中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組第1章函數(shù)與極限高等數(shù)學(xué)A1.7函數(shù)的連續(xù)性

1.7.1連續(xù)函數(shù)的定義1.7.2函數(shù)的間斷點及其分類1.7.3連續(xù)函數(shù)的運算1.7.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1.7.5函數(shù)的一致連續(xù)性1.7.6壓縮映射原理與迭代法1.7函數(shù)的連續(xù)性

1.7.1連續(xù)函數(shù)的定義

函數(shù)在一點處連續(xù)的定義函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性間斷點的定義1.7.2函數(shù)的間斷點及其分類

連續(xù)性討論習(xí)例2-6間斷點的分類1.7.3連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性

連續(xù)函數(shù)的運算初等函數(shù)的連續(xù)性

習(xí)例7-12

1.7.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最值定理介值定理1.7.5函數(shù)的一致連續(xù)性有界定理零點定理應(yīng)用習(xí)例14-201.7.6壓縮映射原理與迭代法函數(shù)的連續(xù)性1.增量

一般地，一、連續(xù)函數(shù)的定義定義1可見，f(x)在x0處連續(xù)必須滿足三個條件：3.左右連續(xù)定義

注意:(1)f(x)在x0連續(xù)與它在該點左右連續(xù)的關(guān)系有如下結(jié)論:(2)對于區(qū)間的左端點只要右連續(xù)則稱為連續(xù)；對于區(qū)間的右端點只要左連續(xù)則稱為連續(xù).4.函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性

在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).對于區(qū)間端點上的連續(xù)性則按左右連續(xù)來確定!連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.證明:1.間斷點的定義

若f(x)至少滿足下列條件之一，則稱f(x)在x0處不連續(xù),

x0為f(x)的間斷點.二、函數(shù)的間斷點及其分類

2.連續(xù)性討論習(xí)例

解:

這種間斷點稱為可去間斷點.解：

這種間斷點也稱為可去間斷點.解:函數(shù)圖形在間斷點x=1處發(fā)生跳躍，故稱跳躍間斷點.解：

這時稱x=0為f(x)的無窮間斷點.解:

這時稱x=0為f(x)的振蕩間斷點.3.間斷點的分類

間斷點是根據(jù)左右極限是否存在進行分類的!可去間斷點(左右極限存在且相等的間斷點)跳躍間斷點(左右極限存在但不相等的間斷點)無窮間斷點(極限為無窮大的間斷點)振蕩間斷點(極限不確定的間斷點)各類間斷點示意圖可去型第一類間斷點跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點oyxoyxoyx1.連續(xù)函數(shù)的運算

定理1

（連續(xù)函數(shù)的和差積商還是連續(xù)函數(shù)）證明：三、連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性即，嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).證明:

定理2

（連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)）定理3

（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）將上兩步合起來:當(dāng)函數(shù)連續(xù)時，極限符號與函數(shù)符號可以交換位置。定理4

（連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)函數(shù)）2.初等函數(shù)的連續(xù)性

(1)基本初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的.三角函數(shù)的連續(xù)性:

----由連續(xù)的定義可證.----由連續(xù)性的四則運算可證.反三角函數(shù)的連續(xù)性:由反函數(shù)的連續(xù)性得到.

對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性:

----已證指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性:

----由反函數(shù)的連續(xù)性得到.

冪函數(shù)的連續(xù)性:

----由復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性得到.

(2)定理5初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的.注意:(1)弄清楚定義域,定義區(qū)間,連續(xù)區(qū)間的關(guān)系;并會求求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間.(2)記住初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間即為定義區(qū)間;而分段函數(shù)需考慮分段點的情況.(3)利用函數(shù)的連續(xù)性可求極限.3.習(xí)例思考題解：為所求函數(shù)的定義域.故沒有連續(xù)區(qū)間.解：解:解:

解:

解：但反之不成立.解：思考題定義2并不是每一個函數(shù)都有最值.定理6(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定能取得它的最大值和最小值.四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)此定理的證明要用實數(shù)理論,從略.圖示說明如下注意:定理條件為充分條件,條件缺一不可,否則可能沒有最值.定理7(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.證明：由連續(xù)函數(shù)最大最小值定理

證明：故f(x)在[a,X]上有最大值M

與最小值m.定理8(零點定理)幾何解釋:定義3此定理的證明要用實數(shù)理論,從略.定理9(介值定理)證明:

由零點定理得,至少存在一點推論:閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)f(x)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.證明：由介值定理,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用習(xí)例例16.設(shè)f(x)在閉區(qū)間[0,a]上連續(xù),

例20.設(shè)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),

例18.設(shè)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),

解：

由零點定理,證明:則F(x)在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù).由零點定理得,例16.設(shè)f(x)在閉區(qū)間[0,a]上連續(xù),證明:證明:

例18.設(shè)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),證明:由介值定理得,證明:所以結(jié)論成立.例20.設(shè)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),證明:方法1.由介值定理可知,方法2.五、函數(shù)的一致連續(xù)性1.函數(shù)一致連續(xù)的定義

定義4一致連續(xù)性表明:

不論在區(qū)間I的任何部分,只要自變量的兩個數(shù)值接近到一定程度就可使對應(yīng)的函數(shù)值達(dá)到所指定的接近程度.

由上述定義知,

如果函數(shù)在區(qū)間上是一致連續(xù)的,那么在區(qū)間上一定是連續(xù)的.但反過來不一定成立,即在區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)不一定在區(qū)間上是一致連續(xù)的.

證明：證明：例1.7.24說明,在半開區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)不一定在該區(qū)間內(nèi)一致連續(xù),但是,關(guān)于閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù),有下面結(jié)論.定理10(閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)是一致連續(xù)函數(shù))

此定理的證明要用實數(shù)理論,從略.六、壓縮映射原理與迭代法1.壓縮映射的定義

作為極限理論與函數(shù)連續(xù)性的一個重要應(yīng)用,下面簡單介紹在近代數(shù)學(xué)中用于判定方程根的存在唯一性的一個重要原理,即壓縮映射原理以及用來求解方程近似根的迭代法.定義5容易證明:

定義在上的壓縮映射(函數(shù))是連續(xù)的.定理11(壓縮映射原理)證明：（1）首先證明:

是收斂數(shù)列.事實上,因為

所以,對于任何,有（2）其次證明:事實上,（3）最后證明:

事實上,綜上所述,有唯一的不動點.這種方法是方程求解中一種常用而且簡便易行的近似解法,稱為迭代法.由于定理證明中所作的迭代數(shù)列收斂于方程