2024高考新課標(biāo)全國1卷理科數(shù)學(xué)試題及答案啟用前

2024年一般高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

本試卷5頁，23小題，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。

留意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。

用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點(diǎn)涂黑；如需要改動，用橡皮擦潔凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。

3．非選擇題必需用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必需寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4．考生必需保證答題卡的干凈。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1．已知集合A={x|xU

D．AB=?I

2．如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是

A．1

4B．π8C．

12

D．

π4

3．設(shè)有下面四個命題

1p：若復(fù)數(shù)z滿意1

z

∈R，則z∈R；

2p：若復(fù)數(shù)z滿意2z∈R，則z∈R；

3p：若復(fù)數(shù)12,zz滿意12zz∈R，則12zz=；4p：若復(fù)數(shù)z∈R，則z∈R.

其中的真命題為A．13,pp

B．14,pp

C．23,pp

D．24,pp

4．記nS為等差數(shù)列{}na的前n項和．若4524aa+=，648S=，則{}na的公差為

A．1

B．2

C．4

D．8

5．函數(shù)()fx在(,)-∞+∞單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若(11)f=-，則滿意21()1xf--≤≤的x的取值范圍是A．-

B．-

C．

D．

6．6

2

1(1)(1)xx

+

+綻開式中2x的系數(shù)為A．15

B．20

C．30

D．35

7．某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為

A．10

B．12

C．14

D．16

8．右面程序框圖是為了求出滿意3n?2n>1000的最小偶數(shù)n，那么在和

兩個空白框

中，可以分別填入

A．A>1000和n=n+1

B．A>1000和n=n+2

C．A≤1000和n=n+1

D．A≤1000和n=n+2

9．已知曲線C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+

2π

3

)，則下面結(jié)論正確的是A．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移π6

個單位長度，得到曲線C2

B．把

C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移π

12

個單位長度，得到曲線C2

C．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移π6

個單位長度，得到曲線C2

D．把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的12倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移π12

個單位長度，得到曲線C2

10．已知F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，過F作兩條相互垂直的直線l1，l2，直線l1與C交

于A、B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為A．16

B．14

C．12

D．10

11．設(shè)xyz為正數(shù)，且235xyz==，則

A．2x100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是A．440

B．330

C．220

D．110

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13．已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則|a+2b|=.

14．設(shè)x，y滿意約束條件21

210xyxyxy+≤??

+≥-??-≤?

，則32zxy=-的最小值為.

15．已知雙曲線C：22

221xyab

-=（a>0，b>0）的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑做圓A，

圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)。若∠MAN=60°，則C的離心率為________。16．如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O。

D、

E、

F為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐。當(dāng)△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_______。

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，

每個試題考生都必需作答。第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）

△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為2

3sinaA

（1）求sinBsinC;

（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周長.18.（12分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且90BAPCDP∠=∠=o.

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，90APD∠=o

，求二面角A-PB-C的余弦值.19．（12分）

為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）．依據(jù)長期生產(chǎn)閱歷，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸聽從正態(tài)分布2

(,)Nμσ．

（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(3,3)

μσμσ-+

之外的零件數(shù)，求(1)PX≥及X的數(shù)學(xué)期望；

（2）一天內(nèi)抽檢零件中，假如消失了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能消失了特別狀況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．

（?。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：

9.9510.129.96

9.96

10.019.92

9.98

10.0410.26

9.91

10.1310.029.22

10.0410.05

9.95

經(jīng)計算得16119.9716iixx===∑

，0.212s==≈，其中ix為抽取的第i個零件的尺寸，1,2,,16i=???．

用樣本平均數(shù)x作為μ的估量值?μ

，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估量值?σ，利用估量值推斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除????(3,3)μ

σμσ-+之外的學(xué)科網(wǎng)數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估量μ和σ（精確到0.01）．

附：若隨機(jī)變量Z聽從正態(tài)分布2

(,)Nμσ，則(33)0.9974PZμσμσ-b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1

，P4（1

，

C上.（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點(diǎn).21.（12分）

已知函數(shù))fx=（ae2x

+(a﹣2)ex﹣x.

（1）爭論()fx的單調(diào)性；

（2）若()fx有兩個零點(diǎn)，求a的取值范圍.

（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。假如多做，則按所做的第一題計分。

22．（10分）

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為3cos,sin,xyθθ=??=?

（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方

程為

4,

1,xattyt=+??

=-?

（為參數(shù)）.（1）若a=?1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若C上的點(diǎn)到la.23．（10分）

已知函數(shù)f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.（1）當(dāng)a=1時，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含，求a的取值范圍.

2024年新課標(biāo)1理數(shù)答案

1.A

2.B

3.B

4.C

5.D

6.C

7.B

8.D

9.D10.A11.D12.A

13.14.5-

15.

16.

17.解：（1）由題設(shè)得21sin23sinaacBA=，即1sin23sina

cBA=.

由正弦定理得

1sinsinsin23sinA

CBA=

.故2

sinsin3

BC=.

（2）由題設(shè)及（1）得1coscossinsin,2BCBC-=-，即1cos()2

BC+=-.所以2π3BC+=

，故π3

A=.由題設(shè)得2

1sin23sinabcAA

=，即8bc=.

由余弦定理得229bcbc+-=，即2

()39bcbc+-=，得bc+=.

故ABC△的周長為318.解：（1）由已知90BAPCDP∠=∠=?，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD.又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.（2）在平面PAD內(nèi)做PFAD⊥，垂足為F，

由（1）可知，AB⊥平面PAD，故ABPF⊥，可得PF⊥平面ABCD.

以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)Auuur

的方向?yàn)閤軸正方向，||ABuuur為單位長，建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系Fxyz-.

由（1）及已知可得A，P，B，(C.

所以(,1,)22PC=--uuur，CB=uuur，)22

PA=-uuur，(0,1,0)AB=uuur.

設(shè)(,,)xyz=n是平面PCB的法向量，則

PCCB??=??

?=??uuuruuurnn

，即00xy?+=??=，

可取(0,1,=-n.

設(shè)(,,)xyz=m是平面PAB的法向量，則

00

PAAB??=???=??uuuruuurmm

，即022

0xzy-=?

??=?

，可取(1,0,1)=n.

則cos,||||3

?=

=-

nmnmnm，所以二面角APBC--

的余弦值為19.（1）抽取的一個零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之內(nèi)的概率為0.9974，從而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率為0.0026，故~(16,0.0026)XB.因此

(1)1(0)10.99740.0408PXPX≥=-==-=.

X的數(shù)學(xué)期望為160.00260.0416EX=?=.

（2）（i）假如生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天內(nèi)抽取的16個零件中，消失尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種狀況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程學(xué)科&網(wǎng)可能消失了特別狀況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.

（ii）由9.97,0.212xs=≈，得μ的估量值為?9.97μ

=，σ的估量值為?0.212σ=，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在????(3,3)μ

σμσ-+之外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

剔除????(3,3)μσμσ-+之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

1

(169.979.22)10.0215

?-=，因此μ的估量值為10.02.

16

2221

160.212169.971591.134i

ix

==?+?≈∑，剔除????(3,3)μ

σμσ-+之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為

221

(1591.1349.221510.02)0.00815

--?≈，因此σ

0.09≈.20.（12分）解：

（1）由于3P，4P兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過3P，4P兩點(diǎn).又由

2222

1113

4abab

+>+知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上.因此2

221

11314ba

b?=????+=??，解得2

241ab?=??=??.

故C的方程為2

214

xy+=.

（2）設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，

假如l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知0t≠，且||2t.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=2841

km

k-+，x1x2=224441mk-+.

而121212

11

yykkxx--+=+

1212

11kxmkxmxx+-+-=

+

121212

2(1)()

kxxmxxxx+-+=

.

由題設(shè)121kk+=-，故1212(21)(1)()0kxxmxx++-+=.

即222448(21)(1)04141mkm

kmkk--+?+-?=++.

解得1

2

mk+=-.

當(dāng)且僅當(dāng)1m>-時，0?>，欲使l：12myxm+=-+，即1

1(2)2

myx++=--，所以l過定點(diǎn)（2，1-）

21.解：（1）()fx的定義域?yàn)?,)-∞+∞，2()2(2)1(1)(21)x

xxxfxae

aeaee'=+--=-+，

（?。┤?a≤，則()0fx'，則由()0fx'=得lnxa=-.

當(dāng)(,ln)xa∈-∞-時，()0fx'，所以()fx在

(,ln)a-∞-單調(diào)遞減，在(ln,)a-+∞單調(diào)遞增.

（2）（?。┤?a≤，由（1）知，()fx至多有一個零點(diǎn).

（ⅱ）若0a>，由（1）知，當(dāng)lnxa=-時，()fx取得最小值，最小值為

1

(ln)1lnfaaa

-=-

+.①當(dāng)1a=時，由于(ln)0fa-=，故()fx只有一個零點(diǎn)；②當(dāng)(1,)a∈+∞時，由于1

1ln0aa

-+>，即