專題06相似三角形中的基本模型之半角模型相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識點結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就半角模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"14"\h\z\u 1模型來源 1真題現(xiàn)模型 2提煉模型 4模型運用 5模型1、半角模型 5 14相似三角形中的半角模型源于初中幾何中利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形的經(jīng)典方法，其核心是通過角度關(guān)系推導(dǎo)線段之間的數(shù)量關(guān)聯(lián)。這類模型通過“數(shù)形結(jié)合”的趣味性，成為幾何學(xué)習(xí)的經(jīng)典記憶點。半角模型?指一個圖形中存在共頂點的兩個角，其中一個角是另一個角的一半（即“半角”），且該半角的兩邊與二倍角的兩邊對應(yīng)成比例。在相似三角形背景下，模型表現(xiàn)為：大角與小角共頂點；小角為大角的一半；涉及相似三角形的對應(yīng)邊比例關(guān)系。半角模型輔助線的作法：由旋轉(zhuǎn)（或翻折）構(gòu)造兩對全等，從而將邊轉(zhuǎn)化，找到邊與邊的關(guān)系（將分散的條件集中，隱蔽的關(guān)系顯現(xiàn)）。常見的考法包括：90°與45°（正方形、直角三角形）；120°與60°（等邊三角形）等。1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型）條件：已知，如圖，在正方形ABCD中，∠EAF的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點，且∠EAF＝45°圖1圖2結(jié)論：如圖1，△MDA∽△MAN∽△ABN；證明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF，∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN；結(jié)論：如圖2，△BME∽△AMN∽△DFN.證明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF，∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN；圖3圖4證明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN；2）半角模型（含12060°半角模型）圖1模型1.半角模型例1（2025·云南昆明·模擬預(yù)測）如圖，正方形ABCD的邊長為a，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且滿足∠EAF＝45°，AE、AF分別與對角線BD交于點M、N，AH⊥EF于點H，以下說法：①AH＝a；②△CEF的周長是2a；③若BE＝2，DF＝3，則a＝6；④△ABM≌△NEM；⑤AN⊥NE，其中正確的是（

）A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③ D．①②⑤(1)請在圖中找出一對相似而不全等的三角形，并對其進行證明；(2)求m和n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量n的取值范圍；(3)證明在旋轉(zhuǎn)過程中以，，三條線段長度為三邊的三角形是直角三角形．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

A．1 B． C．2 D．A．4 B．3 C．2 D．1A．2 B．1 C． D．A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④

請你選擇一名同學(xué)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，寫出證明過程．

圖1

圖2

圖3（1）請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進行證明．13.（2024·江蘇宿遷·中考真題）在綜合實踐活動課上，同學(xué)們以折疊正方形紙片展開數(shù)學(xué)探究活動操作二：如圖②，在邊上選一點E，沿折疊，使點A落在正方形內(nèi)部，得到折痕；15．（2425九年級下·遼寧撫順·階段練習(xí)）探究與實踐【問題初探】在數(shù)學(xué)活動課上，老師給出如下問題：【方法歸納】有公共頂點，銳角等于較大的角的一半時，通過旋轉(zhuǎn)，可將角進行等量轉(zhuǎn)化，構(gòu)造全等（相似）的三角形的幾何模型．這種解法稱為經(jīng)典之旋轉(zhuǎn)法．16．（2425九年級上·遼寧沈陽·期末）【教材呈現(xiàn)】（1）如圖1，在同一平面內(nèi)，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠B