數(shù)學學科解析幾何微積分概率論復(fù)變函數(shù)第1頁微積分學微積分學是微分學和積分學總稱。

客觀世界一切事物，小至粒子，大至宇宙，一直都在運動和改變著。所以在數(shù)學中引入了變量概念后，就有可能把運動現(xiàn)象用數(shù)學來加以描述了。

因為函數(shù)概念產(chǎn)生和利用加深，也因為科學技術(shù)發(fā)展需要，一門新數(shù)學分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了，這就是微積分學。微積分學這門學科在數(shù)學發(fā)展中地位是十分主要，能夠說它是繼歐氏幾何后，全部數(shù)學中最大一個創(chuàng)造。

第2頁微積分學建立

從微積分成為一門學科來說，是在十七世紀，不過，微分和積分思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。

公元前三世紀，古希臘阿基米德在研究處理拋物弓形面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體體積問題中，就隱含著近代積分學思想。作為微分學基礎(chǔ)極限理論來說，早在古代以有比較清楚敘述。比如我國莊周所著《莊子》一書“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。三國時期劉徽在他割圓術(shù)中提到“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣。”這些都是樸素、也是很經(jīng)典極限概念。

到了十七世紀，有許多科學問題需要處理，這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生原因。歸結(jié)起來，大約有四種第3頁主要類型問題：第一類是研究運動時候直接出現(xiàn)，也就是求即時速度問題。第二類問題是求曲線切線問題。第三類問題是求函數(shù)最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成面積、曲面圍成體積、物體重心、一個體積相當大物體作用于另一物體上引力。

十七世紀許多著名數(shù)學家、天文學家、物理學家都為處理上述幾類問題作了大量研究工作，如法國費爾瑪、笛卡兒、羅伯瓦、笛沙格；英國巴羅、瓦里士；德國開普勒；意大利卡瓦列利等人都提出許多很有建樹理論。為微積分創(chuàng)建做出了貢獻。

十七世紀下半葉，在前人工作基礎(chǔ)上，英國大科學家牛頓和德國數(shù)學家萊布尼茨分別在自己國度里獨自研究和完成了微積分創(chuàng)建工作，即使這只是十分初第4頁步工作。他們最大功勞是把兩個貌似毫不相關(guān)問題聯(lián)絡(luò)在一起，一個是切線問題（微分學中心問題），一個是求積問題（積分學中心問題）。牛頓和萊布尼茨建立微積分出發(fā)點是直觀無窮小量，所以這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是現(xiàn)在數(shù)學中分析學這一大分支名稱起源。牛頓研究微積分著重于從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學來考慮。

牛頓在1671年寫了《流數(shù)法和無窮級數(shù)》，這本書直到1736年才出版，它在這本書里指出，變量是由點、線、面連續(xù)運動產(chǎn)生，否定了以前自己認為變量是無窮小元素靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動量，把這些流動量導數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出中心問題是：已知連續(xù)運動路徑，求給定時刻速度（微分法）；已知運動速度求給定時間內(nèi)經(jīng)過旅程（積分法）。

第5頁德國萊布尼茨是一個博才多學學者，1684年，他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認為是最早微積分文件，這篇文章有一個很長而且很古怪名字《一個求極大極小和切線新方法，它也適合用于分式和無理量，以及這種新方法奇妙類型計算》。就是這么一片說理也頗含糊文章，卻有劃時代意義。他以含有當代微分符號和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學文件。他是歷史上最偉大符號學者之一，他所創(chuàng)設(shè)微積分符號，遠遠優(yōu)于牛頓符號，這對微積分發(fā)展有極大影響。現(xiàn)在我們使用微積分通用符號就是當初萊布尼茨精心選取。

微積分學創(chuàng)建，極大地推進了數(shù)學發(fā)展，過去很多初等數(shù)學束手無策問題，利用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學非凡威力。

第6頁前面已經(jīng)提到，一門科學創(chuàng)建決不是某一個人業(yè)績，他必定是經(jīng)過多少人努力后，在積累了大量結(jié)果基礎(chǔ)上，最終由某個人或幾個人總結(jié)完成。微積分也是這么。

不幸事，因為人們在觀賞微積分宏偉功效之余，在提出誰是這門學科創(chuàng)建者時候，竟然引發(fā)了一場悍然大波，造成了歐洲大陸數(shù)學家和英國數(shù)學家長久對立。英國數(shù)學在一個時期里閉關(guān)鎖國，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓“流數(shù)術(shù)”中停步不前，因而數(shù)學發(fā)展整整落后了一百年。

其實，牛頓和萊布尼茨分別是自己獨立研究，在大致上相近時間里先后完成。比較特殊是牛頓創(chuàng)建微積分要比萊布尼詞早左右，不過整是公開發(fā)表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年。他們研究各有優(yōu)點，也都各有短處。那時候，因為民族偏見，關(guān)于創(chuàng)造優(yōu)先權(quán)爭論竟從1699年始延續(xù)了一百多年。

第7頁應(yīng)該指出，這是和歷史上任何一項重大理論完成都要經(jīng)歷一段時間一樣，牛頓和萊布尼茨工作也都是很不完善。他們在無窮和無窮小量這個問題上，其說不一，十分含糊。牛頓無窮小量，有時候是零，有時候不是零而是有限小量；萊布尼茨也不能自圓其說。這些基礎(chǔ)方面缺點，最終造成了第二次數(shù)學危機產(chǎn)生。

直到１９世紀初，法國科學學院科學家以柯西為首，對微積分理論進行了認真研究，建立了極限理論，後來又經(jīng)過德國數(shù)學家維爾斯特拉斯深入嚴格化，使極限理論成為了微積分堅定基礎(chǔ)。才使微積分深入發(fā)展開來。

任何新興、含有沒有量前途科學成就都吸引著廣大科學工作者。在微積分歷史上也閃爍著這么一些明星：瑞士雅科布·貝努利和他弟兄約翰·貝努利、歐拉、法國拉格朗日、科西……

第8頁歐氏幾何也好，上古和中世紀代數(shù)學也好，都是一個常量數(shù)學，微積分才是真正變量數(shù)學，是數(shù)學中大革命。微積分是高等數(shù)學主要分支，不只是局限在處理力學中變速問題，它馳騁在近代和當代科學技術(shù)園地里，建立了數(shù)不清豐功偉績。

第9頁微積分基本內(nèi)容

研究函數(shù)，從量方面研究事物運動改變是微積分基本方法。這種方法叫做數(shù)學分析。

原來從廣義上說，數(shù)學分析包含微積分、函數(shù)論等許多分支學科，不過現(xiàn)在普通已習慣于把數(shù)學分析和微積分等同起來，數(shù)學分析成了微積分同義詞，一提數(shù)學分析就知道是指微積分。微積分基本概念和內(nèi)容包含微分學和積分學。

微分學主要內(nèi)容包含：極限理論、導數(shù)、微分等。

積分學主要內(nèi)容包含：定積分、不定積分等。

微積分是與應(yīng)用聯(lián)絡(luò)著發(fā)展起來，最初牛頓應(yīng)用微積分學及微分方程為了從萬有引力定律導出了開普勒行星第10頁運動三定律。今后，微積分學極大推進了數(shù)學發(fā)展，同時也極大推進了天文學、力學、物理學、化學、生物學、工程學、經(jīng)濟學等自然科學、社會科學及應(yīng)用科學各個分支中發(fā)展。并在這些學科中有越來越廣泛應(yīng)用，尤其是計算機出現(xiàn)更有利于這些應(yīng)用不停發(fā)展。

第11頁解析幾何產(chǎn)生

十六世紀以后，因為生產(chǎn)和科學技術(shù)發(fā)展，天文、力學、航海等方面都對幾何學提出了新需要。比如，德國天文學家開普勒發(fā)覺行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運行，太陽處于這個橢圓一個焦點上；意大利科學家伽利略發(fā)覺投擲物體試驗著拋物線運動。這些發(fā)覺都包括到圓錐曲線，要研究這些比較復(fù)雜曲線，原先一套方法顯然已經(jīng)不適應(yīng)了，這就造成了解析幾何出現(xiàn)。

1637年，法國哲學家和數(shù)學家笛卡爾發(fā)表了他著作《方法論》，這本書后面有三篇附錄，一篇《折光學》，一篇叫《流星學》，一篇叫《幾何學》。當初這個“幾何學”實際上指是數(shù)學，就像我國古代“算術(shù)”和“數(shù)學”是一個意思一樣。

第12頁笛卡爾《幾何學》共分三卷，第一卷討論尺規(guī)作圖；第二卷是曲線性質(zhì)；第三卷是立體和“超立體”作圖，但他實際是代數(shù)問題，探討方程根性質(zhì)。后世數(shù)學家和數(shù)學史學家都把笛卡爾《幾何學》作為解析幾何起點。

從笛卡爾《幾何學》中能夠看出，笛卡爾中心思想是建立起一個“普遍”數(shù)學，把算術(shù)、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來。他構(gòu)想，把任何數(shù)學問題化為一個代數(shù)問題，在把任何代數(shù)問題歸結(jié)到去解一個方程式。

為了實現(xiàn)上述構(gòu)想，笛卡爾茨從天文和地理經(jīng)緯制度出發(fā)，指出平面上點和實數(shù)對(x,y)對應(yīng)關(guān)系。x,y不一樣數(shù)值能夠確定平面上許多不一樣點，這么就能夠用代數(shù)方法研究曲線性質(zhì)。這就是解析幾何基本思想。

第13頁詳細地說，平面解析幾何基本思想有兩個關(guān)鍵點：第一，在平面建立坐標系，一點坐標與一組有序?qū)崝?shù)對相對應(yīng)；第二，在平面上建立了坐標系后，平面上一條曲線就可由帶兩個變數(shù)一個代數(shù)方程來表示了。從這里能夠看到，利用坐標法不但能夠把幾何問題經(jīng)過代數(shù)方法處理，而且還把變量、函數(shù)以及數(shù)和形等主要概念親密聯(lián)絡(luò)了起來。

解析幾何產(chǎn)生并不是偶然。在笛卡爾寫《幾何學》以前，就有許多學者研究過用兩條相交直線作為一個坐標系；也有些人在研究天文、地理時候，提出了一點位置可由兩個“坐標”（經(jīng)度和緯度）來確定。這些都對解析幾何創(chuàng)建產(chǎn)生了很大影響。

在數(shù)學史上，普通認為和笛卡爾同時代法國業(yè)余數(shù)學家費爾馬也是解析幾何創(chuàng)建者之一，應(yīng)該分享這門學科創(chuàng)建榮譽。

第14頁費爾馬是一個業(yè)余從事數(shù)學研究學者，對數(shù)論、解析幾何、概率論三個方面都有主要貢獻。他性情謙和，好靜成癖，對自己所寫“書”無意發(fā)表。但從他通信中知道，他早在笛卡爾發(fā)表《幾何學》以前，就已寫了關(guān)于解析幾何小文，就已經(jīng)有了解析幾何思想。只是直到1679年，費爾馬死后，他思想和著述才從給友人通信中公開發(fā)表。

笛卡爾《幾何學》，作為一本解析幾何書來看，是不完整，但主要是引入了新思想，為開辟數(shù)學新園地做出了貢獻。

第15頁解析幾何基本內(nèi)容

在解析幾何中，首先是建立坐標系。如上圖，取定兩條相互垂直、含有一定方向和度量單位直線，叫做平面上一個直角坐標系oxy。利用坐標系能夠把平面內(nèi)點和一對實數(shù)(x,y)建立起一一對應(yīng)關(guān)系。除了直角坐標系外，還有斜坐標系、極坐標系、空間直角坐標系等等。在空間坐標系中還有球坐標和柱面坐標。

坐標系將幾何對象和數(shù)、幾何關(guān)系和函數(shù)之間建立了親密聯(lián)絡(luò)，這么就能夠?qū)臻g形式研究歸結(jié)成比較成熟也輕易駕馭數(shù)量關(guān)系研究了。用這種方法研究幾何學，通常就叫做解析法。這種解析法不但對于解析幾何是主要，就是對于幾何學各個分支研究也是十分主要。

第16頁解析幾何創(chuàng)建，引入了一系列新數(shù)學概念，尤其是將變量引入數(shù)學，使數(shù)學進入了一個新發(fā)展時期，這就是變量數(shù)學時期。解析幾何在數(shù)學發(fā)展中起了推進作用。恩格斯對此曾經(jīng)作過評價“數(shù)學中轉(zhuǎn)折點是笛卡爾變數(shù)，有了變書，運動進入了數(shù)學；有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要了，……”

第17頁解析幾何應(yīng)用

解析幾何又分作平面解析幾何和空間解析幾何。

在平面解析幾何中，除了研究直線相關(guān)直線性質(zhì)外，主要是研究圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）相關(guān)性質(zhì)。

在空間解析幾何中，除了研究平面、直線相關(guān)性質(zhì)外，主要研究柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面。

橢圓、雙曲線、拋物線有些性質(zhì)，在生產(chǎn)或生活中被廣泛應(yīng)用。比如電影放映機聚光燈泡反射面是橢圓面，燈絲在一個焦點上，影片門在另一個焦點上；探照燈、聚光燈、太陽灶、雷達天線、衛(wèi)星天線、射電望遠鏡等都是利用拋物線原理制成。

第18頁總來說，解析幾何利用坐標法能夠處理兩類基本問題：一類是滿足給定條件點軌跡，經(jīng)過坐標系建立它方程；另一類是經(jīng)過方程討論，研究方程所表示曲線性質(zhì)。

利用坐標法處理問題步驟是：首先在平面上建立坐標系，把已知點軌跡幾何條件“翻譯”成代數(shù)方程；然后利用代數(shù)工具對方程進行研究；最終把代數(shù)方程性質(zhì)用幾何語言敘述，從而得到原先幾何問題答案。

坐標法思想促使人們利用各種代數(shù)方法處理幾何問題。先前被看作幾何學中難題，一旦利用代數(shù)方法后就變得平淡無奇了。坐標法對近代數(shù)學機械化證實也提供了有力工具

第19頁復(fù)數(shù)概念起源于求方程根，在二次、三次代數(shù)方程求根中就出現(xiàn)了負數(shù)開平方情況。在很長時間里，人們對這類數(shù)不能了解。但伴隨數(shù)學發(fā)展，這類數(shù)主要性就日益顯現(xiàn)出來。復(fù)數(shù)普通形式是：a+bi，其中i是虛數(shù)單位。

復(fù)變函數(shù)以復(fù)數(shù)作為自變量函數(shù)就叫做復(fù)變函數(shù)，而與之相關(guān)理論就是復(fù)變函數(shù)論。解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)中一類含有解析性質(zhì)函數(shù)，復(fù)變函數(shù)論主要就研究復(fù)數(shù)域上解析函數(shù)，所以通常也稱復(fù)變函數(shù)論為解析函數(shù)論。

第20頁復(fù)變函數(shù)論發(fā)展簡況

復(fù)變函數(shù)論產(chǎn)生于十八世紀。1774年，歐拉在他一篇論文中考慮了由復(fù)變函數(shù)積分導出兩個方程。而比他更早時，法國數(shù)學家達朗貝爾在他關(guān)于流體力學論文中，就已經(jīng)得到了它們。所以，以后人們提到這兩個方程，把它們叫做“達朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀，上述兩個方程在柯西和黎曼研究流體力課時，作了更詳細研究，所以這兩個方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。

復(fù)變函數(shù)論全方面發(fā)展是在十九世紀，就像微積分直接擴展統(tǒng)治了十八世紀數(shù)學那樣，復(fù)變函數(shù)這個新分支統(tǒng)治了十九世紀數(shù)學。當初數(shù)學家公認復(fù)變函數(shù)論是最豐饒數(shù)學分支，而且稱為這個世紀數(shù)學享受，也有些人稱贊它是抽象科學中最友好理論之一。

第21頁為復(fù)變函數(shù)論創(chuàng)建做了最早期工作是歐拉、達朗貝爾，法國拉普拉斯也隨即研究過復(fù)變函數(shù)積分，他們都是創(chuàng)建這門學科先驅(qū)。

以后為這門學科發(fā)展作了大量奠基工作要算是柯西、黎曼和德國數(shù)學家維爾斯特拉斯。二十世紀初，復(fù)變函數(shù)論又有了很大進展，維爾斯特拉斯學生，瑞典數(shù)學家列夫勒、法國數(shù)學家彭加勒、阿達瑪?shù)榷甲髁舜罅垦芯抗ぷ?，開拓了復(fù)變函數(shù)論更遼闊研究領(lǐng)域，為這門學科發(fā)展做出了貢獻。

復(fù)變函數(shù)論在應(yīng)用方面，包括面很廣，有很多復(fù)雜計算都是用它來處理。比如物理學上有很多不一樣穩(wěn)定平面場，所謂場就是每點對應(yīng)有物理量一個區(qū)域，對它們計算就是經(jīng)過復(fù)變函數(shù)來處理。

第22頁比如俄國茹柯夫斯基在設(shè)計飛機時候，就用復(fù)變函數(shù)論處理了飛機機翼結(jié)構(gòu)問題，他在利用復(fù)變函數(shù)論處理流體力學和航空力學方面問題上也做出了貢獻。

復(fù)變函數(shù)論不但在其它學科得到了廣泛應(yīng)用，而且在數(shù)學領(lǐng)域許多分支也都應(yīng)用了它理論。它已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等學科，對它們發(fā)展很有影響。

第23頁復(fù)變函數(shù)論內(nèi)容

復(fù)變函數(shù)論主要包含單值解析函數(shù)理論、黎曼曲面理論、幾何函數(shù)論、留數(shù)理論、廣義解析函數(shù)等方面內(nèi)容。

假如當函數(shù)變量取某一定值時候，函數(shù)就有一個唯一確定值，那么這個函數(shù)解就叫做單值解析函數(shù)，多項式就是這么函數(shù)。

復(fù)變函數(shù)也研究多值函數(shù)，黎曼曲面理論是研究多值函數(shù)主要工具。由許多層面安放在一起而組成一個曲面叫做黎曼曲面。利用這種曲面，能夠使多值函數(shù)單值枝和枝點概念在幾何上有非常直觀表示和說明。對于某一個多值函數(shù)，假如能作出它黎曼曲面，那么，函數(shù)在離曼曲面上就變成單值函數(shù)。

第24頁黎曼曲面理論是復(fù)變函數(shù)域和幾何間一座橋梁，能夠使我們把比較深奧函數(shù)解析性