，就是函數與兩個圖象四個交點的橫坐標，作出函數的圖象，由圖象可知，故A正確；由，可得或，結合圖象可知，故B錯誤；根據二次函數的性質和圖象得出，所以，故C正確；又，且，所以，即，所以，故D正確.故選：B.2.（福建省德化第一中學2021-2022學年考試數學試題）設函數，若函數在R上有4個不同的零點，則實數a的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【分析】由，得，然后作出函數的圖像，利用的圖像與的關系判斷實數a的取值范圍.【詳解】由函數在R上有4個不同的零點，可知有4個不同的根，即函數的圖像與直線有4個不同的交點，當時，，函數圖像如下：數形結合可知，只要，即，就有2個不同的交點，要使函數有4個不同的零點，需當時，有2個不同的交點，即在上有兩個不同的根，又，如圖：需，解得故實數a的取值范圍是故選：D3.已知函數，若函數有四個零點，分別為則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【分析】畫出函數的圖象，函數有四個零點即為函數的圖象與直線有四個交點，不妨令，得到，結合圖象得到，結合，求得，即可求解.【詳解】由題意，函數的圖象，如圖所示，函數有四個零點，即函數的圖象與直線有四個交點，且這些交點的橫坐標分別為，不妨令，則，可得．當時，函數，且，要使的圖象與直線有兩個交點，則．令，即，可得，即，所以的取值范圍是．故選：B.【題型五】水平線法：指數型【典例分析】1.（黑龍江省哈爾濱市賓縣第二中學2022-2023學年考試數學試題）已知函數，若函數g(x)＝f(x)－k有3個零點，則實數k的取值范圍為（

）A．(0，＋∞) B．(0，1) C．[1，＋∞) D．[1，2)【答案】B【分析】由題意可知函數f(x)與直線y＝k有3個交點，作出函數f(x)的大致圖象，由圖象觀察即可得出答案．【詳解】作出函數f(x)的大致圖象，如圖所示，要使g(x)＝f(x)－k有3個零點，即函數y＝f(x)的圖象與直線y＝k有3個交點，由圖象可知，0＜k＜1．故選：B．2.（河北省2023屆高三上學期11月聯(lián)考數學試題）已知函數若函數有3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】要使函數有三個零點，則有三個不相等的實根，即與的圖象有三個交點，結合函數的性質及圖象即可得出.【詳解】要使函數有三個零點，則有三個不相等的實根，即與的圖象有三個交點，當時，在上單調遞減，；當時，在上單調遞增，；當時，在上單調遞增，；由與的圖象有三個交點，結合函數圖象可得，故選：A.【提分秘籍】指數函數圖象與性質圖象性質（1）定義域：R_（2）值域：（3）過定點__，即x=0時，y=1（4）增函數（4）減函數（5）;（5）;【變式演練】1.函數，若函數有兩個零點，則實數的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】令，可得，分別作出直線和函數的圖象，平移直線即可得到的取值范圍．【詳解】作出函數的圖象，令，可得，畫出直線，可得當時，直線和函數的圖象有兩個交點，則有兩個零點．故選：B．2.（陜西省2022屆高三下學期教學質量檢測（三）理科數學試題）已知函數，若函數有三個不同的零點，，且，則的取值范圍是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】根據函數零點定義，結合數形結合思想、一元二次方程根與系數關系，通過構造函數，利用導數的性質進行求解即可.【詳解】函數的圖象如下圖所示：令，因為函數有三個不同的零點，所以，因為二次函數的對稱軸為，所以有，顯然是方程的兩個不相等的實數根，因此有，是方程的根，即，所以，于是有，設，設，當時，單調遞增，所以有，即單調遞減，所以當時，，故選：C3..（陜西省商洛市2021-2022學年數學試題）已知函數，函數有四個不同的的零點，，，，且，則（

）A．a的取值范圍是(0,)B．的取值范圍是(0,1)C． D．【答案】D【分析】將問題轉化為與有四個不同的交點，應用數形結合思想判斷各交點橫坐標的范圍及數量關系，即可判斷各選項的正誤.【詳解】有四個不同的零點、、、，即有四個不同的解．的圖象如下圖示，由圖知：，所以，即的取值范圍是(0,＋∞)．由二次函數的對稱性得：，因為，即，故．故選：D【題型六】復合二次型函數零點求參數：因式分解型【典例分析】1.（重慶市開州區(qū)臨江中學2023屆高三上學期入學考試數學試題）已知函數，若函數恰好有5個不同的零點，則實數m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】函數有零點轉化為方程有實根，令，則方程可轉化為常見的一元二次方程，對其分析求解即可.【詳解】畫出函數的大致圖象，如下圖所示：函數恰好有5個不同的零點，方程有5個根，設，則方程化為，易知此方程有兩個不等的實根，，結合的圖象可知，，，令令，則由二次函數的根的分布情況得：，解得：.故選：A2.（廣東省佛山市第一中學2023屆高三上學期第三次月考數學試題）已知函數，若函數只有兩個零點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求解為0時的值，可得只有兩個零點，再根據分析可得無解，進而求得的取值范圍即可.【詳解】由題意，即或.因為，易得無解.故只有兩個零點.當時，或，解得或有兩個零點.故無解.因為，，故，解得故選：D【提分秘籍】對于復合函數的零點個數問題，求解思路如下：（1）確定內層函數和外層函數；（2）確定外層函數的零點；（3）確定直線與內層函數圖象的交點個數分別為、、、、，則函數的零點個數為.【變式演練】1.（河南省駐馬店市2021-2022學年數學試題）已知函數，，則函數的零點個數不可能是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】由可得或，然后畫出的圖象，結合圖象可分析出答案.【詳解】由可得或的圖象如下：所以當時，，此時無零點，有2個零點，所以的零點個數為2；當時，，此時有2個零點，有2個零點，所以的零點個數為4；當時，，此時有4個零點，有2個零點，所以的零點個數為6；當時，，此時有3個零點，有2個零點，所以的零點個數為5；當且時，此時有2個零點，有2個零點，所以的零點個數為4；當時，，此時的零點個數為2；當時，，此時有2個零點，有3個零點，所以的零點個數為5；當時，，此時有2個零點，有4個零點，所以的零點個數為6；當時，，此時有2個零點，有2個零點，所以的零點個數為4；當時，，此時有2個零點，無零點，所以的零點個數為2；綜上：的零點個數可以為2、4、5、6，故選：B2.已知，則函數的零點個數為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由解析式及指對數的性質分析分段函數的性質，求函數時對應值，應用數形結合法判斷零點個數.【詳解】由題設，當時且遞減，當時且遞減，令，則，可得或，如下圖示：由圖知：時有一個零點，時有兩個零點，故共有3個零點.故選：C3.（2022·山東日照·日照一中?？家荒＃┮阎瘮凳嵌x在R的偶函數，當時，若函數有且僅有6個不同的零點，則實數a取值范圍.【答案】【詳解】由，可得或，由函數是定義在上的偶函數，當時，，所以有個零點，則有個不同的零點，又，則，又時，有個不同的零點，即．故．故本題應填．【題型七】復合二次型函數零點求參數：根的分布型【典例分析】1.（2023·江蘇南京·南京市第一中學?？寄M預測）已知函數，若函數恰有6個零點，則實數的取值范圍為．【答案】【分析】利用導數求出在上的單調性與極大值，即可畫出函數的圖象，依題意可得關于的方程恰有個不相等的實數根，令，則關于的有兩個不相等的實數根，且，，令，則，即可求出參數的取值范圍.【詳解】當時，則，所以當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，則在處取得極大值，，且時，當時，當時，函數在上單調遞增，所以的圖象如下所示：

對于函數，令，即，令，則，要使恰有個不相等的實數根，即關于的有兩個不相等的實數根，且，，令，則有兩個不相等的零點均位于之間，所以，解得，所以實數的取值范圍為.故答案為：2.（2022秋·山東青島·高三山東省萊西市第一中學?？茧A段練習）設函數，若關于的函數恰好有六個零點，則實數的取值范圍是．【答案】【分析】畫出圖象，換元后得到方程在內有兩個不同的實數根，利用二次函數根的分布列出不等式組，求出實數的取值范圍.【詳解】作出函數的圖象如圖，令，則當，方程有個不同的實數解，則方程化為，使關于的方程恰好有六個不同的實數解，則方程在內有兩個不同的實數根，令所以,解得:，所以實數的取值范圍為故答案為【變式演練】1.（黑龍江省大慶市大慶中學2021-2022學年數學試題）已知函數，若函數有三個零點，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】A【分析】畫出的函數的圖象，令，可得關于方程有兩個根，且一個根小于4，一個根大于等于4，即可列出不等式求解.【詳解】畫出的函數圖象如圖，令，則由圖可知要使有三個零點，則關于方程有兩個根，且一個根小于4，一個根大于等于4，所以，解得.故選：A.2.（重慶市長壽區(qū)七校2021-2022學年聯(lián)考數學試題）已知，若有5個零點，則實數的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，則有兩個不相等的零點，設為，利用數形結合結合條件可得或，進而即得.【詳解】令，要使有5個零點，結合函數的圖象則有兩個不相等的零點，設為，且，且需滿足或，當時，無解，不合題意，當時，，的兩根均大于或等于1，不合題意，所以，只需，解得.故選：A.3.（2023春·四川綿陽·高三?？奸_學考試）已知函數，若的零點個數為4，則實數a取值范圍為.【答案】【分析】畫出的圖象，利用換元法，結合二次函數零點分布列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】，由解得.畫出的圖象如下圖所示，令，由圖象可知與有兩個公共點時，或；與有一個公共點時，；與有三個公共點時，.依題意，的零點個數為4，對于函數，由于，的兩個零點，全都在區(qū)間或區(qū)間，或一個在區(qū)間一個在區(qū)間，所以或或，解得或或，所以的取值范圍是.故答案為：【題型八】雙函數內外復合型函數零點求參數【典例分析】1.（2022·吉林長春·東北師大附中校考模擬預測）設，（其中為自然對數的底數),若函數有個零點，則的取值范圍A． B． C． D．【答案】D【詳解】分析：問題轉化為直線與函數有四個交點，利用導數研究函數的性質，作出圖象（草圖），觀察分析.詳解：當時，，，由知在有一個零點，在上有一個零點，－1也是它的零點，且滿足；當時，，，由知在上有一個零點，且，都是極大值點，－1是極小值點，注意到，，，∴當時，直線與函數有四個交點，故選D.2.2.（2023春·遼寧沈陽·高三聯(lián)考）已知函數，，若有6個零點，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出函數圖象，進行分析，最多有兩個零點，根據最多4個零點，用數形結合討論各種情況，根據一元二次方程根的分布即可得出結果.【詳解】由題可得函數圖象，當或時，有兩個解；當時，有4個解；當時，有3個解；當時，有1個解；因為最多有兩個解.因此，要使有6個零點，則有兩個解，設為，.則存在下列幾種情況：①有2個解，有4個解，即或，，顯然，則此時應滿足，即，解得，②有3個解，有3個解，設即，，則應滿足，無解，舍去，綜上所述，的取值范圍為.故選：B.

【變式演練】1.（2023春·江西·高三江西省清江中學?？迹┮阎瘮?，，記函數，若函數恰有三個不同的零點，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據已知條件畫出函數圖像，得到與的交點的橫坐標一個在上，另一個在上，轉化為研究，的最值問題，利用導數研究即可解決.【詳解】由的解析式，可知在上單調遞增，且值域為，在上單調遞增，且值域為，函數的圖像如圖所示，所以在的值域上，任意函數值都有兩個值與之對應，在值域上，任意函數值都有一個值與之對應.要使恰有三個不同的零點，則與的交點的橫坐標一個在上，另一個在上，由的圖像開口向上且對稱軸為，易知，此時，且，結合的圖像及，得，則，所以，且，令，，則.當時，單調遞增；當時，單調遞減.所以，故的最大值為.2.（2023春·江蘇蘇州·高三江蘇省蘇州實驗中學?？茧A段練習）已知函數，，若函數有3個不同的零點，且，則的取值范圍是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】利用導數判斷出函數的單調性，再由函數與方程的思想可知分別對參數進行分類討論，利用數形結合即可求得結果.【詳解】由題意可知函數的定義域為，則，令，解得；當時，，所以在上單調遞減；當時，，所以在上單調遞增；因此的極小值，也是最小值為；其圖象如下圖所示;

易知當或時，方程有且僅有一個實數根，當時，方程有兩個實數根；令，化簡得，解得或；所以函數的零點即為方程和的根；因為函數有3個不同的零點，且，①當時，，符合題意，所以；②當時，，符合題意，所以；綜上可得，的取值范圍是.故選：C3..（2022·全國·高三專題練習）已知函數，，若函數有個零點(互不相同)，則實數的取值范圍為．【答案】【分析】可先對求導，結合圖像判斷有三個交點的區(qū)間，又函數，可先畫出的圖像，結合圖像判斷有兩個交點的取值范圍，結合取值范圍進一步判斷即可【詳解】由，令得或，當，單調遞增；當，單調遞減；當，單調遞增，函數的極大值為，極小值為，畫出函數圖像，如圖：當有三個交點時，；再根據題意畫出圖像，如圖：當時，要使，即函數圖像在時，與要有兩個交點，如圖：，故故答案為【題型九】函數自身內外復合型零點求參【典例分析】1.(湖北省鄂東南省級示范高中教育教學改革聯(lián)盟學校2022-2023學年高三上學期期中聯(lián)考數學試題)己知函數，則函數的零點個數是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】確定函數的值域，利用換元法令，則，則將函數的零點問題轉化為函數的圖象的交點問題，作函數圖象，確定其交點以及其橫坐標范圍，再結合的圖象，即可確定的零點個數.【詳解】已知，當時，，當時，，作出其圖象如圖示：可知值域為，設，則，則函數的零點問題即為函數的圖象的交點問題，而，作出函數的圖象如圖示：可知：的圖象有兩個交點，橫坐標分別在之間，不妨設交點橫坐標為，當時，由圖象和直線可知，二者有兩個交點，即此時有兩個零點；當時，由圖象和直線可知，二者有3個交點，即此時有3個零點，故函數的零點個數是5，故選：B.2.(北京市第四中學2023屆高三上學期期中考試數學試題)函數，則函數的零點個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】復合方程求解時，先求得的解有，再解即可.【詳解】下面解方程：，當時，，得或1（舍去），當時，，得，所以的兩根為，由得或，若，則當時，無解，當時，無解；若，則當時，解得，當時，解得所以的零點個數共有兩個.故選：B【變式演練】1.已知函數，則函數，的零點個數（）A．5或6個 B．3或9個 C．9或10個 D．5或9個【答案】D【分析】設，求導分析的最值與極值，畫出圖形，再分析與的根的范圍與個數即可【詳解】設，則由，得，即，又，由得或，此時函數單調遞增，由得，此時函數單調遞減，即函數在處取得極大值，函數在處取得極小值，又由，可得圖象：若，，則方程有三個解，滿足，，，則當時，方程，有3個根，當時，方程，有3個根，當時，方程，有3個根，此時共有9個根，若，，則方程有兩個解，滿足，，則當時，方程，有3個根，當，有2個根，此時共有5個根，同理，，也共有5個根故選：D．2.已知函數為定義在上的單調函數，且．若函數有3個零點，則的取值范圍為（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】設，則求出值，可得，由分離參數，結合圖象即可求解．【詳解】因為為定義在R上的單調函數，所以存在唯一的，使得，則，，即，因為函數為增函數，且，所以，.當時，由，得；當時，由，得.結合函數的圖象可知，若有3個零點，則．故選：A3.已知函數，則函數的零點個數為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由的性質求出對應區(qū)間的值域及單調性，令并將問題轉化為與交點橫坐標對應值的個數，結合數形結合法求零點個數即可.【詳解】令，當時，且遞增，此時，當時，且遞減，此時，當時，且遞增，此時，當時，且遞增，此時，所以，的零點等價于與交點橫坐標對應的值，如下圖示：由圖知：與有兩個交點，橫坐標、：當，即時，在、、上各有一個解；當，即時，在有一個解.綜上，的零點共有4個.故選：B【題型十】解析式含參數零點型【典例分析】1.設是定義在R上且周期為2的函數，當時，，其中a，，且函數在區(qū)間上恰有3個零點，則a的取值不可能是（

）A． B． C． D．0【答案】D【分析】由為周期為2的函數，可得，從而可求得，然后分六種情況分析判斷函數的零點個數【詳解】因為是定義在R上且周期為2的函數，所以，所以，得，則時，，當時，，其圖象如圖所示，由于周期為2，所以，所以不符合題意，當時，則圖象向上平移，函數無零點，所以不符合，當時，可得在上有一個零點，所以在上有零點，所以在區(qū)間上恰有3個零點，符合題意，當時，可得在上有2個零點，由于函數的周期為2，所以在上有6個零點，不符合題意，當時，則可得，在區(qū)間上恰有3個零點，所以符合題意，當時，函數圖象與軸無交點，綜上，當或時，在區(qū)間上恰有3個零點，故選：D2.已知函數，恰有2個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】數形結合，做出圖像即可根據零點個數求參數.【詳解】解：由題意得：作出函數的圖象，如圖所示，由，得，則直線與的圖象恰有兩個交點，數形結合得的取值范圍是.故選：B【提分秘籍】利用函數的零點個數求參數的取值范圍，主要從以下幾個角度分析：（1）函數零點個數與圖像交點的轉化；（2）注意各段函數圖像對應的定義域；（3）導數即為切線斜率的幾何應用；（4）數形結合的思想的應用.【變式演練】1.已知函數恰有2個零點，則實數a的取值范圍是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】由在區(qū)間上單調遞減，分類討論，，三種情況，根據零點個數求出實數a的取值范圍.【詳解】函數在區(qū)間上單調遞減，且方程的兩根為.若時，由解得或，滿足題意.若時，，，當時，，即函數在區(qū)間上只有一個零點，因為函數恰有2個零點，所以且.當時，，，此時函數有兩個零點，滿足題意.綜上，故選：D2.（2021·江蘇·高三專題練習）設，e是自然對數的底數，函數有零點，且所有零點的和不大于6，則a的取值范圍為．【答案】【分析】當時，可得在上單調遞減，得在上有一個零點，在上單調遞增，由二次函數的性質可得在上有一個零點，當時，分，，，四種情況分析討論函數的零點【詳解】解：（1）當時，時，，，故在上單調遞減，又最小值，所以在上有一個零點，當時，，其對稱軸為，則在上單調遞增，又，，則在上有一個零點，又，所以符合題意．（2）當時，①時，當時，，所以，所以在上單調遞減，因為，所以因為，所以在上沒有零點，當時，，，則在上沒有零點，不符合題意；②時，當時，，令可得，又時，，單調遞減；時，，在單調遞增，又，所以在上沒有零點，當肘，，，則在上沒有零點，不符合題意；③時，，當時，，令得，當時，，單調遞減；時，，單調遞增，則在上有極小值，所以在上沒有零點，在上有一個零點，滿足題意；④時，當時，，令可得，又時，，單調遞減；時，，單調遞增，且，則在上有極小值，所以在上沒有零點，時，，其對稱軸為，且，根據韋達定理可判斷在上有兩個零點，且兩根之和為a，時符合題意，綜上所述：a的取值范圍為，故答案為:．3.（2023·全國·高三專題練習）設函數．若恰有2個零點，則實數a的取值范圍是．【答案】【分析】根據解析式分析的性質，討論、、，結合指數函數和二次函數的性質判斷恰有2個零點情況下a的取值范圍.【詳解】由解析式知：在上且單調遞增；在上，的對稱軸為且開口向上，∴1、當，即時，則在上遞增，，此時無零點；2、當時，上存在一個零點，要使恰有2個零點，則在上也只有一個零點，而且，∴當，即，只需，可得；當，即，只需，可得；∴此時，時恰有2個零點；【題型十一】函數分段定義域處含參數零點型【典例分析】1.（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中學?？茧A段練習）已知函數，若函數g(x)＝f(f(x)＋1)有三個零點，則實數a的取值范圍是．【答案】【分析】數形結合，分成a≤－2，－2＜a≤0，0＜a≤2，a＞2四種情況討論即可.【詳解】令，則，有三個零點，∴f(t)＝0有兩個根，且需滿足有兩解時，有且僅有一解.①a≤－2時，f(x)如圖：g(x)＝f(t)＝0，，由圖可見此時y＝－3與f(x)有兩個交點，，此時要使y＝1與f(x)有且僅有一個交點，則，∴；②－2＜a≤0時，f(t)＝0只有一個解t＝2，t＝f(x)＋1＝0沒有三個解；③0＜a≤2時，f(x)如圖：，，，y＝1和f(x)必有兩個交點；，此時要使y＝－1和f(x)有且僅有一個交點，則，∴；④a＞2時，只有一個根t＝0，t＝f(x)＋1＝0沒有三個解.綜上所述，.故答案為：.2.（2022·江蘇泰州·泰州中學?？寄M預測）已知函數，若存在，使得函數有三個零點，則實數的取值范圍是.【答案】【分析】討論的單調性，根據的大致圖像，結合題目要求，得到不等式，求解即可.【詳解】，若，對稱軸時，在上遞增，當，對稱軸時，在上遞增，所以當時，在上遞增，則函數不可能有三個零點，故只需考慮的情況.畫出的大致圖象可知：要使得函數有三個零點，只能，即，即存在，使得即可.令，只要使即可，而.故.故答案為：.【提分秘籍】分段函數（1）分段函數就是在函數定義域內，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應關系的函數．（2）分段函數是一個函數，其定義域、值域分別是各段函數的定義域、值域的并集；各段函數的定義域的交集是空集【變式演練】1.（2021·全國·高三專題練習）已知（其中，為自然對數的底數），若在上有三個不同的零點，則的取值范圍是.【答案】【分析】先按照和兩種情況求出，再對和分別各按照兩種情況討論求出，最后令，求出函數的零點，恰好有三個.因此只要求出的三個零點滿足各自的范圍即可.【詳解】解：當時，，當時，由，可得，當時，由，可得.當時，，當時，由，可得無解，當時，由，可得.因為在上有三個不同的零點，所以，解得.故答案為：.2.（2023春·天津南開·高三南開大學附屬中學校考階段練習）已知，函數恰有3個零點，則m的取值范圍是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】分別求出兩段函數各自的零點，作出圖像利用數形結合即可得出答案.【詳解】設，，求導由反比例函數及對數函數性質知在上單調遞增，且，，故在內必有唯一零點，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；令，解得或2，可作出函數的圖像，令，即，在之間解得或或，作出圖像如下圖數形結合可得：，故選：A3.（2022秋·江蘇蘇州·高三?？茧A段練習）若函數恰有1個零點，則實數的取值范圍是.【答案】【分析】分析兩個函數和的零點，前一個函數有兩個零點－3和1，后一個函數只有一個零點1，1是公共的零點，因此可確定只有一個零點，只能為1．【詳解】有兩個零點－3和1，只有一個零點1，因此函數恰有1個零點，從函數的解析式來看，只能是1，∴．故答案為：．【題型十二】切線型零點求參【典例分析】1.2023·全國·高三專題練習）已知函數，函數有2個零點，則實數a的取值范圍是．【答案】或【分析】本題考查了導數的幾何意義，函數的零點與函數圖象的關系，作出的函數圖象，結合函數圖象求出當直線與的圖象有兩個交點時的斜率范圍即可．【詳解】解：函數，函數的圖象關于對稱，繪制函數圖像如圖所示，函數有2個零點則函數與函數有2個交點，當斜率為零，即時，由圖像可得有兩個交點，則成立；當斜率不為零，即時，如圖所示，考查臨界情況，當直線與函數相切時，設切點坐標為，由題意可得：,解得則直線與函數相切時斜率為，數形結合可知實數a的取值范圍是．綜上，答案為：或．2.（2022秋·遼寧大連·高三大連八中?？茧A段練習）已知函數，且函數恰有個不同的零點，則實數的取值范圍是．【答案】【分析】作出函數的圖象，由題意可知，函數與直線的圖象有個交點，數形結合可得出關于實數的不等式，即可求得實數的取值范圍.【詳解】解：當時，，當時，，所以，函數在上的圖象可視為函數在上的圖象每次向右平移個單位后得到，①若函數的圖象恒在直線的下方時，則，則，則當時，函數無零點，且當時，，此時，函數無零點，不合乎題意；②若函數的圖象與直線相切，對于方程，即，，解得，此時，當時，，此時，函數只有一個零點，不合乎題意；③若時，如下圖所示：由圖象可知，函數與函數在上的圖象有個交點，若使得函數有個零點，則，解得，此時；④當時，由圖象可知，函數與函數在上的圖象只有個交點，函數與函數在上的圖象必有個交點，此時，函數有個零點，合乎題意.綜上所述，實數的取值范圍是.故答案為：.【提分秘籍】利用導數解決函數零點問題的方法：（1）直接法：先對函數求導，根據導數的方法求出函數的單調區(qū)間與極值，根據函數的基本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數圖象與軸的交點問題，突出導數的工具作用，體現了轉化與化歸思想、數形結合思想和分類討論思想的應用；（2）構造新函數法：將問題轉化為研究兩函數圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉化為直線與函數的圖象的交點問題.【變式演練】1.（2023·天津濱海新·統(tǒng)考三模）已知函數，若函數在上恰有三個不同的零點，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據函數與方程之間的關系轉化兩個函數圖象交點個數問題，利用分段函數的表達式，結合題意將其轉化為二次函數根的分布問題，利用數形結合進行求解即可．【詳解】當時，，因為恰有三個不同的零點，函數在上恰有三個不同的零點，即有三個解，而無解，故.當時，函數在上恰有三個不同的零點，即，即與的圖象有三個交點，如下圖，當時，與必有1個交點，所以當時，有2個交點，即，即令在內有兩個實數解，，

當時，函數在上恰有三個不同的零點，即，即與的圖象有三個交點，如下圖，

當時，必有1個交點，當時，與有2個交點，所以，即在上有根，令故，解得：.綜上所述：的取值范圍是.故答案為：.2.（2020春·陜西西安·高三交大附中分校?？茧A段練習）已知函數，若函數恰有4個零點，則實數的取值范圍是.【答案】或【分析】先結合的解析式分析的圖像，再將問題轉化為和的圖像在上有四個交點，結合圖象，分析得它們有四個交點的情況，從而得解.【詳解】因為，當時，，則開口向下，對稱軸為，所以在上單調遞增，在上單調遞減，且，，當時，，，則開口向下，對稱軸為，當時，，，則開口向下，對稱軸為，所以在上單調遞增，，因為函數恰有4個零點，所以和的圖像在上有四個交點，又易得過定點，所以和的圖像在上的圖像大致如下：結合圖像可知，當時，與的圖像沒有交點，不滿足題意；當時，隨著的增大，直到經過時，與的圖像都有四個交點，此時，故；當增大到與的圖像在上相切時，它們也有四個交點，聯(lián)立，消去，得，令，即，即，解得或（舍去）；綜上：或.故答案為：或.3.（2023·高三課時練習）已知函數，若函數恰有三個零點，則實數的取值范圍是.【答案】【分析】根據導函數研究函數的單調性，從而畫出的圖象，函數恰有三個零點，可轉化為函數與有三個交點，數形結合求出與，相切的直線斜率，從而求出的取值范圍.【詳解】當時，，，在上恒成立，且在時，等號成立，所以在上單調遞增，且，當時，單調遞減，且，函數恰有三個零點，可轉化為函數與有三個交點，畫出的圖象，所圖所示：設直線與，相切時切點為，則，又根據斜率公式可得：，所以，解得：或，當時，，當時，，所以要想函數與有三個交點，直線斜率要介于兩切線斜率之間，故故答案為：【題型十三】切線型折線零點求參【典例分析】1.（2021秋·湖北武漢·高三華中科技大學附屬中學?？迹┮阎瘮担嫌袃蓚€不同的零點，則的取值范圍；【答案】【分析】函數在上有兩個不同的零點可化為與在上有兩個不同的交點，作函數圖象求解.【詳解】函數在上有兩個不同的零點可化為與在上有兩個不同的交點，作函數與的圖象如下，結合圖象可知，函數的右半部分與函數相交于兩個不同交點，而左半部分不能與函數相交；當直線與相切時為一個臨界值，設切點為，此時，則；解得；故斜率；故當直線與相切時為另一個臨界值，設切點為，此時，則；解得；故斜率故故答案為：2.（2023·全國·高三專題練習）已知函數，若函數有且只有個零點，則實數的取值范圍是.【答案】【分析】畫出函數圖像，的圖像是在軸下方的部分向上翻折形成，考慮，，三種情況，根據相切計算斜率，結合圖像得到答案.【詳解】的圖像是在軸下方的部分向上翻折形成，畫出函數圖像，如圖所示：當時，，有兩個零點，不滿足；當時，過點，與相切與點，，故，即，解得，，根據圖像知當時，有且只有個零點；當時，，過點，與相切與點，，故，即，解得，，根據圖像知，當，即時，有且只有個零點；綜上所述：當時，有且只有個零點.故答案．【變式演練】1.（2023春·天津·高二天津市西青區(qū)楊柳青第一中學校聯(lián)考期末）已知函數，若函數有三個零點，則實數的取值范圍是.【答案】【分析】數形結合，分析與的交點個數為3時實數的取值范圍即可.【詳解】由題意，函數有三個零點即有三個解，即與的交點個數為3.作出與的圖象，易得當時不成立，故.當時與必有一個交點，則當有2個交點.當時，因為恒過定點，此時與或有2個交點.①當與有2個交點時，考慮臨界條件，當與相切時，.設切點，則，解得，此時切點，；又最高點為，故此時.故.②當與有2個交點時，考慮臨界條件，當與相切時，，即，此時，即，解得，由圖可得，故.此時綜上故答案為：.2.（2022·全國·高三專題練習）已知函數對于任意，都有，且當時，.若函數恰有3個零點，則的取值范圍是.【答案】【分析】把函數零點問題轉化為函數圖像交點問題，由，可以畫出函數以及，根據的情況分類討論，結合函數圖像的交點，即可得解.【詳解】由對任意都成立，所以函數的圖像關于直線對稱，先作出函數在上的圖像，再作出這部分圖像關于直線對稱的圖像，得函數的圖像，如圖所示：令，得，令，則函數的零點個數即函數的圖像與函數的圖像的交點個數，因為，所以的圖像關于軸對稱，且恒過定點，當函數的圖像過點時，，過點作函數的圖像的切線，設切點為處的切線方程為，又切線過點，所以，所以切線的斜率為，即當時，的圖像與函數的圖像相切，由圖可知，當且僅當時，和恰有3個交點，即恰三個零點.故答案為：3.（2020·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考三模）已知函數，若函數有三個零點，則實數k的取值范圍是．【答案】【分析】先作圖，再求分界線對應k的值，結合圖象確定取值范圍.【詳解】作與圖象，由得由得，對應圖中分界線①;由過點得，對應圖中分界線②；當與相切于時，因為，所以，對應圖中分界線③；因為函數有三個零點，所以實數k的取值范圍是故答案為：【題型十四】類周期型函數零點求參【典例分析】1.（2021秋·四川成都·高三四川省成都市玉林中學?？计谥校┮阎液瘮登∮?個不同的零點，則實數的取值范圍是.【答案】【分析】函數恰有3個不同的零點，即方程恰有3個不同的實數根，即函數的圖象與函數的圖象恰有3個不同的的交點.在同一坐標系內畫出函數的圖象與函數的圖象，數形結合求解.【詳解】在同一坐標系內畫出函數的圖象與函數的圖象，如圖所示由圖可知，.直線的方程為，由，得，，設方程的兩根為，則，，直線與函數的圖象有兩個交點.由題意，函數的圖象與函數的圖象恰有3個不同的的交點，由圖可得或，或,所以實數的取值范圍是.故答案為：.2.（2020·全國·高三專題練習）已知定義域為的函數滿足:當時，，且對任意的恒成立，若函數在區(qū)間內有6個零點，則實數的取值范圍是.【答案】【解析】若函數在區(qū)間內有6個零點，則與的圖象在區(qū)間內有6個交點．畫出函數的圖象，數形結合可得答案．【詳解】對恒成立，函數的周期為2．又當時，函數的圖象如下圖所示：令函數，則，若函數在區(qū)間內有6個零點，則與的圖象在區(qū)間內有6個交點．恒過點，過，點的直線斜率為，過，點的直線斜率為，根據圖象可得：故答案為：【提分秘籍】上下平移【變式演練】1.（2020·江蘇·高三專題練習）已知函數如果函數恰有2個不同的零點，那么實數的取值范圍是.【答案】【解析】根據題意，分析函數的解析式，作出其在區(qū)間，上的圖象，而的函數圖象是過定點的直線；若函數恰有2個不同的零點，則函數與直線有2個交點，結合圖象分析可得答案．【詳解】解：根據題意，由函數的解析式，在區(qū)間，上，；當時，，，則區(qū)間，上，；當時，，，則區(qū)間，上，；當時，，，則區(qū)間，上，；當時，，，則區(qū)間，上，，在區(qū)間，，，其圖象如圖：的函數圖象是過定點的直線，若函數恰有2個不同的零點，則函數與直線有2個交點，當直線經過點，可得，即有，滿足題意；當直線經過點，可得；當直線經過點，可得，即有，滿足題意．綜上可得的范圍是．故答案為：．2.（2022·四川成都·成都七中?？既＃τ诤瘮?，有下列4個命題：①任取，都有恒成立；②，對于一切恒成立；③函數有3個零點；④對任意，不等式恒成立.則其中所有真命題的序號是.【答案】①③④【分析】因為,定義域為,以長度為變化區(qū)間的正弦類型的曲線,且當時,后面每個周期都是前一個周期振幅的,根據相應性質判斷命題即可求得答案.【詳解】對于①,如圖:任取當,當,,,,恒成立故①正確.對于②,,故②錯誤.對于③,的零點的個數問題,分別畫出和的圖像如圖:和圖像由三個交點.的零點的個數為:.故③正確.對于④,設,

,令在,可得:當時,,,,若任意,不等式恒成立,即,可得求證:當,,化簡可得:設函數,則當時,單調遞增,可得即:綜上所述,對任意,不等式恒成立.故④正確.3.（2023·全國·高三專題練習）已知函數，如果函數恰有三個不同的零點，那么實數的取值范圍是【答案】【分析】先求出函數的解析式，作出函數的圖象，由題得有三個不同的實根，數形結合分析得到實數k的取值范圍.【詳解】當1＜x≤2時，f(x)=-x+2,當時，1＜2x≤2，所以f(x)=,當時，＜2x≤1，所以f(x)=,當時，＜2x≤，所以f(x)=,當時，＜2x≤，所以f(x)=,所以函數的圖象為：

其圖象為線段PA,EB,GC,HD,,(不包括上端點A,B,C,D,)直線y=k(x-1)表示過定點P(1,0)的直線系，由題得C(),D(),當直線在PD(可以取到)和直線PC（不能取到）之間時，直線和函數f(x)的圖象有三個不同的交點，由題得.所以k的取值范圍為.故答案為高考真題對點練一、單選題1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）函數存在3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】寫出，并求出極值點，轉化為極大值大于0且極小值小于0即可.【詳解】，則，若要存在3個零點，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當時，，當，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個零點，則，即，解得，故選：B.2．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設函數在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由的取值范圍得到的取值范圍，再結合正弦函數的性質得到不等式組，解得即可．【詳解】解：依題意可得，因為，所以，要使函數在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，又，的圖象如下所示：

則，解得，即．故選：C．3．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）設，函數，若在區(qū)間內恰有6個零點，則a的取值范圍是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】由最多有2個根，可得至少有4個根，分別討論當和時兩個函數零點個數情況，再結合考慮即可得出.【詳解】最多有2個根，所以至少有4個根，由可得，由可得，（1）時，當時，有4個零點，即；當，有5個零點，即；當，有6個零點，即；（2）當時，，，當時，，無零點；當時，，有1個零點；當時，令，則，此時有2個零點；所以若時，有1個零點.綜上，要使在區(qū)間內恰有6個零點，則應滿足或或，則可解得a的取值范圍是.4．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數若函數恰有4個零點，則的取值范圍是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】由，結合已知，將問題轉化為與有個不同交點，分三種情況，數形結合討論即可得到答案.【詳解】注意到，所以要使恰有4個零點，只需方程恰有3個實根即可，令，即與的圖象有個不同交點.因為，當時，此時，如圖1，與有個不同交點，不滿足題意；當時，如圖2，此時與恒有個不同交點，滿足題意；當時，如圖3，當與相切時，聯(lián)立方程得，令得，解得（負值舍去），所以.綜上，的取值范圍為.故選：D.【點晴】本題主要考查函數與方程的應用，考查數形結合思想，轉化與化歸思想，是一道中檔題.5．（2019·浙江·高考真題）已知，函數，若函數恰有三個零點，則A．B．C． D．【答案】C【分析】當時，最多一個零點；當時，，利用導數研究函數的單調性，根據單調性畫函數草圖，根據草圖可得．【詳解】當時，，得；最多一個零點；當時，，，當，即時，，在，上遞增，最多一個零點．不合題意；當，即時，令得，，函數遞增，令得，，函數遞減；函數最多有2個零點；根據題意函數恰有3個零點函數在上有一個零點，在，上有2個零點，如圖：且，解得，，．故選．6．（2014·重慶·高考真題）已知函數內有且僅有兩個不同的零點，則實數的取值范圍是A．B．C． D．【答案】A【詳解】試題分析：令，分別作出與的圖像如下，由圖像知是過定點的一條直線，當直線繞著定點轉動時，與圖像產生不同的交點.當與相切時，設切點為，由，則切線方程為，則，解得，此時當直線在軸和直線及切線和直線之間時，與圖像產生兩個交點，此時或故答案選.7．（2014·全國·高考真題）已知函數，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：當時，，函數有兩個零點和，不滿足題意，舍去；當時，，令，得或．時，；時，；時，，且，此時在必有零點，故不滿足題意，舍去；當時，時，；時，；時，，且，要使得存在唯一的零點，且，只需，即，則，選C．考點：1、函數的零點；2、利用導數求函數的極值；3、利用導數判斷函數的單調性．8．（2018·全國·高考真題）已知函數．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）【答案】C【詳解】分析：首先根據g（x）存在2個零點，得到方程有兩個解，將其轉化為有兩個解，即直線與曲線有兩個交點，根據題中所給的函數解析式，畫出函數的圖像（將去掉），再畫出直線，并將其上下移動，從圖中可以發(fā)現，當時，滿足與曲線有兩個交點，從而求得結果.詳解：畫出函數的圖像，在y軸右側的去掉，再畫出直線，之后上下移動，可以發(fā)現當直線過點A時，直線與函數圖像有兩個交點，并且向下可以無限移動，都可以保證直線與函數的圖像有兩個交點，即方程有兩個解，也就是函數有兩個零點，此時滿足，即，故選C.9．（2015·天津·高考真題）已知函數，函數，其中，若函數恰有4個零點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】函數恰有4個零點，即方程，即有4個不同的實數根，即直線與函數的圖象有四個不同的交點．又做出該函數的圖象如圖所示，由圖得，當時，直線與函數的圖象有4個不同的交點，故函數恰有4個零點時，b的取值范圍是故選D．10．（2013·重慶·高考真題）若，則函數的兩個零點分別位于區(qū)間A．和內 B．和內C．和內 D．和內【答案】A【詳解】試題分析：，所以有零點，排除B，D選項.當時，恒成立，沒有零點，排除C，故選A.另外，也可知內有零點.考點：零點與二分法.【思路點晴】如果函數在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有·，那么，函數在區(qū)間內有零點，即存在使得，這個也就是方程的根.注意以下幾點：①滿足條件的零點可能不唯一；②不滿足條件時，也可能有零點.③由函數在閉區(qū)間上有零點不一定能推出·，如圖所示.所以·是在閉區(qū)間上有零點的充分不必要條件.二、填空題11．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）若函數有且僅有兩個零點，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據絕對值的意義，去掉絕對值，求出零點，再根據根存在的條件即可判斷的取值范圍．【詳解】（1）當時，，即，若時，，此時成立；若時，或，若方程有一根為，則，即且；若方程有一根為，則，解得：且；若時，，此時成立．（2）當時，，即，若時，，顯然不成立；若時，或，若方程有一根為，則，即；若方程有一根為，則，解得：；若時，，顯然不成立；綜上，當時，零點為，；當時，零點為，；當時，只有一個零點；當時，零點為，；當時，只有一個零點；當時，零點為，；當時，零點為．所以，當函數有兩個零點時，且．故答案為：．12．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設，對任意實數x，記．若至少有3個零點，則實數的取值范圍為.【答案】【分析】設，，分析可知函數至少有一個零點，可得出，求出的取值范圍，然后對實數的取值范圍進行分類討論，根據題意可得出關于實數的不等式，綜合可求得實數的取值范圍.【詳解】設，，由可得.要使得函數至少有個零點，則函數至少有一個零點，則，解得或.①當時，，作出函數、的圖象如下圖所示：此時函數只有兩個零點，不合乎題意；②當時，設函數的兩個零點分別為、，要使得函數至少有個零點，則，所以，，解得；③當時，，作出函數、的圖象如下圖所示：由圖可知，函數的零點個數為，合乎題意；④當時，設函數的兩個零點分別為、，要使得函數至少有個零點，則，可得，解得，此時.綜上所述，實數的取值范圍是.故答案為：.13．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數，給出下列四個結論：①若，恰有2個零點；②存在負數，使得恰有1個零點；③存在負數，使得恰有3個零點；④存在正數，使得恰有3個零點．其中所有正確結論的序號是．【答案】①②④【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數形結合可判斷各選項的正誤.【詳解】對于①，當時，由，可得或，①正確；對于②，考查直線與曲線相切于點，對函數求導得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個零點，②正確；對于③，當直線過點時，，解得，所以，當時，直線與曲線有兩個交點，若函數有三個零點，則直線與曲線有兩個交點，直線與曲線有一個交點，所以，，此不等式無解，因此，不存在，使得函數有三個零點，③錯誤；對于④，考查直線與曲線相切于點，對函數求導得，由題意可得，解得，所以，當時，函數有三個零點，④正確.故答案為：①②④.最新模考真題一、單選題1．（2023·貴州貴陽·校聯(lián)考三模）已知函數，其中，若在區(qū)間內恰好有4個零點，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據參數的范圍，討論兩段函數的零點情況，利用二次函數與三角函數的圖象與性質，結合端點滿足的條件，即可求解.【詳解】由函數，其中，當時，對任意，函數在內最多有1個零點，不符題意，所以，當時，，由可得或，則在上，有一個零點，所以在內有3個零點，即在內有3個零點，因為，所以，，所以，解得，綜上所述，實數的取值范圍為.故選：C.2．（2023·福建福州·福州四中校考模擬預測）已知函數，若有且僅有兩個零點，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將題意轉化為與存在兩個交點，令，對求導，令或者，求出斜率為的切線方程，即可求出兩條切線在軸上的截距，可得實數的取值范圍.【詳解】解析：由可知，即與存在兩個交點，令，則，令，解得：，令，解得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，令，解得，則在處的切線方程為；令，解得，則在處的切線方程為，所以與的圖象如下表：

且這兩條切線在軸上的截距分別為實數的取值范圍為.故選：A.3．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚中市第二高級中學?？寄M預測）函數，若有個零點，則的取值范圍是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】由可得出或，數形結合可知直線與函數的圖象有兩個交點，從而可知直線與函數有兩個零點，結合圖形可得出實數的取值范圍.【詳解】由，可得，解得或，如下圖所示：

由圖可知，直線與函數的圖象有兩個交點，又因為函數有四個零點，故直線與函數有兩個零點，且，所以，且，因此，實數的取值范圍是.故選：D.4．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學?？寄M預測）已知函數，，記函數，若函數恰有三個不同的零點，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據已知條件畫出函數圖像，得到與的交點的橫坐標一個在上，另一個在上，轉化為研究，的最值問題，利用導數研究即可解決.【詳解】由的解析式，可知在上單調遞增，且值域為，在上單調遞增，且值域為，函數的圖像如圖所示，所以在的值域上，任意函數值都有兩個值與之對應，在值域上，任意函數值都有一個值與之對應.要使恰有三個不同的零點，則與的交點的橫坐標一個在上，另一個在上，由的圖像開口向上且對稱軸為，易知，此時，且，結合的圖像及，得，則，所以，且，令，，則.當時，單調遞增；當時，單調遞減.所以，故的最大值為.5．（2024·安徽黃山·屯溪一中校考模擬預測）已知函數，若函數有三個零點，則實數的取值范圍是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】作出函數與函數的圖像，討論曲線與曲線，相切以及過點的情況，求出對應的實數的值，利用數形結合思想可求得的取值范圍.【詳解】作出與的圖像，如圖所示，

由，整理得，當直線與圓相切時，則，解得，對應圖中分界線①的斜率；再考慮直線與曲線相切，設切點坐標為，對函數求導得，則所求切線的斜率為，所求切線即直線方程為，直線過定點，將代入切線方程得，解得，所以切點坐標為，所以，對應圖中分界線③的斜率；當直線過點時，則，解得，對應圖中分界線②的斜率.由于函數有三個零點，由圖可知，實數的范圍為.故選：C6．（2023·全國·模擬預測）設函數，則（

）A．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都有零點，則在區(qū)間（0，1）也有零點B．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都有零點，則在區(qū)間（0，1）沒有零點C．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都沒有零點，則在區(qū)間（0，1）有零點D．若在區(qū)間（-2，-1）和（-1，0）都沒有零點，則在區(qū)間（0，1）也沒有零點【答案】A【分析】函數分段去絕對值，利用導數分類討論函數單調性，根據零點存在定理判斷零點所在區(qū)間.【詳解】去絕對值可得.時，，因此函數在單調遞增；時，.（i）時，，因此在單調遞增.當時，，，因此在區(qū)間有零點，且在區(qū)間和都沒有零點；當時，，故在區(qū)間和都沒有零點，故C選項和D選項均錯誤.（ii）時，令得，因此函數在區(qū)間單調遞減，在單調遞增.當時，.（1）時，在區(qū)間存在唯一零點，而在區(qū)間沒有零點.（2）時，在區(qū)間沒有零點.當時，.①時，，因此在區(qū)間和都有零點，此時，故在區(qū)間也有零點.②時，在區(qū)間沒有零點.綜上所述，本題正確答案是A.故選：A7．（2023·山東濟南·統(tǒng)考三模）已知函數若函數有四個不同的零點，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將函數有四個不同的零點，轉化為函數與圖象由四個交點，再數形結合即可