模糊數(shù)學知識小結與模糊數(shù)學相關的問題＞模糊聚類分析一根據(jù)研究對象本身的屬性構造模糊矩陣，在此基礎上根據(jù)一定的隸屬度來確定其分類關系＞模糊層次分析法一兩兩比較指標的確定＞模糊綜合評判一綜合評判就是對受到多個因素制約的事物或?qū)ο笞鞒鲆粋€總的評價，如產(chǎn)品質(zhì)量評定、科技成果鑒定、某種作物種植適應性的評價等，都屬于綜合評判問題。由于從多方面對事物進行評價難免帶有模糊性和主觀性，采用模糊數(shù)學的方法進行綜合評判將使結果盡量客觀從而取得更好的實際效果模糊數(shù)學基礎Fuzzy數(shù)學誕生的背景1）一個古希臘問題：“多少粒種子算作一堆？”2）Fuzzy概念的廣泛存在性，如“找人問題”3）何謂Fuzzy概念？，如何描述它？由集合論的要求，一個對象x,對于一個集合，要么屬于A,要么不屬于A,二者必居其一，且僅居其一，絕對不允許模棱兩可。這種絕對的方法，是不能處理所有科學的問題，即現(xiàn)實生活中的一切事物一切現(xiàn)象都進行絕對的精確化時行不通的，從而產(chǎn)生模糊概念。模糊與精確的關系對立統(tǒng)一，相互依存，可互相轉(zhuǎn)化。-精確的概念可表達模糊的意思：如“望廬山瀑布”“飛流直下三千尺，凝是銀河落九天”-Fuzzy的概念也能表達精確的意思：模糊數(shù)學不是讓數(shù)學變成模模糊糊的東西，而是讓數(shù)學進入模糊現(xiàn)象這個禁區(qū)，即用精確的數(shù)學方法去研究處理模糊現(xiàn)象。模糊性與隨機性的區(qū)別事物分確定性現(xiàn)象與非確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象：指在一定條件下一定會發(fā)生的現(xiàn)象。非確定性現(xiàn)象分隨機現(xiàn)象與模糊現(xiàn)象隨機性是對事件的發(fā)生而言，其事件本身有著明確的含義，只是由于發(fā)生的條件不充分，事件的發(fā)生與否有多種可能性。模糊性是研究處理模糊現(xiàn)象的，它所要處理的事件本身是模糊的。模糊數(shù)學的廣泛應用性模糊技術是21世紀的核心技術模糊數(shù)學的應用幾乎滲透到自然科學與社會科學的所有領域：1）軟科學方面：投資決策、企業(yè)效益評估、經(jīng)濟宏觀調(diào)控等。2）地震科學方面：地震預報、地震危害分析。3）工業(yè)過程控制方面：模糊控制技術是復雜系統(tǒng)控制的有效手段。4）家電彳丁業(yè)：模糊家電產(chǎn)品，提咼了機器的“IQ"。

)航空航天及軍事領域：飛行器對接C3I指揮自動化系統(tǒng)，NASA。)人工智能與計算機高技術領域：模糊推理機、F專家系統(tǒng)、F數(shù)據(jù)庫、F語言識別系統(tǒng)、F機器人等，F(xiàn)-prolog、F-C等。)其它：核反應控制、醫(yī)療診斷等。第1章模糊集的基本概念模糊數(shù)學是研究和處理模糊性現(xiàn)象的數(shù)學方法.眾所周知，經(jīng)典數(shù)學是以精確性為特征的.然而，與精確形相悖的模糊性并不完全是消極的、沒有價值的.甚至可以這樣說，有時模糊性比精確性還要好.例如,要你某時到某地去迎接一個“大胡子高個子長頭發(fā)戴寬邊黑色眼鏡的中年男人”.盡管這里只提供了一個精確信息一一男人，而其他信息一一大胡子、高個子、長頭發(fā)、寬邊黑色眼鏡、中年等都是模糊概念，但是你只要將這些模糊概念經(jīng)過頭腦的綜合分析判斷，就可以接到這個人。模糊數(shù)學在實際中的應用幾乎涉及到國民經(jīng)濟的各個領域及部門，農(nóng)業(yè)、林業(yè)、氣象、環(huán)境、地質(zhì)勘探、醫(yī)學、經(jīng)濟管理等方面都有模糊數(shù)學的廣泛而又成功的應用.處理顯示對象的數(shù)學模型可分為：確定性數(shù)學模型隨機性數(shù)學模型模糊性數(shù)學模型模糊理論的數(shù)學基礎經(jīng)典集合經(jīng)典集合具有兩條基本屬性：元素彼此相異，即無重復性；范圍邊界分明,即一個元素x要么屬于集合A(記作xwA),要么不屬于集合(記作x^A)，二者必居其一。也就是說經(jīng)典集合具有非此即彼的特點?；ギ愋?，確定性。模糊子集及其運算模糊子集與隸屬函數(shù)設U是論域，稱映射A(x)：UTO,1]確定了一個U上的模糊子集A，映射A(x)稱為A的隸屬函數(shù)，它表示x對A的隸屬程度.經(jīng)典集合的隸屬函數(shù)的值不是0就是1。A(x)三0，則A=0；A(x)三1，則A為全集。注：1：使A(x)=0.5的點x稱為A的過渡點，此點最具有模糊性?隸屬度為0.5的點是模糊性最高的點。2：當映射A(x)只取0或1時，模糊子集A就是經(jīng)典子集，而A(x)就是它的特征函數(shù).可見經(jīng)典子集就是模糊子集的特殊情形.可定義為A（X）190-140也可用Zadeh表示法:例：設論域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)}(單位：cm)表示人的身高，那么U上的一個模糊集“高個子”(A)的隸屬函數(shù)A(也可用Zadeh表示法:TOC\o"1-5"\h\z00.20.40.60.81A=+++++xxxxxx123456模糊集的運算(模糊集的運算都轉(zhuǎn)化到了他的隸屬函數(shù)上)相等：A=BoA(x)=B(x)；包含：AcBoA(x)WB(x)；并:AUB的隸屬函數(shù)為(AuB)(x)=A(x)VB(x)；C隸屬度取大)交：AnB的隸屬函數(shù)為(AnB)(x)=A(x)AB(x)；(隸屬度取小)余：Ac的隸屬函數(shù)為Ac(x)=1-A(x).模糊集的并、交、余運算性質(zhì)：冪等律：AUA=A，AnA=A；交換律：AUB=BUA，AnB=BnA；結合律：(AUB)UC=AU(BUC)，(AnB)nC=An(BnC)；吸收律：AU(AnB)=A，An(AUB)=A；分配律：(AUB)nC=(AnC)U(BnC)；(AnB)UC=(AUC)n(BUC)；0-1律：AUU=U，AnU=A；Au?=A,An?二?；還原律：(Ac)c=A；對偶律：(AuB)c=AcnBc，(AnB)c=AcuBc；(注：模糊集不滿足排中律)即不滿足AuAc=UAnAc=0模糊集不再具有“非此即彼”的特點，這正是模糊性帶來的本質(zhì)特.征模糊集的基本定理九-截集：(A)入二A廠{x|A(x)三九}。模糊集的九-截集A入是一個經(jīng)典集合，由隸屬度不小于九的成員構成.(九為置信水平)例：論域U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}(學生集)，他們的成績依次為50,60,70,80,90,95,A二“學習成績好的學生”的隸屬度分別為0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,0.95，則A(90分以上者)={u,u},0.956A(60分以上者)={u,uuuu}0.623,4,5,6A為模糊集合，但AA為經(jīng)典集合.0.90.6定理1設A,Be3(U)(A,B是論域U的兩個模糊子集)，九,pw[0,l]，于是有「截集的性質(zhì)：AcBnA圧B入；九WpnA二A；入—u(AUB)廣A)UB“(AnB)廠A)nB).九九九九九九定理2(分解定理)設Ae3(U)，VxeA，則

A(x)=V{X,w九[0,1],xwAJ定義(擴張原理)設映射f：XtY,定義f(A)(y)=V{A(x),f(x)=y}隸屬函數(shù)的確定模糊數(shù)學的基本思想就是隸屬函數(shù)的思想,應用模糊數(shù)學方法建立模型的關鍵是構造隸屬函數(shù)。模糊統(tǒng)計方法：與概率統(tǒng)計類似,但有區(qū)別：若把概率統(tǒng)計比喻為“變動的點”是否落在“不動的圈”內(nèi),則把模糊統(tǒng)計比喻為“變動的圈”是否蓋住“不動的點”。此法構造隸屬函數(shù)的步驟：作模糊統(tǒng)計試驗(如發(fā)放調(diào)查表)對獲得的統(tǒng)計數(shù)據(jù)區(qū)間進行分組處理,并求組號,組中距,覆蓋頻率等。列統(tǒng)計表,并求各分組區(qū)間的覆蓋頻率或隸屬頻率。畫隸屬函數(shù)曲線圖(即為所求的隸屬函數(shù)的曲線)指派方法一種主觀方法,一般給出隸屬函數(shù)的解析表達式。擇優(yōu)比較法4,二元對比排序法(用于實際不容易量化的指標)5,利用Matlab中的模糊工具箱(《模糊數(shù)學及其應用》P7)第2章模糊聚類分析2.1模糊矩陣定義1設R=(r)，若0WrW1,則稱R為模糊矩陣.當r只取0或1ijmxnijj時，稱R為布爾(Boole)矩陣.(設X={x,x,?,x},Y={y,y,…,y},R為從X到Y的二元關系,12m12n記yjr二R(x,y),R二(r),ijijjmxn則R為布爾矩陣(Boole),稱為R的關系矩陣.布爾矩陣(Boole)是元素只取0或1的矩陣)當模糊方陣R=(r)的對角線上的元素r都為1時，稱R為模糊自反矩陣.ijnxnij定義2設A=(a),B=(b)都是模糊矩陣，ijmxnijmxn相等：A=Boa=b；ijij包含：AWBoaWb；ijij

并：AUB=(aVb)；ijijmxn余：Ac=(1-a.交：A交：AnB=(aAb)；ijijmxnijm&ij3，模糊矩陣的并、交、余運算性質(zhì)幕等律：AuA=A,AnA=A；交換律：AuB=BuA,AnB=BnA；TOC\o"1-5"\h\z結合律：(AuB)uC=Au(BuC),吸收律：Au(AnB)=A,(AnB)nC=An(BnC)；An(AuB)=A；分配律：(AuB)nC=(AnC)u(BnC)；0-1律：AuO=A,AnO=O；(AnB)uC=(AuC)n(BuC)；AuE=E,AnE=A；還原律：(Ac)c=A；對偶律：(AuB)c=AcnBc,(AnB)c=AcuBc模糊矩陣的合成運算與模糊方陣的冪設A=(a),B=(b),定義模糊矩陣A與B的合成為：ikmxskjsxnA°B=(c)ijmxn其中c=V{(aAb)|lWkWs}.ijikkj模糊方陣的冪定義：若A為n階方陣，定義A2=AA,A3=A2°A,…，Ak=Ak一i例如：'0.10.3]3_(例如：'0.10.3]3_(0.3、0.40.7丿[0.40.3](0.10.7J[0.40.3、(0.30.7J10.40.3、0.7丿模糊矩陣的九-截矩陣稱A廠（a（九））為模糊矩陣A的九ijm稱A廠（a（九））為模糊矩陣A的九ijmxnijmxn-截矩陣，其中當a鼻九時，a（九）=1；當aV九時，a（九）=0.ijijijij模糊關系與模糊子集是經(jīng)典集合的推廣一樣,模糊關系是普通關系的推廣.定義:設有論域X,Y,XxY的一個模糊子集R稱為從X到Y的模糊關系.模糊子集R的隸屬函數(shù)為映射R:XxYt[0,1].并稱隸屬度R（x,y）為（x,y）關于模糊關系R的相關程度.特別地,當X=Y時,稱之為X上各元素之間的模糊關系.模糊關系的運算由于模糊關系R就是XxY的一個模糊子集，因此模糊關系同樣具有模糊子集的運算及性質(zhì).設R,R,R均為從X到Y的模糊關系.12相等：R=RoR相等：R=RoR(x,121y)=R(x,y)；2包含：R匸RoR121(x,y)WR2并：RUR的隸屬函數(shù)為12(RuR)(x,y)=R(x,y)VR(x,y)；1212交：RnR的隸屬函數(shù)為12(RnR)(x,y)=R(x,y)AR(x,y)；1212余：Rc的隸屬函數(shù)為Rc(x,y)=1-R(x,y).(RUR)(x,y)表示(x,y)對模糊關系“R或者R”的相關程度，(Rn12121R)(x,y)表示(x,y)對模糊關系“R且R”的相關程度，Rc(x,y)表示(x,y)212對模糊關系“非R”的相關程度.模糊關系的矩陣表示對于有限論域X={x,x，…,x}和Y={y,y,…,y}，則X到Y模糊關12m12n系R可用mxn階模糊矩陣表示，即R二(r)mXn，ij其中r=R(x,y)e[0,1]表示(x,y)關于模糊關系R的相關程度.ijijij又若R為布爾矩陣時，則關系R為普通關系，即x與y之間要么有關系(r=ijij1),要么沒有關系(r=0).ij模糊關系的合成設R是X到Y的關系，R是Y至UZ的關系，則R與R的合成R?R是X121212到Z上的一個關系.(R°R)(x,z)=V{[R(x,y)AR(y,z)]|yeY}1212當論域為有限時，模糊關系的合成化為模糊矩陣的合成.設X={x,x,…，x},Y={y,y,…，y},Z二{zl,z2,…，zn}，12m12s且X到Y的模糊關系R二(a),Y到Z的模糊關系R二(b)，則X到Z的1ikmxs2kjsxn模糊關系可表示為模糊矩陣的合成：R°R二(c)12ijmxn其中c=V{(aAb)|lWkWs}.ijikkj模糊等價矩陣

1：模糊等價關系若模糊關系R是X上各元素之間的模糊關系，且滿足：(1)自反性：R(x,x)=1；⑵對稱性：R(x,y)=R(y,x)；(3)傳遞性：R2cR,則稱模糊關系R是X上的一個模糊等價關系.當論域X={x,x，…,x}為有限時，X上的一個模糊等價關系R就是模糊等12n價矩陣，即R滿足：R2WR(oV{(rAr)|1WkWn}Wr).ikkjij2：模糊等價矩陣的基本定理定理1若R具有自反性(IWR)和傳遞性(R2WR),則R2=R.定理2若R是模糊等價矩陣，則對任意Xe[0,1],R尢是等價的Boole矩陣.定理3若R是模糊等價矩陣，則對任意的0WXVyW1,Ry所決定的分類中的每一個類是R尢決定的分類中的某個類的子類.3：模糊相似關系若模糊關系R是X上各元素之間的模糊關系，且滿足：自反性：R(x,x)=1；對稱性：R(x,y)=R(y,x)；

則稱模糊關系R是X上的一個模糊相似關系.當論域X={x,x…x}為有限時，X上的一個模糊相似關系R就是模12n糊相似矩陣，即R滿足：自反性：IWR(or=1)；ij對稱性：RT=R(or=r).ijji模糊相似矩陣的性質(zhì)定理1若R是模糊相似矩陣，則對任意的自然數(shù)k，Rk也是模糊相似矩陣.定理2若R是n階模糊相似矩陣，則存在一個最小自然數(shù)k(kWn)，對于一切大于k的自然數(shù)1,恒有Rl=Rk，即Rk是模糊等價矩陣(R2k=Rk).此時稱Rk為R的傳遞閉包，記作t(R)=Rk.上述定理表明，任一個模糊相似矩陣可誘導出一個模糊等價矩陣.平方法求傳遞閉包t(R):RtR2tR4tR8tR16t…§2.4模糊聚類分析數(shù)據(jù)標準化,n2,x)1m設論域X={x1,x2,…，xn}為被分類對象，每個對象又由m個指標表示其形狀:xi={xi1,xi2,…,xim},i=1,n2,x)1mxxx2mx2mxx2122x丿nm.xxx丿nmn1n2

平移標準差變換x-x(i=1,2,...,n,j=1,2,...,m)平移標準差變換x-x(i=1,2,...,n,j=1,2,...,m)x:=ij/ijsj其中1=藝x,s=1藝(x-x)2jniji=1j、njji=i平移極差變換，X-minxI1<i<n}X=ijjjmaxXI1<i<n}-minXI1<i<n}ijij模糊相似矩陣建立方法相似系數(shù)法夾角余弦法r=ijikjk相似系數(shù)法相關系數(shù)法距離法rij=1一cd(xi,xj)其中c為適當選取的參數(shù).海明距離md(x,x)=zIx一xIijikjkk=1歐氏距離d(x,x)=ij第3章模糊模型識別1模糊模型識別

模型識別已知某類事物的若干標準模型，現(xiàn)有這類事物中的一個具體對象，問把它歸到哪一模型，這就是模型識別.模型識別在實際問題中是普遍存在的.例如，學生到野外采集到一個植物標本，要識別它屬于哪一綱哪一目；投遞員(或分揀機)在分揀信件時要識別郵政編碼等等，這些都是模型識別.模糊模型識別所謂模糊模型識別,是指在模型識別中,模型是模糊的.也就是說,標準模型庫中提供的模型是模糊的.模型識別的原理為了能識別待判斷的對象X=(x,x，…，x)T是屬于已知類Al,A2,…，Am中12n的哪一類？事先必須要有一個一般規(guī)則，一旦知道了x的值，便能根據(jù)這個規(guī)則立即作出判斷,稱這樣的一個規(guī)則為判別規(guī)則.判別規(guī)則往往通過的某個函數(shù)來表達，我們把它稱為判別函數(shù)，記作W(i；x).一旦知道了判別函數(shù)并確定了判別規(guī)則，最好將已知類別的對象代入檢驗，這一過程稱為回代檢驗，以便檢驗你的判別函數(shù)和判別規(guī)則是否正確.3.2最大隸屬原則模糊向量的內(nèi)積與外積定義稱向量a=(a,a,…，a)是模糊向量，其中0WaW1.若ai只取0或TOC\o"1-5"\h\zl2ni1，則稱a=(a，a，…，a)是Boole向量.l2n設a=(a，a，…，a)，b=(b，b，…，bn)都是模糊向量，則定義12n12內(nèi)積：a°b=V{(aAb)|lWkWn}；kk外積：a?b=A{(aVb)|lWkWn}.kk內(nèi)積與外積的性質(zhì)(a°b)c=ac?bc；(a?b)c=ac°be.最大隸屬原則最大隸屬原則I設論域X={x,x2，…，xj上有m個模糊子集Al，A2，…，Am(即m個模型)，構成了一個標準模型庫，若對任一x0GX,有kw{l,2，?，m},使得A(x)=V{A(x),A(x)，…，Am(x)},k010200則認為x0相對隸屬于A.k最大隸屬原則II設論域X上有一個標準模型A,待識別的對象有n個：xl,x2,…，xGX,如果有某個x滿足nkA(x)=V{A(x)，A(x)，…，A(x)}，kl2n則應優(yōu)先錄取x.k例1在論域X=[0,100]分數(shù)上建立三個表示學習成績的模糊集A=“優(yōu)”，B二“良”，C=“差”.當一位同學的成績?yōu)?8分時，這個成績是屬于哪一類？0,A(x)=<x-80100,A(x)=<x-80100<x<80,80<x<90,90<x<100.C(x)=<1,80-x1000<x<70,70<x<80,80<x<100.0,x-7010B(x)=<1,95-x100,0<x<70,70<x<80,80<x<85,85<x<95,95<x<100;A(88)=0.8,B(88)=0.7,C(88)=0.根據(jù)最大隸屬原則I,88分這個成績應隸屬于A,即為“優(yōu)”.擇近原則設在論域X={x,x,…，x}上有m個模糊子集A1,A2,…，Am(即m個模型),12n構成了一個標準模型庫.被識別的對象B也是X上一個模糊集，它與標準模型庫中那一個模型最貼近？這是第二類模糊識別問題.先將模糊向量的內(nèi)積與外積的概念擴充.設A(x),B(x)是論域X上兩個模糊子集的隸屬函數(shù)，定義內(nèi)積：A°B=V{A(x)AB(x)|xGX}；外積：A?B=A{A(x)VB(x)|xwX}.內(nèi)積與外積的性質(zhì)(AB)c=Ac?Bc；(AOB)c=Ac°Be；A°AcWl/2；AOAc$1/2.下面我們用a(A,B)表示兩個模糊集A,B之間的貼近程度(簡稱貼近度)，貼近度a(A,B)有一些不同的定義.a0(A,B)=[A°B+(1-AOB)]/2(格貼近度)a1(A,B)=(A°B)A(1-AOB)擇近原則設在論域X={x1,x2,…，xn}上有m個模糊子集A1,A2,…,Am構成了一個標準模型庫,B是待識別的模型?若有kw{l,2,…，m},使得a(Ak,B)=V{a(Ai,B)|1WiWm},則稱B與Ak最貼近，或者說把B歸于Ak類.這就是擇近原則.多個特性的擇近原則設在論域X={x1,x2,…,xn}上有n個模糊子集A1,A2,…,An構成了一個標準模型庫,每個模型又由個特性來刻劃：Ai=(Ai1,Ai2,…,Aim),i=1,2,?,n,待識別的模型B=(B1,B2,…,Bm).先求兩個模糊向量集合族的貼近度：si=A{a(A,B)|1WjWm},i=1,2,?,n,ijj若有ku{l,2,…，n}，使得a(Ak,B)二V{siI1WiWn},則稱B與Ak最貼近，或者說把B歸于A類.這就是多個特性的擇近原則.k貼近度的的改進格貼近度的不足之處是一般a0(A,A)H1.定義(公理化定義)若a(A,B)滿足a(A,A)=1；a(A,B)=a(B,A)；若AWBWC,則a(A,C)Wa(A,B)Aa(B,C).則稱a(A,B)為A與B的貼近度.顯然,公理化定義顯得自然、合理、直觀,避免了格貼近度的不足之處,它具有理論價值.但是公理化定義并未提供一個計算貼近度的方法,不便于操作.于是,人們一方面盡管覺得格貼近度有缺陷,但還是樂意采用易于計算的格貼近度來解決一些實際問題；另一方面,在實際工作中又給出了許多具體定義.模糊綜合評判決策在實際工作中,對一個事物的評價或評估,常常涉及多個因素或多個指標,這時就要求根據(jù)這多個因素對事物作出綜合評價,而不能只從某一因素的情況去評價事物,這就是綜合評判。模糊綜合評判的基本思想是利用模糊線性變換原理和最大隸屬度原則，考慮與被評價事物相關的各個因素，對其作出合理的綜合評價模糊綜合評判決策是對受多種因素影響的事物作出全面評價的一種十分有效的多因素決策方法。經(jīng)典綜合評判決策評總分法加權評分法模糊綜合評判決策的數(shù)學模型設U={u,u,…,u}為n種因素(或指標)，V二{v,v,…,v}為m種評判(或12n12m等級).由于各種因素所處地位不同，作用也不一樣，可用權重A=(al,a2,…，an)來描述，它是因素集U的一個模糊子集?對于每一個因素ui,單獨作出的一個評判f(u),可看作是U到V的一個模糊映射f,由f可誘導出U到V的一個模糊關系I，由R可誘導出U到V的一個模糊線性變換ffTR(A)=A°R=B,它是評判集V的一個模糊子集，即為綜合評判.(U,V,R)構成模糊綜合評判決策模型，U,V,R是此模型的三個要素.模糊綜合評判決策的方法與步驟是：⑴建立因素集U={u,u,…,u}與決斷集V二{vl,v2,…,v}.12nm⑵建立模糊綜合評判矩陣.對于每一個因素u，先建立單因素評判：i(r,r,…,r)ili2im即rij(0WrW1)表示vj對因素ui所作的評判,這樣就得到單因素評判矩陣Rij=(rij)nXm.⑶幾種常見沒模糊綜合評判模型.根據(jù)各因素權重A=(a,a,…,a)綜合評判：B二A十R=(b,b,…,l2nl2b)是V上的一個模糊子集，根據(jù)運算十的不同定義,可得到不同的模型.模型I：M(A,V)——主因素決定型bj=V{(aAr),1WiWn}(j=1,2,…,m).iij由于綜合評判的結果bj的值僅由ai與r(i=1,2,…,n)中的某一個確定(先取小,后取大運算),著眼點是考慮主要因素,其他因素對結果影響不大,這種運算有時出現(xiàn)決策結果不易分辨的情況.模型II：M(?，V)——主因素突出型b=V{(ai?r),1WiWn}(j=1,2,…,m).JM(?，V)與模型M(A,V)較接近，區(qū)別在于用airij代替了M(A,V)中的aiA^。在模型M(1J?,V)中,對rij乘以小于1的權重ai表明ai是在考慮多因素時rij的修正值，與主要因素有關，忽略了次要因素.模型血M(A,+)——主因素突出型

b=E（aAr）（j=1,2,…，m）.模型III也突出了主要因素.在實際應用中，如果主因素在綜合評判中起主導作用，建議采納I,II,III,當模型I失效時可采用11,111.模型W：M（?，+）——加權平均模型b=E（a?r）（j=1,2,…,m）.此模型對所有因素依權重大小均衡兼顧,適用于考慮）各因素起作用的情況.例1.服裝評判因素集U=｛u1（花色），u2（式樣），u3（耐穿程度），u4（價格）｝；評判集V=｛評判集V=｛vl（很歡迎），v2（較歡迎）,對各因素所作的評判如下：u1：（0.2，0.5，0.2，0.1）u2：（0.7，0.2，0.1，0）u3：（0，0.4，0.5，0.1）u4：（0.2，0.3，0.5，0）v3（不太歡迎），v4（不歡迎）｝.'0.20.70.50.20.20.10.1、0R二00.40.50.1、0.20.30.50丿對于給定各因素權重A=(0.1,0.2,0.3,0.4),分別用各種模型所作的評判如下：M(A,V)：B=(0.2,0.3,0.4,0.1)M(?，V)：B=(0.14,0.12,0