彈塑性力學總結彈塑性力學的任務是分析各種結構物或其構件在彈性階段和塑性階段的應力和位移，校核它們是否具有所需的強度、剛度和穩(wěn)定性，并尋求或改進它們的計算方法。并且彈塑性力學是以后有限元分析、解決具體工程問題的理論基礎，這就要求我們掌握其必要的基礎知識和具有一定的計算能力。通過一學期的彈塑性力學的學習，對其內容總結如下：一、彈性力學1、彈性力學的基本假定求解一個彈性力學問題，通常是已知物體的幾何形狀（即已知物體的邊界），彈性常數(shù)，物體所受的外力，物體邊界上所受的面力，以及邊界上所受的約束；需要求解的是物體內部的應力分量、應變分量與位移分量。求解問題的方法是通過研究物體內部各點的應力與外力所滿足的靜力平衡關系，位移與應變的幾何學關系以及應力與應變的物理學關系，建立一系列的方程組；再建立物體表面上給定面力的邊界以及給定位移約束的邊界上所給定的邊界條件；最后化為求解一組偏分方程的邊值問題。在導出方程時，如果考慮所有各方面的因素，則導出的方程非常復雜，實際上不可能求解。因此，通常必須按照研究對象的性質，聯(lián)系求解問題的范圍，做出若干基本假定，從而略去一些暫不考慮的因素，使得方程的求解成為可能。（1）假設物體是連續(xù)的。就是說物體整個體積內，都被組成這種物體的物質填滿，不留任何空隙。這樣，物體內的一些物理量，例如：應力、應變、位移等，才可以用坐標的連續(xù)函數(shù)表示。（2）假設物體是線彈性的。就是說當使物體產生變形的外力被除去以后，物體能夠完全恢復原來形狀，不留任何殘余變形。而且，材料服從虎克定律，應力與應變成正比。（3）假設物體是均勻的。就是說整個物體是由同一種質地均勻的材料組成的。這樣，整個物體的所有部分才具有相同的物理性質，因而物體的彈性模量和泊松比才不隨位置坐標而變。（4）假設物體是各向同性的。也就是物體內每一點各個不同方向的物理性質和機械性質都是相同的。（5）假設物體的變形是微小的。即物體受力以后，整個物體所有各點的位移都小于物體的原有尺寸，因而應變和轉角都遠小于1。這樣，在考慮物體變形以后的平衡狀態(tài)時，可以用變形前的尺寸代替變形后尺寸，而不致有顯著的誤差；并且，在考慮物體的變形時，應變和轉角的平方項或乘積都可以略去不計，使得彈性力學中的微分方程都成為線性方程。2、外力和應力的概念作用于彈性體的外力可以分為體（積）力和（表）面力。體力是分布在彈性體體積內質量上的力，例如重力和慣性力、磁力等。在物體內任一點的體力，用作用于其上的單位體積的體力沿坐標軸上的投影來表示。它們的指向以沿坐標軸正方向為正；反之為負。這三個投影稱為該點的體力分量。面力是指作用于彈性體表面上的外力，例如流體壓力和接觸力等?？梢允欠植剂?，也可以是集中力。在彈性表面上任一點的面力，用作用于其上的單位面積上面力沿坐標軸上的投影、、來表示。它們的指向也以沿坐標軸正方向的為正，反之為負。這三個投影稱為該點的面力分量。彈性體在外力作用下變形，而在彈性體內部為了阻止其變形就產生了內力來平衡外力。作用在單位面積上的內力稱為應力。3、一點的應力狀態(tài)為了研究彈性體內任一點的應力，就在這一點設想從彈性體中取出一個微分體（無限小的平行六面體）如下圖1：圖1微小平行六面體的應力狀態(tài)如果某一個截面上的外法線是沿著坐標軸的正方向，這個截面就稱為一個正面，而這個面上的應力分量就以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向為負。相反，如果某一個截面上的外法線是沿著坐標軸的負方向，這個截面就稱為一個負面，而這個面上的應力分量就以沿坐標軸負方向為正，沿坐標軸正方向為負。圖上所示的應力分量全部都是正的。注意，雖然上述正負號規(guī)定對于正應力說來，結果是和材料力學中的規(guī)定相同（拉應力為正而壓應力為負），但是，對于剪應力說來，結果卻和材料力學中的規(guī)定不完全相同。剪應力的互等關系：作用在兩個互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應力，是互等的（大小相等，正負號也相同）。 （1）4、斜截面應力公式，物體表面給定力的邊界條件現(xiàn)在，假定物體在任一點的六個應力分量為已知，試求經過點的任一斜面上的應力。為此，在點附近取一個平面，平行于這一斜面，并與經過點而平行于坐標面的三個平面形成一個微小的四面體，如圖2所示。當平面趨近于點時，平面上的應力就成為該斜面上的應力。圖2物體內任意一點的應力狀態(tài)設斜面的向外法線為，而的方向余弦為： （2）由平衡條件、及可得出與上式相似的兩個方程。簡化后三個方程為： （3）設三角形上的正應力為，則由投影可得： （4）設三角形上的剪應力為，則由于： （5）而有： （6）由公式（4）和（5）可見，在物體的任意一點，如果已知六個應力分量，就可以求得任一斜面上的正應力和剪應力。因此，可以說，六個應力分量完全決定了一點的應力狀態(tài)。在特殊情況下，如果ABC是物體的邊界面，則、、成為面力分量、、，于是由公式（3）得出： （7）這就是彈性體的應力邊界條件，它表明應力分量的邊界值與面力分量之間的關系。5、應力分量的坐標轉換關系若物體處在某一確定的應力狀態(tài)，在某一組坐標系中，這個應力狀態(tài)可以用六個應力分量表示，在另一組坐標系中，同一個應力狀態(tài)卻以另外一組不同的應力分量表示。兩組應力分量之間應力滿足一定的坐標轉換關系。在物體上任一點處，第一組坐標系的坐標軸為，第二組坐標系的坐標軸為,,，它們之間的夾角方向余弦見表。坐標軸兩組不同坐標系中的應力分量滿足以下關系： （8）上式也可以表示成抽象的矩陣乘式: （9）例如：若第一組坐標系為直角坐標系，第二組坐標系為圓柱坐標系，可知兩組坐標系的轉換矩陣為： （10）6、主應力、應力主方向、主剪應力若經過物體中一點處的某一斜面上的剪應力等于零，則該斜面上的正應力稱為點的一個主應力，該斜面稱為點的一個主應力面，而該斜面的垂線方向稱為點的一個主應力方向?？梢宰C明，在彈性體的任一點，一定存在三個相互垂直的主應力面及和它們對應的三個主應力，通常用。而且，任何一個斜面上的正應力都不會大于三個主應力中最大的一個，也不會小于三個主應力中最小的一個。主應力與主方向可以用以下的方法求得：假設是點應力狀態(tài)的一個主方向，與原始坐標系的夾角方向余弦為，它們間總滿足： （11）在垂直于的截面上只有正應力(某個主應力)作用，則由柯西公式知： （12）上式中為待求的方向余弦，將上式移項可以得到求解的齊次線性方程組： （13）方程(13)零解的條件是其系數(shù)行列式值為零，即： （14）式（14）稱為該應力狀態(tài)的特征方程式，它是一個三次代數(shù)方程，可以證明它有三個實根，稱為特征根，就是應力狀態(tài)所對應的主應力?？梢宰C明，特征方程(14）式的系數(shù)是只與應力狀態(tài)有關，與所選擇的原始坐標系無關的量，分別稱為該應力狀態(tài)的第一、第二、第三不變量。即 （15） （16） （17）7、疊加原理與圣維南原理在解決一個彈性力學問題時，我們常常利用疊加原理來有效地處理各種復雜載荷作用的情況。疊加原理是：考慮同一物體受兩組載荷作用，第一組為體力和面力；第二組為體力和面力，它們引起的應力和全移場分別為和以及和。如果物體處于線彈性、小變形狀態(tài)，兩組載荷同時作用時物體內的應力和位移場等于它們單獨作用時相應的應力與位移場之和。彈性理論要求在物體的每個邊界點上都給定邊界條件。實際工程問題卻往往只知道總的載荷量，只能提出等效的近似邊界條件，給不出詳細的載荷分布規(guī)律。另外，解題時往往難于滿足逐點給定的精確邊界條件，因而也希望能找到一種邊界條件的簡化方案。圣維南原理指出:由作用在物體局部表面上的自平衡力系(即合力與合力矩為零的力系)，所引起的應變，在遠離作用區(qū)(距離遠大于該局部作用區(qū)的線性尺寸)的地方可以忽略不計。圣維南原理的另一種提法是:若把作用在物體局部表面上的外力，用另一組與它靜力等效的力系來代替。則這種等效處理對物體內部應力應變狀態(tài)的影響將隨遠離作用區(qū)的距離增加而迅速衰減。顯然，上述兩種提法是完全等效的。8、平面應力問題與平面應變問題平面應力：只在平面內有應力，與該面垂直方向的應力可忽略，例如薄板拉壓問題。平面應變：只在平面內有應變，與該面垂直方向的應變可忽略，例如水壩側向水壓問題。具體說來：平面應力是指所有的應力都在一個平面內，如果平面是平面，那么只有正應力和剪應力(它們都在一個平面內)，沒有。平面應變是指所有的應變都在一個平面內，同樣如果平面是平面，則只有正應變和剪應變，而沒有。舉例說來：平面應變問題比如壓力管道、水壩等，這類彈性體是具有很長的縱向軸的柱形物體，橫截面大小和形狀沿軸線長度不變；作用外力與縱向軸垂直，并且沿長度不變；柱體的兩端受固定約束。平面應力問題討論的彈性體為薄板，薄壁厚度遠遠小于結構另外兩個方向的尺度。薄板的中面為平面，其所受外力，包括體力均平行于中面面內，并沿厚度方向不變。而且薄板的兩個表面不受外力作用。9、彈性力學的基本方法在彈性力學里求解問題，主要有三種基本方法，分別是按位移求解、按應力求解和混合求解。按位移求解時，以位移分量為基本未知函數(shù)，根據(jù)基本方程和邊界條件求出位移分量，從而求出其他分量。按應力求解一般有逆解法和半逆解法。所謂逆解法，就是先設定各種形式的、滿足相容方程的應力函數(shù)，從而求出應力分量。然后根據(jù)應力邊界條件來考察，在各種形狀的彈性體上，這些應力分量對應于什么樣的面力，從而得知所設定的應力函數(shù)可以解決什么問題。所謂半逆解法，就是針對所要解的問題，根據(jù)彈性體的邊界形狀和受力情況，假設部分或全部應力分量為某種形式的函數(shù)，從而推出應力函數(shù)，然后來考察這個應力函數(shù)是否滿足相容方程以及原來假設的應力分量和由這個應力函數(shù)求出其他應力分量，是否滿足應力邊界條件和位移單值條件。相容方程： （21）二、塑性力學1、塑性力學的基本假設當作用在物體上的外力取消后，物體的變形不完全恢復，而產生一部分永久變形時，這中變形為塑性變形。在實驗的基礎上，塑性力學一般采用以下假設：（1）材料是連續(xù)的，均勻的。（2）平均正應力（靜水壓力）不影響屈服條件和加載條件。（3）體積的變化是彈性的。（4）不考慮時間因素對材料性質的影響。2、變形體的模型對于不同的材料，不同的應用領域，我們可以采用不同的變形體的模型，這種模型必須符合材料的實際性質。不同的材料有不同的拉伸曲線，但它們具有一些共同性質。其拉伸曲線圖如圖3。圖3材料的拉伸曲線圖如按上面曲線來解決具體問題將異常復雜，因此將其簡化，具體見圖4。圖4常用的應力應變曲線3、屈服條件對于處于單向拉伸（或壓縮）的物體，當應力達到屈服極限時，材料開始進入塑性狀態(tài)，對于處于復雜應力狀態(tài)的物體，由彈性狀態(tài)過渡到塑性狀態(tài)的臨界條件稱為屈服條件。在應力空間將初始屈服的應力點連成的彈性和塑性的分界面稱為屈服面。描述屈服面的數(shù)學表達式稱為屈服函數(shù)。常用的各向同性金屬材料的屈服試驗表明，屈服應力數(shù)據(jù)點介于屈雷斯卡（Tresca）屈服條件和密賽斯（Mises）屈服條件之間，而更接近于密賽斯屈服條件。1）、屈雷斯卡屈服條件（最大切應力條件）屈雷斯卡屈服條件為：當最大切應力達到某一極限值時，材料開始進入塑性狀態(tài)，即， （22）在主應力空間，當差值、、中任意一個達到時，材料進入塑料性狀態(tài)，即 （23）因此用屈雷斯卡條件表示的屈服面為由下列六個平面組成的正六邊形柱體。如圖5所示：圖5在主應力空間中Mises和Tresca屈服條件材料常數(shù)由實驗確定。在拉伸試驗時，，即。在純剪切試驗時，，即。如果屈雷斯卡條件成立，必有。2）、密賽斯屈服條件密賽斯條件為：:當切應力強度等于剪切屈服極限時，材料開始屈服；或者當應力強度等于拉伸屈服極限時，材料開始屈服，即 （24）對于密賽斯條件，。密賽斯條件與屈雷斯卡條件的最大差別不超過15%。在主應力空間，密賽斯屈服面為一外接于屈雷斯卡屈服面的圓柱面。在平面應力狀態(tài)，設，則在、應