2024屆湖北省鄂州地區(qū)數(shù)學(xué)九上期末調(diào)研模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．關(guān)于拋物線，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A．開(kāi)口向上 B．對(duì)稱軸是y軸C．函數(shù)有最大值 D．當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)y隨x的增大而增大2．已知點(diǎn)A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函數(shù)（k＜0）的圖象上，則y1、y2的大小關(guān)系為（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．無(wú)法確定3．木桿AB斜靠在墻壁上，當(dāng)木桿的上端A沿墻壁NO豎直下滑時(shí)，木桿的底端B也隨之沿著射線OM方向滑動(dòng)．下列圖中用虛線畫出木桿中點(diǎn)P隨之下落的路線，其中正確的是（）A． B．C． D．4．在Rt△ABC中，cosA=，那么sinA的值是（）A． B． C． D．5．下列事件中是必然事件的是（）A．﹣a是負(fù)數(shù) B．兩個(gè)相似圖形是位似圖形C．隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地后正面朝上 D．平移后的圖形與原來(lái)的圖形對(duì)應(yīng)線段相等6．在Rt△ABC中，∠C=900，∠B=2∠A，則cosB等于（）A． B． C． D．7．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，連結(jié)DE．且DE＝，則弦BC的長(zhǎng)為（）A． B．2 C．3 D．8．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（）A． B． C． D．9．我國(guó)民間，流傳著許多含有吉祥意義的文字圖案，表示對(duì)幸福生活的向往，良辰佳節(jié)的祝賀．比如下列圖案分別表示“?！?、“祿”、“壽”、“喜”，其中是中心對(duì)稱圖形的是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④10．如圖，網(wǎng)格中的兩個(gè)三角形是位似圖形，它們的位似中心是（）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D二、填空題(每小題3分,共24分)11．某校開(kāi)展“節(jié)約每一滴水”活動(dòng)，為了了解開(kāi)展活動(dòng)一個(gè)月以來(lái)節(jié)約用水的情況，從八年級(jí)的400名同學(xué)中選取20名同學(xué)統(tǒng)計(jì)了各自家庭一個(gè)月節(jié)約用水情況如表，請(qǐng)你估計(jì)這400名同學(xué)的家庭一個(gè)月節(jié)約用水的總量大約是_____．節(jié)水量/m30.20.250.30.40.5家庭數(shù)/個(gè)2467112．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的函數(shù)表達(dá)式為y＝x，點(diǎn)O1的坐標(biāo)為（1，0），以O(shè)1為圓心，O1O為半徑畫圓，交直線l于點(diǎn)P1，交x軸正半軸于點(diǎn)O2，以O(shè)2為圓心，O2O為半徑畫圓，交直線l于點(diǎn)P2，交x軸正半軸于點(diǎn)O3，以O(shè)3為圓心，O3O為半徑畫圓，交直線l于點(diǎn)P3，交x軸正半軸于點(diǎn)O4；…按此做法進(jìn)行下去，其中的長(zhǎng)為_(kāi)____．13．關(guān)于x的方程的解是，（a，m，b均為常數(shù)，），則關(guān)于x的方程的解是________．14．如圖所示的五角星繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度后能與自身完全重合，則其旋轉(zhuǎn)的角度至少為_(kāi)______；15．如圖，圓形紙片⊙O半徑為5，先在其內(nèi)剪出一個(gè)最大正方形，再在剩余部分剪出4個(gè)最大的小正方形，則4個(gè)小正方形的面積和為_(kāi)______．16．已知，則＝_____．17．分母有理化：＝_____．18．把一袋黑豆中放入紅豆100粒，攪勻后取出100粒豆子，其中紅豆5粒，則該袋中約有黑豆_______粒．三、解答題(共66分)19．（10分）圖1，圖2分別是一滑雪運(yùn)動(dòng)員在滑雪過(guò)程中某一時(shí)刻的實(shí)物圖與示意圖，已知運(yùn)動(dòng)員的小腿與斜坡垂直，大腿與斜坡平行，且三點(diǎn)共線，若雪仗長(zhǎng)為，，，求此刻運(yùn)動(dòng)員頭部到斜坡的高度（精確到）（參考數(shù)據(jù)：）20．（6分）如圖，正方形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線，過(guò)點(diǎn)作的平行線，它們相交于點(diǎn)．求證：四邊形是正方形．21．（6分）已知：如圖，在矩形中，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，與相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．22．（8分）數(shù)學(xué)概念若點(diǎn)在的內(nèi)部，且、和中有兩個(gè)角相等，則稱是的“等角點(diǎn)”，特別地，若這三個(gè)角都相等，則稱是的“強(qiáng)等角點(diǎn)”.理解概念（1）若點(diǎn)是的等角點(diǎn)，且，則的度數(shù)是.（2）已知點(diǎn)在的外部，且與點(diǎn)在的異側(cè)，并滿足，作的外接圓，連接，交圓于點(diǎn).當(dāng)?shù)倪厺M足下面的條件時(shí)，求證：是的等角點(diǎn).（要求：只選擇其中一道題進(jìn)行證明！）①如圖①，②如圖②，深入思考（3）如圖③，在中，、、均小于，用直尺和圓規(guī)作它的強(qiáng)等角點(diǎn).（不寫作法，保留作圖痕跡）（4）下列關(guān)于“等角點(diǎn)”、“強(qiáng)等角點(diǎn)”的說(shuō)法：①直角三角形的內(nèi)心是它的等角點(diǎn)；②等腰三角形的內(nèi)心和外心都是它的等角點(diǎn)；③正三角形的中心是它的強(qiáng)等角點(diǎn)；④若一個(gè)三角形存在強(qiáng)等角點(diǎn)，則該點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等；⑤若一個(gè)三角形存在強(qiáng)等角點(diǎn)，則該點(diǎn)是三角形內(nèi)部到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，其中正確的有.（填序號(hào)）23．（8分）已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，（1）如圖1，在邊BC上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，在邊AC上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D，滿足∠APD＝60°，求證：△ABP～△PCD（2）如圖2，若點(diǎn)P在射線BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D在直線AC上，滿足∠APD＝120°，當(dāng)PC＝1時(shí)，求AD的長(zhǎng)（3）在（2）的條件下，將點(diǎn)D繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到點(diǎn)D'，如圖3，求△D′AP的面積．24．（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，AE平分∠BAF，交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作直線ED⊥AF，交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）∠C＝45°，⊙O的半徑為2，求陰影部分面積．25．（10分）解方程：x2-7x-18=0.26．（10分）某環(huán)保器材公司銷售一種市場(chǎng)需求較大的新型產(chǎn)品，已知每件產(chǎn)品的進(jìn)價(jià)為40元，經(jīng)銷過(guò)程中測(cè)出銷售量y（萬(wàn)件）與銷售單價(jià)x（元）存在如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系，每年銷售該種產(chǎn)品的總開(kāi)支z（萬(wàn)元）（不含進(jìn)價(jià)）與年銷量y（萬(wàn)件）存在函數(shù)關(guān)系z(mì)=10y+42.1．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）寫出該公司銷售該種產(chǎn)品年獲利w（萬(wàn)元）關(guān)于銷售單價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；（年獲利=年銷售總金額一年銷售產(chǎn)品的總進(jìn)價(jià)一年總開(kāi)支金額）當(dāng)銷售單價(jià)x為何值時(shí)，年獲利最大?最大值是多少?（3）若公司希望該產(chǎn)品一年的銷售獲利不低于17.1萬(wàn)元，請(qǐng)你利用（2）小題中的函數(shù)圖象幫助該公司確定這種產(chǎn)品的銷售單價(jià)的范圍．在此條件下要使產(chǎn)品的銷售量最大，你認(rèn)為銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元?

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【分析】由拋物線解析式可求得其開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最值及增減性，則可判斷四個(gè)選項(xiàng)，可求得答案．【題目詳解】A.因?yàn)閍=2>0，所以開(kāi)口向上，正確；B.對(duì)稱軸是y軸，正確；C.當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)有最小值0，錯(cuò)誤；D.當(dāng)x>0時(shí)，y隨x增大而增大，正確；故選:C【題目點(diǎn)撥】考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.2、B【題目詳解】試題分析：∵當(dāng)k＜0時(shí)，y=在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，∴y1＜y2，故選B.考點(diǎn)：反比例函數(shù)增減性.3、D【解題分析】解：如右圖，連接OP，由于OP是Rt△AOB斜邊上的中線，所以O(shè)P=AB，不管木桿如何滑動(dòng)，它的長(zhǎng)度不變，也就是OP是一個(gè)定值，點(diǎn)P就在以O(shè)為圓心的圓弧上，那么中點(diǎn)P下落的路線是一段弧線．故選D．4、B【分析】利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA的值即可．【題目詳解】：∵Rt△ABC中，cosA=，

∴sinA==，

故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握同角三角函數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5、D【解題分析】分析:根據(jù)必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件，可得答案．詳解:A.

?a是非正數(shù)，是隨機(jī)事件，故A錯(cuò)誤；B.兩個(gè)相似圖形是位似圖形是隨機(jī)事件，故B錯(cuò)誤；C.隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地后正面朝上是隨機(jī)事件，故C錯(cuò)誤；D.平移后的圖形與原來(lái)對(duì)應(yīng)線段相等是必然事件，故D正確；故選D.點(diǎn)睛：考查隨機(jī)事件，解決本題的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)事件，不可能事件，必然事件的概念.6、B【題目詳解】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠B=2∠A，∴∠A+2∠A=90°，∴∠A=30°，∴∠B=60°，∴cosB=故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．7、C【分析】由垂徑定理可得AD＝BD，AE＝CE，由三角形中位線定理可求解．【題目詳解】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AD＝BD，AE＝CE，∴BC＝2DE＝2×＝3故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角形的外接圓與外心，三角形的中位線定理，垂徑定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．8、B【解題分析】由圖像經(jīng)過(guò)A（2，3）可求出k的值，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得時(shí)，的取值范圍.【題目詳解】∵比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴-3=，解得：k=-6,反比例函數(shù)的解析式為：y=-，∵k=-6<0，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∵x=1時(shí)，y=-6，x=3時(shí)，y=-2，∴y的取值范圍是：-6<y<-2，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，k>0時(shí)，圖像在一、三象限，在各象限y隨x的增大而減??；k<0時(shí)，圖像在二、四象限，在各象限y隨x的增大而增大；熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.9、D【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義，結(jié)合選項(xiàng)所給圖形進(jìn)行判斷即可．【題目詳解】解：①不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；②是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；③不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；④是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了中心對(duì)稱圖形的定義，熟悉掌握概念是解題的關(guān)鍵10、D【分析】利用對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)進(jìn)行判斷．【題目詳解】如圖，位似中心為點(diǎn)D．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了位似變換：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心．注意：兩個(gè)圖形必須是相似形；對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)；對(duì)應(yīng)邊平行．二、填空題(每小題3分,共24分)11、110m1．【分析】先計(jì)算這20名同學(xué)各自家庭一個(gè)月的節(jié)水量的平均數(shù)，即樣本平均數(shù)，然后乘以總數(shù)400即可解答．【題目詳解】解：20名同學(xué)各自家庭一個(gè)月平均節(jié)約用水是：（0.2×2+0.25×4+0.1×6+0.4×7+0.5×1）÷20＝0.125（m1），因此這400名同學(xué)的家庭一個(gè)月節(jié)約用水的總量大約是：400×0.125＝110（m1），故答案為：110m1．【題目點(diǎn)撥】此題考查的是根據(jù)樣本估計(jì)總體，掌握樣本平均數(shù)的公式是解決此題的關(guān)鍵．12、22015π【分析】連接P1O1，P2O2，P3O3，易求得PnOn垂直于x軸，可知為圓的周長(zhǎng)，再找出圓半徑的規(guī)律即可解題．【題目詳解】解：連接P1O1，P2O2，P3O3…，∵P1是⊙O1上的點(diǎn)，∴P1O1＝OO1，∵直線l解析式為y＝x，∴∠P1OO1＝45°，∴△P1OO1為等腰直角三角形，即P1O1⊥x軸，同理，PnOn垂直于x軸，∴為圓的周長(zhǎng)，∵以O(shè)1為圓心，O1O為半徑畫圓，交x軸正半軸于點(diǎn)O2，以O(shè)2為圓心，O2O為半徑畫圓，交x軸正半軸于點(diǎn)O3，以此類推，∴OO1＝1＝20，OO2＝2＝21，OO3＝4＝22，OO4＝8＝23，…，∴OOn＝，∴，∴，故答案為：22015π．【題目點(diǎn)撥】本題考查了圖形類規(guī)律探索、一次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及弧長(zhǎng)的計(jì)算，本題中準(zhǔn)確找到圓半徑的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．13、x1＝－12，x2＝1【分析】把后面一個(gè)方程中的x＋3看作一個(gè)整體，相當(dāng)于前面方程中的x來(lái)求解．【題目詳解】解：∵關(guān)于x的方程的解是，（a，m，b均為常數(shù)，a≠0），∴方程變形為，即此方程中x＋3＝－9或x＋3＝11，解得x1＝－12，x2＝1，故方程的解為x1＝－12，x2＝1．故答案為x1＝－12，x2＝1．【題目點(diǎn)撥】此題主要考查了方程解的含義．注意觀察兩個(gè)方程的特點(diǎn)，運(yùn)用整體思想進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算．14、72°【題目詳解】五角星繞中心點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度后能與自身完全重合,則其旋轉(zhuǎn)的角度至少為=72°.故答案為72°.15、16【分析】根據(jù)題意可知四個(gè)小正方形的面積相等，構(gòu)造出直角△OAB，設(shè)小正方形的面積為x，根據(jù)勾股定理求出x值即可得到小正方形的邊長(zhǎng)，從而算出4個(gè)小正方形的面積和.【題目詳解】解：如圖，點(diǎn)A為上面小正方形邊的中點(diǎn)，點(diǎn)B為小正方形與圓的交點(diǎn)，D為小正方形和大正方形重合邊的中點(diǎn)，由題意可知：四個(gè)小正方形全等，且△OCD為等腰直角三角形，∵⊙O半徑為5，根據(jù)垂徑定理得：∴OD=CD==5，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，則AB=，則在直角△OAB中，OA2+AB2=OB2，即，解得x=2，∴四個(gè)小正方形的面積和=.故答案為：16.【題目點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理、勾股定理、正方形的性質(zhì)，熟練掌握利用勾股定理解直角三角形是解題的關(guān)鍵．16、【解題分析】根據(jù)題意，設(shè)x＝5k，y＝3k，代入即可求得的值．【題目詳解】解：由題意，設(shè)x＝5k，y＝3k，∴＝＝．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了分式的求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)分式的性質(zhì)對(duì)已知分式進(jìn)行變形．17、+．【解題分析】一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點(diǎn)的式子．據(jù)此作答．【題目詳解】解:==+．故答案為+．【題目點(diǎn)撥】本題考查二次根式的有理化．根據(jù)二次根式的乘除法法則進(jìn)行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點(diǎn)的式子．18、1【分析】先根據(jù)取出100粒豆子，其中有紅豆5粒，確定取出紅豆的概率為5%，然后用100÷5%求出豆子總數(shù),最后再減去紅豆子數(shù)即可．【題目詳解】解：由題意得：取出100粒豆子，紅豆的概率為5%，則豆子總數(shù)為100÷5%=2000粒，所以該袋中黑豆約有2000-100=1粒．故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了用頻率估計(jì)概率，弄清題意、學(xué)會(huì)用樣本估計(jì)總體的方法是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題(共66分)19、1.3m【分析】由三點(diǎn)共線，連接GE，根據(jù)ED⊥AB，EF∥AB，求出∠GEF=∠EDM=90°，利用銳角三角函數(shù)求出GE，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出DE，即可得到答案.【題目詳解】三點(diǎn)共線，連接GE，∵ED⊥AB，EF∥AB，∴∠GEF=∠EDM=90°，在Rt△GEF中，∠GFE=62°，，∴m，在Rt△DEM中，∠EMD=30°，EM=1m，∴ED=0.5m，∴h=GE+ED=0.75+0.5m，答：此刻運(yùn)動(dòng)員頭部到斜坡的高度約為1.3m.【題目點(diǎn)撥】此題考查平行線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵.20、見(jiàn)解析【分析】根據(jù)已知條件先證明四邊形OBEC是平行四邊形，再證明∠BOC=90°，OC=OB即可判定四邊形OBEC是正方形．【題目詳解】∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形．【題目點(diǎn)撥】本題考查正方形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)和判定．21、相似，見(jiàn)解析【分析】先得出，，再根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形相似即可判斷．【題目詳解】解：相似，理由如下：在矩形中，，∴，∵，∴，∴，∴．【題目點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理，屬于中考?？碱}型．22、（1）100、130或1；（2）選擇①或②，理由見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析；（4）③⑤【分析】（1）根據(jù)“等角點(diǎn)”的定義，分類討論即可；（2）①根據(jù)在同圓中，弧和弦的關(guān)系和同弧所對(duì)的圓周角相等即可證明；②弧和弦的關(guān)系和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、弧和弦的關(guān)系和同弧所對(duì)的圓周角相等作圖即可；（4）根據(jù)“等角點(diǎn)”和“強(qiáng)等角點(diǎn)”的定義，逐一分析判斷即可．【題目詳解】（1）（i）若=時(shí)，∴==100°（ii）若時(shí)，∴（360°－）=130°；（iii）若=時(shí)，360°－－=1°，綜上所述：=100°、130°或1°故答案為：100、130或1．（2）選擇①：連接∵∴∴∵，∴∴是的等角點(diǎn)．選擇②連接∵∴∴∵四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，∴∵∴∴是的等角點(diǎn)（3）作BC的中垂線MN，以C為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑作弧交MN與點(diǎn)D，連接BD，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和作圖方法可得：BD=CD=BC∴△BCD為等邊三角形∴∠BDC=∠BCD=∠DBC=60°作CD的垂直平分線交MN于點(diǎn)O以O(shè)為圓心OB為半徑作圓，交AD于點(diǎn)Q，圓O即為△BCD的外接圓∴∠BQC=180°－∠BDC=120°∵BD=CD∴∠BQD=∠CQD∴∠BQA=∠CQA=（360°－∠BQC）=120°∴∠BQA=∠CQA=∠BQC如圖③，點(diǎn)即為所求．（4）③⑤．①如下圖所示，在RtABC中，∠ABC=90°，O為△ABC的內(nèi)心假設(shè)∠BAC=60°，∠ACB=30°∵點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心∴∠BAO=∠CAO=∠BAC=30°，∠ABO=∠CBO=∠ABC=45°，∠ACO=∠BCO=∠ACB=15°∴∠AOC=180°－∠CAO－∠ACO=135°，∠AOB=180°－∠BAO－∠ABO=105°，∠BOC=180°－∠CBO－∠BCO=120°顯然∠AOC≠∠AOB≠∠BOC，故①錯(cuò)誤；②對(duì)于鈍角等腰三角形，它的外心在三角形的外部，不符合等角點(diǎn)的定義，故②錯(cuò)誤；③正三角形的每個(gè)中心角都為：360°÷3=120°，滿足強(qiáng)等角點(diǎn)的定義，所以正三角形的中心是它的強(qiáng)等角點(diǎn)，故③正確；④由（3）可知，點(diǎn)Q為△ABC的強(qiáng)等角，但Q不在BC的中垂線上，故QB≠Q(mào)C，故④錯(cuò)誤；⑤由（3）可知，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角都小于時(shí)，必存在強(qiáng)等角點(diǎn)．如圖④，在三個(gè)內(nèi)角都小于的內(nèi)任取一點(diǎn)，連接、、，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接，∵由旋轉(zhuǎn)得，，∴是等邊三角形．∴∴∵、是定點(diǎn)，∴當(dāng)、、、四點(diǎn)共線時(shí)，最小，即最?。?dāng)為的強(qiáng)等角點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)便能保證、、、四點(diǎn)共線，進(jìn)而使最?。蚀鸢笧椋孩邰荩绢}目點(diǎn)撥】此題考查的是新定義類問(wèn)題、圓的基本性質(zhì)、圓周角定理、圓的內(nèi)接多邊形綜合大題，掌握“等角點(diǎn)”和“強(qiáng)等角點(diǎn)”的定義、圓的基本性質(zhì)、圓周角定理、圓的內(nèi)接多邊形中心角公式和分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決此題的關(guān)鍵．23、（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）【分析】（1）先利用三角形的內(nèi)角和得出∠BAP+∠APB＝120°，再用平角得出∠APB+∠CPD＝120°，進(jìn)而得出∠BAP＝∠CPD，即可得出結(jié)論；（2）先構(gòu)造出含30°角的直角三角形，求出PE，再用勾股定理求出PE，進(jìn)而求出AP，再判斷出△ACP∽∠APD，得出比例式即可得出結(jié)論；（3）先求出CD，進(jìn)而得出CD'，再構(gòu)造出直角三角形求出D'H，進(jìn)而得出D'G，再求出AM，最后用面積差即可得出結(jié)論．【題目詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，在△ABP中，∠B+∠APB+∠BAP＝180°，∴∠BAP+∠APB＝120°，∵∠APB+∠CPD＝180°﹣∠APD＝120°，∴∠BAP＝∠CPD，∴△ABP∽△PCD；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC于E，∴∠AEP＝90°，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝2，∠ACB＝60°，∴∠PCE＝60°，在Rt△CPE中，CP＝1，∠CPE＝90°﹣∠PCE＝30°，∴CE＝CP＝，根據(jù)勾股定理得，PE＝，在Rt△APE中，AE＝AC+CE＝2+＝，根據(jù)勾股定理得，AP2＝AE2+PE2＝7，∵∠ACB＝60°，∴∠ACP＝120°＝∠APD，∵∠CAP＝∠PAD，∴△ACP∽△APD，∴，∴AD＝＝；（3）如圖3，由（2）知，AD＝，∵AC＝2，∴CD＝AD﹣AC＝，由旋轉(zhuǎn)知，∠DCD'＝120°，CD'＝CD＝，∵∠DCP＝60°，∴∠ACD'＝∠DCP＝60°，過(guò)點(diǎn)D'作D'H⊥CP于H，在Rt△CHD'中，CH＝CD'＝，根據(jù)勾股定理得，D'H＝CH＝，過(guò)點(diǎn)D'作D'G⊥AC于G，∵∠ACD'＝∠PCD'，∴D'G＝D'H＝（角平分線定理），∴S四邊形ACPD'＝S△ACD'+S△PCD'＝AC?D'G+CP?DH'＝×2×+×1×＝，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，∵AB＝AC，∴BM＝BC＝1，在Rt△ABM中，根據(jù)勾股定理得，AM＝BM＝，∴S△ACP＝CP?AM＝×1×＝，∴S△D'AP＝S四邊形ACPD'﹣S△ACP＝﹣＝