八年級(jí)數(shù)阜上陽屋軸題制腺柬.冏題背景：如圖1：在四邊形ABC中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°.E,F分別是BC,CD上G點(diǎn).且/EAF=60°.探究圖中線段BE,EF,FD之間G數(shù)量關(guān)系.小王同學(xué)探究此問題G方法是，延長FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,先證明△ABE/△ADG,再證明△AEF/△AGF,可得出結(jié)論，他G結(jié)論應(yīng)是G探索延伸：如圖2,若在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E,F分別是BC,CD上G點(diǎn)，且ZEAF[ZBAD,上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；^除愿用：如圖3,在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（0處）北偏西30°GA處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°GB處，并且兩艦艇到指揮中心內(nèi)距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)內(nèi)速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°G方向以80海里/小時(shí)內(nèi)速度前進(jìn).1.5小時(shí)后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,F處，且兩艦艇之間G夾角為70°,試求此時(shí)兩艦艇之間G距離..【問題提出】學(xué)習(xí)了三角形全等G判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等G判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊G對角對應(yīng)相等”G情形進(jìn)行研究.

【初步思考】我們不妨將問題用符號(hào)語言表示為：在△ABC和^DEF中，AC=DF,BC=EF，/B=NE，然后，對NB進(jìn)行分類，可分為“NB是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究.【深入探究】第一種情況：當(dāng)/B是直角時(shí)，△ABC/△DEF.(1)如圖口，在△ABC和^DEF,AC=DF,BC=EF,NB=NE=90°,根據(jù)，可以知道Rt△ABC0R3DEF.第二種情況：當(dāng)NB是鈍角時(shí)，△ABC/△DEF.(2)如圖口，在^ABC和^DEF,AC=DF,BC=EF,NB=NE,且NB、NE都是鈍角，求證：△ABC/△DEF.第三種情況：當(dāng)NB是銳角時(shí)，△ABC和^DEF不一定全等.(3)在4ABC和^DEF,AC=DF,BC=EF,NB=NE，且NB、NE都是銳角，請你用尺規(guī)在圖口中作出△DEF,使^DEF和^ABC不全等.(不寫作法，保留作圖痕跡)(4)NB還要滿足什么條件，就可以使4ABC/△DEF?請直接寫出結(jié)論：在^ABC和^DEF中,AC=DF,BC=EF,NB=NE，且NB、NE都是銳角，若.有道檬一道題：把一張項(xiàng)角卷36°G等腰三角形紙片剪雨刀，分成3張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形，你能辨到喝？^^示意^^明剪法.我相號(hào)有多少槿剪法，01是其中內(nèi)一槿方法:定羲：如果雨^^段招一他三角形分成3他等腰三角形，我相號(hào)把道雨^^段叫做道他三角形G三分^.⑴^你在H2中用雨槿不同G方法重出項(xiàng)角卷45°G等腰三角形G三分^,加檄注每他等腰三角形項(xiàng)角G度數(shù);(若雨槿方法分得G三角形成3封全等三角形，刖視卷同一槿)◎)△ABC中，ZB=30°,AD和DE是^ABC^三分^,鬟占D在BC遏上，鬟占E在AC遏上，且AD=BD,DE=CE,^ZC=x°，就重出示意H，企求出x所有可能G值；.如圖，△ABC中，AB=AC,ZA=36°,稱滿足此條件G三角形為黃金等腰三角形.請完成以下操作：(畫圖不要求使用圓規(guī)，以下問題所指G等腰三角形個(gè)數(shù)均不包括△ABC)(1)在圖1中畫1條線段，使圖中有2個(gè)等腰三角形，并直接寫出這2個(gè)等腰三角形G頂角度數(shù)分別是度和度；(2)在圖2中畫2條線段，使圖中有4個(gè)等腰三角形；(3)繼續(xù)按以上操作發(fā)現(xiàn)：在△ABC中畫n條線段，則圖中有個(gè)等腰三角形，其中有個(gè)黃金等腰三角形..在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直線MN過點(diǎn)A且MN〃BC,過點(diǎn)B為一銳角頂點(diǎn)作Rt△BDE,ZBDE=90°,且點(diǎn)D在直線MN上(不與點(diǎn)A重合)，如圖1,DE與AC交于點(diǎn)P,易證：BD=DP.(無需寫證明過程)(1)在圖2中，DE與CA延長線交于點(diǎn)P,BD=DP是否成立？如果成立，請給予證明；如果不成立，請說明理由；(2)在圖3中，DE與AC延長線交于點(diǎn)P,BD與DP是否相等？請直接寫出你G結(jié)論，無需證明.

￡.如圖，已知^BAD和^BCE均為等腰直角三角形，NBAD=ZBCE=90°,點(diǎn)M為DEG中點(diǎn)，過點(diǎn)E與AD平行G直線交射線AM于點(diǎn)N.(1)當(dāng)A,B,C三點(diǎn)在同一直線上時(shí)(如圖1),求證：M為ANG中點(diǎn)；(2)將圖1中^^BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A,B,E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)(如圖2),求證：△ACN為等腰直角三角形；(3)將圖1中4BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)，(2)中G結(jié)論是否仍成立？若成立，試證明之，若不成立，請說明理由．

.【問題情境】張老師給愛好學(xué)習(xí)G小軍和小俊提出這樣一個(gè)問題：如圖1,在4ABC中，AB=AC，點(diǎn)P為邊BC上G任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD±AB,PE±AC,垂足分別為D、E,過點(diǎn)C作CF±AB,垂足為F.求證：PD+PE=CF.圖①圖②圖③*小軍G證明思路是：如圖2,連接AP，由△ABP與八ACP面積之和等于△ABCG面積可以證得：PD+PE=CF.小俊G證明思路是：如圖2,過點(diǎn)P作PG±CF，垂足為G,可以證得：PD=GF,PE=CG,則PD+PE=CF.【變式探究】如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在BC延長線上時(shí)，其余條件不變，求證：PD—PE=CF..在圖1、圖2、圖3、圖4中，點(diǎn)P在線段BC上移動(dòng)(不與B、C重合)，M在BCG延長線上.(1)如圖1,△ABC和^APE均為正三角形，連接CE.①求證：△ABP04ACE.②ZECMG度數(shù)為°.(2)①如圖2,若四邊形ABCD和四邊形APEF均為正方形，連接CE.則ZECMG度數(shù)為°.②如圖3,若五邊形ABCDF和五邊形APEGH均為正五邊形，連接CE.則ZECMG度數(shù)為°.(3)如圖4,n邊形ABC…和n邊形APE…均為正n邊形，連接CE,請你探索并猜想ZECMG度數(shù)與正多邊形邊數(shù)nG數(shù)量關(guān)系(用含nG式子表示ZECMG度數(shù))，并利用圖4(放大后G局部圖形)證明你G結(jié)論.9、如圈，在4ABC中，鬟占D卷遏BCG中鬟占，謾黠A作射^AE,謾鬟占C作CFXAE於鬟占F,謾裳占B作BGXAE於黠G,速接FD旋延晨，交BG於黠H(1)求吉登:DF=DH；(2)若NCFD=120°,求吉登：4DHG卷等遏三角形.o已知雨等遏△ABC,4 有公共G項(xiàng)裳占C。()如圈①，常在AC上，在BC上畤，A典B之^^數(shù)量^彳系卷()如圈②，常B、C、共^畤，速接A、B交於，速接C,^段B^^段A、C之^有何數(shù)量^系？^^明理由；()如圈③，常B、C、不共^畤，^段B^^段A、C之^^數(shù)量^系是(不要求瞪明)。、在△ 中，/ JB金兌角，勤黠(昇於黠)在射^上，速接，以卷遏在內(nèi)右陽1J作正方形，速接.()若，/ °那麼①如圈一，常黠^上段上畤，^段典之^^位置、大小昌弘系是 直接嘉出結(jié)言俞圈二，常黠^上段G延房上畤，①中G^^是否仍然成立？言青^明理由.()若w,NW0.黠^上段上，那麼常N等於多少度畤？^段典之^內(nèi)位置^系仍然成立.^^出相鷹ia形，^^明理由.

4、如圈1,等腰直角三角板G一他金兌角項(xiàng)黠典正方形ABCD?mBA重合，符此三角板^黠A旋醇，使三角板中言亥金兌角G雨修遏分別交正方形G雨遏BC,DC於黠E,F,速接EF.(1)猜想BE、EF、DF三脩^段之^^數(shù)量^彳系，加言登明你G猜想；(2)在H1中，謾黠A作AMXEF於黠M,1青直接嘉出AM和ABG數(shù)量^系；(3)如H2,符Rt△ABC沿斜遏AC翻折得到Rt△ADC,E,F分別是BC,CD^±?B，ZEAF=1/2/BAD,速接EF,謾黠A作AM±EF於黠M,就猜想AM典AB之^^數(shù)量^系.旋言登明你G猜想.

答案、全等三角形G判定輿性^;等遏三角形G判定.分析：（1）首先瞪明N1=/2，再瞪明△DCF"△DBH即可得到DF=DH；（2）首先根摞角G和差詹昌彳系可以言十算出NGFH=30°,三角形g性^可得，hg=：hf,迤而得到結(jié)者氤再由NBGM=90°可得NGHD=60°,再根摞直角解答：瞪明：(1);CF±AE,BG±AE,NBGF=NCFG=90°,N1+NGMB=N2+NCME,丁NGMB=NCME,N1=N2,「黠D卷遏BCG中黠，DB=CD,在^BHD和^CED中，N1=N2DB=CDN3=N4.?.△BHD^△CED(ASA),CFD=120°,NCFG=90°,GFH=30°,BGM=90°,；.NGHD=60°,?「△HGF是直角三角形，HD=DF,HG=1HF=DH2...△DHG卷等遏三角形.此題主要考查了全等三角形G判定輿性^,以及直角三角形斜遏上G中^等於斜遏G一半，信昌曜是掌握全等三角形G判定定理.

、解：()()理由：在上截取/，速接/:△ 、△ 均卷等遏三角形，TOC\o"1-5"\h\z?? ， ，/ 、 °??/ 、EN即Z Z二在^和^中ZE，?△ /△ ( )??/°二在4,和^中??△,必().??Z3=Z4,CM=CM/VZ=Z+Z°，.Z+Z°即ZMM/C=°.,.△MM，C卷等遏三角形.??CM=MM，.??BM=BM，+MM，=AM+CM()(-1)①匚F=EDCF1BD,解事結(jié)論還成立，CF=BDCFIED,理由是：：四邊形仙EF是正方形j二:AD=AF,ZDAF=90D,VZBAC-900,ZBAC-ZDAC=ZDAF-ZDAC.)/,ZBAD=Z.CAF,:在AEAD和ACAF^②解*結(jié)密還成立,理由是由①知，ZBAC=FAD=90-7/.ZBAC+ZCAD=ZFAD+ZCAD,/.ZB+ZBCA=90a,ZACF+ZACB=90D/.ZB+ZBCA=90a,ZACF+ZACB=90Dv二CF1ED,故答案為：CF=BD,CF1BD.ZBAD=^FAC：,,;在AEAD和ACAF中支B=曜￡BAD=Z-eAF',AD=AF/.ABAD^ACAF,.,.CF=ED?ZE=-2aCF,VZBAC=90",/.Zfi+ZBCA=90",AZACF+ZACB=90",；.CF1BD,理由是：如圖1，當(dāng)/5A。烹9口”？過點(diǎn)乩作乩Ml匚叢變K于M,則且M=M,由11)同理可證明AFAC衛(wèi)AMAD,/.ZACF=ZAMD=45a,?：2：FCB=90n*如CF1ED.即①的結(jié)論還成立.

(1)EF=EE+DF,證明：如答圖L延長CE到使EQ=DF,連接啦,..?四邊形..?四邊形AECD是正方形，AD=AB,ZD=ZDAB=ZABE=ZABQ=90在△仙F和色必皿中(AB=ADiZABQ=ZD,[bq=l>fAadf^Aabq(SAS),AQ=AF,ZQAB=ZDAF,ZDAB=90°,ZFAE=45°,/.ZDAF+ZBAE=45°,ZBAE+ZBAQ=45°,即』EAQ=/FAE,在△EAQ和△EAF中(ak=<ZEAQ=ZEAF[aq=afAeaq^Aeaf,.■.EF=EQ=BE+BQ=BE+DF.(2)解：AM=AB；理由是：Aeaq^Aeaf,EF=BQ,/.tXBQXAB=tXFEXAM,AM=AB.(3)AM=AB,證明：如答圖2，延長CEi到Q,使EiQ=DF,連接AQ,在在△EAQ和Aeaf中,4E=且